Данная работа посвящена анализу вклада С. Б. Стечкина в некоторые вопросы в аналитической теории чисел. Выделены пять направлений его исследований в области теории чисел. Рассмотрены работы С. Б. Стечкина по теории дзета-функции Римана. Определенную роль в этих исследованиях сыграли его результаты по четным тригонометрическим полиномам. Другое направление исследований, в которое существенный вклад внёс
С. Б. Стечкин вместе с А. Ю. Поповым, относится к вопросам асимптотического распределения простых чисел в среднем. Третий вопрос, которому было посвящено творчество С. Б. Стечкина в области аналитической теории чисел, связан с теоремой о среднем И. М. Виноградова основным методом в оценке сумм Г. Вейля. Четвертое направление исследований, где С. Б. Стечкину удалось получить результат, который не смогли усилить за
последние 30 лет, — это оценки полных рациональных тригонометрических сумм. Наконец, пятое направление — это изучение сумм Гаусса. Оценка, полученная здесь С. Б. Стечкиным, и поставленная им задача послужили источником многочисленных работ вплоть до настоящего времени.

Статья посвящена жизни и научно-педагогической деятельности известного математика, доктора физико-математических наук Бориса Максимовича Бредихина (1920–1994) в связи со 100-летием со дня его рождения. В ней сначала приводятся биографические сведения из его жизни. Основная часть нашей работы посвящена достижениям Б. М. Бредихина в теории чисел. Даётся анализ его научных публикаций.

Мы изучаем точное неравенство Маркова--Бернштейна--Никольского вида

$\|D^{s}u\|_{\infty}\le \\C_{p}(n;s)\|u\|_{p}$ при $p\in [1,\infty]$ для

тригонометрических и алгебраических полиномов $u$ степени не выше $n$ в весовом

пространстве $L^{p}$ с дифференциальным оператором Гегенбауэра--Данкля $D$. В

частных случаях эти неравенства сводятся к классическим неравенствам теории

приближений типа Маркова, Бернштейна, Никольского, которым посвящены

многочисленные работы. Мы применяем результаты В.А. Иванова (1983, 1992),

В.В. Арестова и М.В. Дейкаловой (2013, 2015), F. Dai, D.V. Gorbachev и

S.Yu. Tikhonov (2020) для алгебраических констант в $L^{p}$ на компактных

римановых многообразий ранга 1 (включая евклидову сферу) и отрезке с весом

Гегенбаура, ссылаемся на работы E. Levin и D. Lubinsky (2015), M.I. Ganzburg

(2017, 2020), обзор классических результатов G.V. Milovanovi'c,

D.S. Mitrinovi\'c и Th.M. Rassias (1994).

 

Ранее мы изучили случай $s=0$. В этой работы мы рассматриваем случай $s\ge 0$.

Наш основной результат заключается в доказательстве существования в

тригонометрическом случае для чётных $s=2r$ экстремальных полиномов $u_{*}$, которые

действительные, четные и $C(n;s)=\frac{|D^{s}u_{*}(0)|}{\|u_{*}\|_{p}}$.

С помощью этого факта доказывается взаимосвязь с алгебраической константой для

веса Гегенбауэра. С одной стороны, это позволяет автоматически охарактеризовать

экстремальные алгебраические полиномы. С другой стороны, известные

алгебраические результаты переносятся на более общий тригонометрический

вариант. Основным методом доказательства является применение гармонического

анализа Гегенбауэра--Данкля, построенного Д.В. Чертовой (2009). Как следствие,

мы приводим точные константы при $p=2,\,\infty$ (при помощи результатов

В.А. Иванова), даем соотношения ортогональности и двойственности (доказываемые

методами выпуклого анализа из теории приближений), устанавливаем один

асимптотический результат типа Левина--Любинского (благодаря связи с

многомерной константой Никольского для сферических полиномов).

Пусть $M_{n}=\sup_{P\in \mathcal{P}_{n}\setminus \{0\}} \frac{\max_{x\in

[-1,1]}|P(x)|}{\int_{-1}^{1}|P(x)|\,dx}$ --- константа Никольского между

равномерной и интегральной нормами для алгебраических полиномов с комплексными

коэффициентами степени не выше $n$. D. Amir и Z. Ziegler (1976) доказали, что

$0.125(n+1)^{2}\le M_{n}\le 0.5(n+1)^{2}$ для $n\ge 0$. Аналогичная оценка

сверху получена T.K. Ho (1976). F. Dai, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2019--2020)

уточнили этот результат, установив, что $M_{n}=Mn^{2}+o(n^{2})$ при $n\to

\infty$, где $M\in (0.141,0.192)$ --- точная константа Никольского для целых

функций экспоненциального сферического типа в пространстве

$L^{1}(\mathbb{R}^{2})$ и функций экспоненциального типа в $L^{1}(\mathbb{R})$

с весом $|x|$.

 

Мы доказываем, что для произвольного $n\ge 0$ имеем $M(n+1)^{2}\le M_{n}\le

M(n+2)^{2}$, где $M\in (0.1410,0.1411)$. Данное утверждение также позволяет

уточнить точную константу Джексона--Никольского для полиномов на евклидовой

сфере $\mathbb{S}^{2}$. Доказательство базируется на взаимосвязи алгебраических

констант Никольского с тригонометрическими константами Бернштейна--Никольского

и наших результатах об оценках последних (2018--2019). Также мы применяем

характеризацию экстремального алгебраического полинома, полученную D. Amir и

Z. Ziegler (1976), В.В. Арестовым и М.В. Дейкаловой (2015). С помощью этой

характеризации мы составляем тригонометрическую систему для определения нулей

экстремального полинома, которую решаем приближенно с необходимой точностью с

помощью метода Ньютона.

В статье доказана алгоритмическая неразрешимость $\exists \forall^2 \exists^3$-теории свободной полугрупп счетного ранга, что усиливает классический результат
В.~Куайна [1] 1946 года об алгоритмической неразрешимости элементарной теории любой нециклической свободной полугруппы.

Разработан метод решения вариационной задачи функциональной теории плотности в рамках безорбитального подхода с обобщенной градиентной аппроксимацией. Способ основан на вычислении потенциала обменаорреляции с использованием итеративной процедуры. Расчеты испытаний для двухатомных систем показали, что наш подход позволяет найти энергию связывания атомов и равновесное межатомное расстояние в димерах примерно с той же точностью, что и метод Кон-Шама, но гораздо быстрее.

В пространствах с весом Данкля $v_k(x)$ степенного типа на $\mathbb{R}^d$, определяемым системой корней и неотрицательной функцией кратности $k$, инвариантной относительно конечной группы отражений, построен содержательный гармонический анализ. Классический анализ Фурье на евклидовом пространстве соответствует случаю $k\equiv 0$. В 2012 году Салем Бен Саид, Кобаяши и Орстед определили двупараметрическое $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье, действующее в пространствах с весом $|x|^{a-2}v_k(x)$, $a>0$. Наиболее интересны случаи $a=2$ и $a=1$. При $a=2$ обобщенное преобразование Фурье совпадает с преобразованием Данкля и оно хорошо изучено. В случае $a=1$
гармонический анализ, важный, в частности, в задачах квантовой механики, изучен пока еще не достаточно. Одним из существенных элементов гармонического анализа является ограниченный оператор сдвига, позволяющий определить свертку и структурные характеристики функций. При $a=1$ имеется оператор сдвига $\tau^yf(x)$. Его $L^p$-ограниченность недавно установлена Салемом Бен Саидом и Делеавалом, но только на радиальных функциях и при $1\le p\le 2$. В настоящей работе предложен новый оператор обобщенного сдвига $T^tf(x)$. Он получается интегрированием оператора $\tau^yf(x)$ по единичной евклидовой сфере по переменной $y'$, $|y'|=1$, $y=ty'$. Мы доказываем, что он положителен на функциях из пространства Шварца $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$, для него $T^t1=1$ и он допускает представление с вероятностной мерой. Отсюда мы выводим его $L^p$-ограниченность для всех $1\le p<\infty$ и ограниченность на пространстве $C_b(\mathbb{R}^d)$ непрерывных ограниченных функций.

В пространствах с весом Данкля степенного типа на $\mathbb{R}^d$ за последние 30 лет построен содержательный гармонический анализ. Классический анализ Фурье на евклидовом пространстве соответствует безвесовому случаю. В гармоническом анализе Данкля важную роль играют преобразования Данкля--Рисса и потенциал Данкля--Рисса, определенные Тангавелу и Шу. В частности, они позволяют доказывать неравенства Соболева для градиента Данкля. Частные результаты здесь были получены Амри и Сифи, Абделькефи и Рачди, Велику. Опираясь на весовые неравенства для потенциала Данкля--Рисса и преобразований Данкля--Рисса, мы доказываем общие $(L^q,L^p)$-неравенства Соболева для градиента Данкля с радиальными степенными весами. Весовые неравенства для потенциала Данкля--Рисса были установлены ранее. $L^p$-неравенства для преобразований Данкля--Рисса с радиальным степенным весом устанавливаются в настоящей работе. Безвесовой вариант этих неравенств был доказан Амри и Сифи.

Рассматриваются только конечные группы. Класс групп $\mathfrak F$ называется классом Фиттинга, если он замкнут относительно нормальных подгрупп и произведений нормальных $\mathfrak F$-подгрупп; формацией, если он замкнут относительно фактор-групп и подпрямых произведений; формацией Фиттинга, если $\mathfrak F$ является формацией и классом Фиттинга одновременно.

Для непустого подмножества $\omega$ множества простых чисел $\mathbb P$ и разбиения
$\sigma =\{\sigma_i\mid i\in I\}$, где $\mathbb P=\cup_{i\in I}\sigma_i$ и $\sigma_i\cap\sigma_j=\varnothing$ для всех
$i\not =j$, в работе вводятся $\omega\sigma R$-функция $f$ и $\omega\sigma FR$-функция $\varphi$. Областью определения данных функций является множество $\omega\sigma\cup\{\omega'\}$, где
$\omega\sigma=\{ \omega\cap\sigma_i\mid\omega\cap\sigma_i\not =\varnothing\}$,
$\omega'=\mathbb P\setminus\omega$. Областью значений функций является множество классов Фиттинга и множество непустых формаций Фиттинга соответственно. С помощью функций $f$ и $\varphi$ определяется
$\omega\sigma$-веерный класс Фиттинга $\mathfrak F=\omega\sigma R(f,\varphi )=(G: O^\omega (G)\in f(\omega' )$ и $G^{\varphi (\omega\cap\sigma_i )}\in f(\omega\cap\sigma_i )$ для всех $\omega\cap\sigma_i \in\omega\sigma (G))$ с
$\omega\sigma$-спутником $f$ и $\omega\sigma$-направлением $\varphi$.

В работе приведены примеры $\omega\sigma$-веерных классов Фиттинга. Выделены два вида $\omega\sigma$-веерных классов Фиттинга: $\omega\sigma$-полные и $\omega\sigma$-локальные классы Фиттинга. Их направления обозначены $\varphi_0$ и $\varphi_1$ соответственно. Показано, что каждый непустой неединичный класс Фиттинга является $\omega\sigma$-полным классом Фиттинга для некоторого непустого множества
$\omega\subseteq\mathbb P$ и любого разбиения $\sigma$. Получен ряд свойств $\omega\sigma$-веерных классов Фиттинга. В частности, дано определение внутреннего
$\omega\sigma$-спутника и показано, что каждый $\omega\sigma$-веерный класс Фиттинга всегда обладает внутренним $\omega\sigma$-спутником. При $\omega=\mathbb P$ введено понятие $\sigma$-веерного класса Фиттинга. Показана связь между $\omega\sigma$-веерными и $\sigma$-веерными классами Фиттинга.

В работе рассматривается задача вычисления параметров плоскости пространственного
треугольника по его центральной проекции. При определенных условиях доказана теорема
существования решения этой задачи и его единственность. Приведены примеры условий,
при которых решения не существует или оно не единственно. Так же предложен алгоритм
приближенного поиска всех возможных решений задачи при выполнении определенных
условий. Рассматриваемая в статье задача возникает при построении трехмерных моделей
объектов по их фотоснимку.

Для произвольного поля ${\mathbb F}$ мы рассматриваем коммутативную неассоциативную четырёхмерную алгебру ${\mathfrak M}$ камня, ножниц и бумаги с единичным элементом над полем ${\mathbb F}$ и доказываем, что образ произвольного неассоциативного мультилинейного полинома над ${\mathfrak M}$ является линейным пространством. Тот же вопрос мы рассматриваем и для двух подалгебр: алгебры камня, ножниц и бумаги без единицы, а также, алгебры элементов нулевого следа и нулевой скалярной части.
Кроме того, в работе поставлены задачи и рассмотрены вопросы о возможных образах однородных полиномов на этих алгебрах.

В работе доказывается сильная компактность последовательности $\{\tilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\}$ в $\mathbb{L}_{2}(\Omega_{T})$,
$\Omega_{T}=\Omega\times(0,T)$, $\Omega\subset \mathbb{R}^{3}$, ограниченную в пространстве $\mathbb{W}^{1,0}_{2}(\Omega_{T})$ с последовательностью производных по времени
$\left\{ \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\big(\chi(\boldsymbol{x},t,\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon})
\tilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\big) \right\}$ ограниченной в пространстве $\mathbb{L}_{2}\big((0,T);\mathbb{W}^{-1}_{2}(\Omega)\big)$,
где характеристическая функция $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ есть 1-периодическая в $\displaystyle \boldsymbol{y}\in Y=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)^{3}\subset \mathbb{R}^{3}$.

В качестве приложения рассмотрим усреднение уравнения диффузии-конвекции в непериодической структуре, заданной 1-периодической в $\boldsymbol{y}$ характеристической функцией $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ с последовательностью бездивергентных скоростей $\{\boldsymbol{v}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\}$, слабо сходящейся в $\mathbb{L}_{2}(\Omega_{T})$.

В настоящей заметке мы доказываем теорему редукции для подгрупп полной линейной группы ${\operatorname{GL}}(n,T)$ над телом $T$, порожденных парой микровесовых торов одного и того же типа. Оказывается, что любая пара торов вычета $m$ сопряжена такой же паре в ${\operatorname{GL}}(3m,T)$. При этом пары, которые не могут быть вложены далее в ${\operatorname{GL}}(3m-1,T)$, образуют единственную ${\operatorname{GL}}(3m,T)$-орбиту.
В случае $m=1$ нам остаётся проанализировать ${\operatorname{GL}}(2,T)$, что было сделано два десятилетия назад вторым автором, Коэном, Кюйперсом и Стерком. Для следующего значения $m=2$ это означает, что единственными случаями, которые должны быть рассмотрены, являются группы
${\operatorname{GL}}(4,T)$ и ${\operatorname{GL}}(5,T)$. В этих случаях задача может быть полностью решена (прямыми, но достаточно длинными) матричными вычислениями, которые осуществлены в готовящейся статье авторов.

Доказывается регулярность в окрестности нуля преобразования Лапласа от преобразо-
вания Фурье от четной функции, полученной из регулярной в окрестности действительной
оси нечетной функции изменением четности. Из данного факта следует перестановочность
синус и косинус преобразований Фурье с точностью до знака.

Этот документ состоит из 3 разделов. В первом разделе мы дадим краткое введение в «гомоморфизмы Фейгина» и увидим, как они помогут нам доказать наши основные и фундаментальные теоремы, связанные с квантовыми соотношениями Серра и операторами экранирования.

Во втором разделе мы введем локальный интеграл движений как пространство инвариантов нильпотента часть квантовых аффинных алгебр Ли и найдет двух- и трехточечные инварианты в случае $U_q(hatsl_2)$, используя схему Волкова.

В третьем разделе мы введем решеточные алгебры Вирасоро как пространство инвариантов борелевской части 𝑈_𝑞(𝐵+) в 𝑈𝑞(𝑔) для простой алгебры Ли 𝑔 и найдем множество образующих Решеточная алгебра Вирасоро, соединенная с 𝑠𝑙_2 и 𝑈_𝑞(𝑠𝑙_2).

И как новый результат, мы нашли множество некоторых образующих решетки алгебры Вирасоро.

В работе приводятся многие неизвестные факты из истории Тульской школы теории чисел. Показано, что основную роль в возрождении Тульской школы теории чисел сыграли профессора Н. М. Коробов, В. И. Нечаев, С. Б. Стечкин, Н.~М.~Добровольский.

Раскрывается роль этих основных участников в возрождении в Туле научной школы по теории чисел. Приводятся различные подробности взаимоотношений между этими участниками процесса возрождения Тульской школы теории чисел.

Для характеризации деятельности Тульской научной школы по теории чисел после её возрождения приводится обзор основных направлений её работы за последние 45 лет и краткое описание проделанных работ. Дается библиография основных научных публикаций по теоретико-числовому методу в приближенном анализе Н. М. Коробова и Н.~М.~Добровольского, на которых базировалось возрождение Тульской школы теории чисел и её функционирование последние 45 лет.

Работа посвящена вопросам приближения периодических функций высокой гладкости средними арифметическими сумм Фурье. Наиболее естественным и простым примером линейного процесса аппроксимации периодических непрерывных функций действительной переменной является приближение елементами последовательности частичных сумм ряда Фурье. Известно, что последовательности частичных сумм ряда Фурье не являются равномерно сходящимися на всем пространстве $C$ $2\pi$-периодических непрерывных функций. Поэтому значительное число работ данного направления посвящено изучению аппроксимативных свойств других методов приближения, которые для заданной функции $f$ образуются с помощью некоторых преобразований частичных сумм ее ряда Фурье, и позволяют построить последовательности тригонометрических полиномов, которые равномерно сходятся для каждой функции $f \in C$. В частности, на протяжении последних десятилетий интенсивно изучаются суммы Валле Пуссена и суммы Фейера. В настоящее время в публикациях этой тематики накоплено значительное количество фактического материала. Одним из наиболее важных направлений в этой области является изучение асимптотического поведения верхних граней уклонений средних арифметических сумм Фурье по различным классам периодических функций. Методы исследования интегральных представлений уклонений тригонометрических полиномов, которые порождаются линейными методами суммирования рядов Фурье, возникли и получили свое развитие в работах С.М.~Никольского, С.Б.~Стечкина, Н.П.~Корнейчука, В.К. Дзядыка и их учеников.

Целью работы является систематизация известных результатов, касающихся приближения классов периодических функций высокой гладкости средними арифметическими сумм Фурье, и представление новых фактов, полученных для их частных случаев.

В работе изучено аппроксимативные свойства сумм Фейера на классах периодических функций, которые можно регулярно продолжить в соответствующую полосу комплексной плоскости. Получена асимптотическая формула для верхних граней уклонений в равномерной метрике сумм Фейера на классах интегралов Пуассона. Полученная формула обеспечивает решение соответствующей задачи Колмогорова-Никольского без дополнительных условий.

В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости,
формулируются и доказываются теоремы для
некоторых элементов прямых произведений $p$-адических полей, а также,
теорема об оценке многочлена от таких элементов.
Пусть $\mathbb{Q}_p$~--- пополнение $\mathbb{Q}$ по
$p$-адической норме, поле $\Omega_{p}$~--- пополнение алгебраического замыкания $\mathbb{Q}_p$,
$g=p_1p_2\ldots p_n$~--- произведение различных простых чисел,
а пополнение $\mathbb{Q}$ по $g$-адической псевдонорме
это кольцо $\mathbb{Q}_g$, иными словами $\mathbb{Q}_{p_1}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Q}_{p_n}$.
Рассматривается кольцо $\Omega_g\cong\Omega_{p_1}\oplus\ldots\oplus\Omega_{p_n}$,
содержащее $\mathbb{Q}_g$ в качестве подкольца. Вопросы о трансцендентности и алгебраической
независимости над $\mathbb{Q}_g$ элементов $\Omega_g$ привели к результатам полученным в статье.
При соблюдении некоторых условий можно делать соответствующие выводы для чисел вида
$\alpha=\sum\limits_{j=0}^{\infty}a_{j}g^{r_{j}},\;
\text{где}\;a_{j}\in \mathbb Z_g,$
а неотрицательные рациональные числа $r_{j}$ образуют возрастающую и
стремящуюся к $+\infty$ при $j\rightarrow +\infty$ последовательность.

Данная работа посвящена численному моделированию процесса распространения удар-
ной волны малой интенсивности из чистого газа в неоднородную среду представляющею
собой газовую взвесь твердых частиц. В вычислительных экспериментах рассматривались
как электрические нейтральные, так и заряженные взвеси твердых частиц. В использо-
ванной в работе математической модели сохранение компонент импульса несущей среды
описывалось системой уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа в двухмерной поста-
новке. При описании взаимодействия несущей и дисперсной фазы газовзвеси учитывались
сила Стокса, динамическая сила Архимеда, сила присоединённых масс, также учитывал-
ся межфазный теплообмен. Для дисперсной компоненты смеси решалась полная гидроди-
намическая система уравнений движения, включавшая в себя уравнение неразрывности,
сохранений импульса и энергии. Система уравнений математической модели дополненная
граничными условиями решалась явным конечно-разностным методом второго порядка
точности. Также в численной модели использовался алгоритм подавления численных ос-
цилляций. Численное моделирование показало, что наличие электрического заряда в дис-
персной компоненте смеси оказывает воздействие на движение дисперсной компоненты
и вследствие межфазного взаимодействия на течение газа. В результате численных рас-
чётов было выявлено, что увеличение размера частиц приводит к существенному росту
межфазного скоростного скольжения. Было определено, что интенсивность скоростного
скольжения между несущей и дисперсной фазами в электрически заряженной запылён-
ной среде возрастает в направлении увеличения удельной силы Кулона, в то время как в
электрически нейтральной газовзвеси рост скоростного скольжения происходит в направ-
лении движения ударной волны.

В основе работы лежит формула бинома Ньютона и её обобщения на последовательности многочленов биномиального типа. Даны применения к обобщённой проблеме Варинга (Хуа Ло-кен) и проблеме Гильберта – Камке (Г.И.Архипов). Доказана формула Тейлора – Маклорена для многочленов и гладких функций и даны её приложения в численном анализе (решение уравнений методом касательных Ньютона, лемма Гензеля в полных
неархимедовских полях, приближенное вычисление значений гладких функций в точке). Даётся аналог формулы бинома Ньютона для многочленов Бернулли и доказывается формула Эйлера — Маклорена суммирования значений функции по целым точкам, выведена формула Пуассона суммирования значений функции. Рассмотрены примеры последовательностей многочленов биномиального типа (степени, нижние и верхние факториальные
степени, многочлены Абеля и Лагерра). Найдены биномиальные свойства многочленов Аппеля и Эйлера. Для многочленов и гладких функций от нескольких переменных доказана формула Тейлора, получены многомерные аналоги формул Эйлера – Маклорена и Пуассона суммирования значений функции по решётке. Рассмотрен многомерный аналог этих формул для решётки в многомерном комплексном пространстве. Доказаны ряд свойств
последовательности многочленов биномиального типа от нескольких переменных.

В работе представлена реализация технологии электроэрозионного измельчения на примере отходов твердых сплавов. Показано, что мощность электроконтактных тепловых источников может быть достаточной для реализации процесса электроэрозионного диспергирования. Получены зависимости, позволяющие выполнить расчетную оценку фракционного состава порошкового материала, получаемого в условиях действия электроконтактных тепловых источников.

В работе приведены сведения об эволюции математических моделей трения скольжения твёрдых тел. Показано, что с учётом отклонений от закона Леонардо да Винчи — Амонтона — Кулона необходимо его уточнение с использованием поправочной функции от нормальной силы. Создана математическая модель обобщённого закона трения скольжения, учитывающая скачкообразные изменения линейной зависимости силы трения от
нормальной силы.

В статье проиллюстрирована роль математики в исследованиях в области технических наук, посвящённых изучению свойств металлических материалов на примере титана.

В данной работе рассматривается вопрос о формировании религиозных воззрений у
представителей Московской математической школы на рубеже XIX–XX вв. и влиянии ми-
росозерцания на их научное творчество. Основное ядро этой группы ученых составляли
Н.Д. Брашман, Н.В. Бугаев, П.А. Некрасов, Д.Ф. Егоров, Н.Н. Лузин, П.А. Флоренский.
В эволюции идей московских математиков-мыслителей XIX – начала XX века мож-
но выделить общую тенденцию: они прошли путь от математики к философии и сно-
ва вернулись к математике. Из Московского математического общества (Н.Д. Брашман,
Н.В. Бугаев и др.) выросла Московская философско-математическая школа (Н.В. Бугаев,
П.А. Некрасов, П.А. Флоренский и др.), а последняя послужила импульсом к образованию
Московской школы теории функций (Д.Ф. Егоров, Н.Н. Лузин и др.).
Впервые выявлены мировоззренческие истоки формирования Московской математиче-
ской школы. Философские предпочтения представителей этой школы близки к славяно-
фильству (неприятие развития России по западным образцам, учение о цельности духа
(отрицающее познание только через разум или чувства без участия духа); учение о собор-
ности как получении свободы через растворение личности в церкви, обществе, государстве;
православное миропонимание; любовь к Родине). Эти идеи оказали влияние и на характер
математического творчества московских математиков, специфическими чертами которого
стали: 1) коллективный характер, генерирование новых направлений в науке и горячее же-
лание делиться ими с другими учеными; 2) сосредоточенность на поиске общих методов и
закономерностей; 3) склонность к созерцанию, предпочтение теоретических исследований,
а не практических (область научных интересов — теория чисел, теория множеств, теория
функций и пр.).

В статье рассматривается обратная задача об определении законов неоднородности упругого покрытия абсолютно жесткого цилиндра, находящегося в плоском волноводе, одна граница которого - абсолютно жесткая, а другая - акустически мягкая. Полагается, что волновод заполнен идеальной жидкостью. Вдоль стенок волновода по нормали к поверхности цилиндрического тела распространяется гармоническая звуковая волна давления,
возбуждаемая заданным распределением источников на сечении волновода, расположенного на конечном расстоянии от оси цилиндра. Определены параметры неоднородности покрытия, обеспечивающие наименьшее звукоотражение.
Решение обратной задачи получено на основе решения прямой задачи дифракции. Зависимости плотности и модулей упругости материала покрытия от радиальной координаты аппроксимированы многочленами третьей степени.

Построены функционалы,определенные на классе кубических функций и выражающие усредненную интенсивность рассеяния звука в заданном сечении волновода при фиксированной частоте или в некотором диапазоне частот.

С помощью генетического алгоритма осуществлена минимизация функционалов. Получено аналитическое описание оптимальных законов неоднородности покрытия цилиндра для обеспечения минимального звукоотражения.

В статье рассматривается задача о рассеянии плоской монохроматической звуковой волны, падающей произвольным образом на упругий круговой цилиндр с радиальнонеоднородным покрытием в присутствии плоской поверхности (абсолютно жесткой и акустически мягкой). Методом мнимых источников с применением теорем сложения для цилиндрических волновых функций получено аналитическое решение задачи. Волновые поля в содержащей среде и однородном упругом цилиндре находятся в виде разложений по волновым цилиндрическим функциям, а для нахождения полей смещений в неоднородных покрытиях построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Проведены численные расчеты частотных и угловых характеристик рассеянного поля для упругих однородных цилиндров с покрытием и без него, находящихся вблизи подстилающей плоскости. Выявлено существенное влияние непрерывно-неоднородных упругих покрытий на звукоотражающие свойства упругих цилиндрических тел.

В данной статье на базе классических работ Г.~Кирша, \textit{К. Inglis}, Г.~В.~Колосова, Н.~И.~Мусхелишвили в рамках теории упругости и линейной механики разрушения продолжена разработка математического аппарата, который позволяет получать решения ряда трёхмерных задач механики разрушения в упрочнённой металлической среде.

Опираясь на работы \textit{G. R. Irwin}, Г.~И.~Баренблатта, Вестергарда (\textit{Westergaard}), Л.~Д.~Ландау, Е.~М.~Лившица авторы выполнили математическое моделирование напряженно"=деформированного состояния в объёме нагруженного стального образца в окрестностях пор различной морфологии, возникающих в результате эксплуатационных нагрузок и агрессивных воздействий окружающих сред.

Привлечение авторами представлений о силовых линиях поля напряжений в металлической среде позволило им разработать алгоритм определения компонент тензора напряжений около концентраторов в виде пор различной формы. Был рассмотрен стационарный случай при фиксированном соотношении величин внешнего напряжения и предела текучести металлической среды (стали). Разработана методика и создан математический аппарат для расчёта уравнений силовых линий для трёхмерного случая - «поры в форме сферической линзы». Предлагаемый подход подтвердил наличие в окрестностях поры зон, свободных от напряжений, и выявил связь их размеров с морфологией пор и внешним напряжением.

Данная работа посвящена вопросам приближения квадратичной алгебраической решётки целочисленной решёткой. В ней вычисляются расстояния между квадратичной алгебраической решёткой и целочисленной решёткой, когда они заданы числителем и знаменателем подходящей дроби к корню квадратному из дискриминанта d — свободного от квадратов натурального числа.
Результаты данной работы позволяют изучать вопросы о наилучших приближениях
квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками.

Изучаются точные константы Никольского--Бернштейна для сферических полиномов в
пространстве $L^{p}(\mathbb{S}^{d})$ с весом Данкля. Устанавливается
взаимосвязь с одномерными константами для алгебраических полиномов в
пространстве $L^{p}[-1,1]$ с весом Гегенбауэра.

Настоящий очерк посвящён рассказу о жизни и научном творчестве замечательного российского математика Дмитрия Александровича Попова, отметившего свой 80-летний юбилей в августе 2019 г. Д.А. Попов внёс значительный вклад в математические основы рентгеновской, ультразвуковой и акустической томографии, теорию оценок осциллирующих интегралов, в задачи, связанные с распределением целых точек в круге на плоскости
и в телах вращения. Особое место в очерке отводится недавним результатам юбиляра по проблемам связи спектра оператора Лапласа на фундаментальной области модулярной группы с распределением простых чисел.