Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Ограниченный оператор сдвига для (k, 1)-обобщенного преобразования Фурье

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-85-96

Полный текст:

Аннотация

В пространствах с весом Данкля $v_k(x)$ степенного типа на $\mathbb{R}^d$, определяемым системой корней и неотрицательной функцией кратности $k$, инвариантной относительно конечной группы отражений, построен содержательный гармонический анализ. Классический анализ Фурье на евклидовом пространстве соответствует случаю $k\equiv 0$. В 2012 году Салем Бен Саид, Кобаяши и Орстед определили двупараметрическое $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье, действующее в пространствах с весом $|x|^{a-2}v_k(x)$, $a>0$. Наиболее интересны случаи $a=2$ и $a=1$. При $a=2$ обобщенное преобразование Фурье совпадает с преобразованием Данкля и оно хорошо изучено. В случае $a=1$
гармонический анализ, важный, в частности, в задачах квантовой механики, изучен пока еще не достаточно. Одним из существенных элементов гармонического анализа является ограниченный оператор сдвига, позволяющий определить свертку и структурные характеристики функций. При $a=1$ имеется оператор сдвига $\tau^yf(x)$. Его $L^p$-ограниченность недавно установлена Салемом Бен Саидом и Делеавалом, но только на радиальных функциях и при $1\le p\le 2$. В настоящей работе предложен новый оператор обобщенного сдвига $T^tf(x)$. Он получается интегрированием оператора $\tau^yf(x)$ по единичной евклидовой сфере по переменной $y'$, $|y'|=1$, $y=ty'$. Мы доказываем, что он положителен на функциях из пространства Шварца $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$, для него $T^t1=1$ и он допускает представление с вероятностной мерой. Отсюда мы выводим его $L^p$-ограниченность для всех $1\le p<\infty$ и ограниченность на пространстве $C_b(\mathbb{R}^d)$ непрерывных ограниченных функций.

Об авторе

Валерий Иванович Иванов
Институт прикладной математики и компьютерных наук Тульского государственного университета
Россия
доктор физико-математических наук, профессор


Для цитирования:


Иванов В.И. Ограниченный оператор сдвига для (k, 1)-обобщенного преобразования Фурье. Чебышевский сборник. 2020;21(4):85-96. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-85-96

For citation:


Ivanov V.I. Bounded translation operator for the (k, 1)-generalized Fourier transform. Chebyshevskii Sbornik. 2020;21(4):85-96. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-85-96

Просмотров: 126


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)