Арифметические свойства элементов прямых произведений p-адических полей

Аннотация

В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости,
формулируются и доказываются теоремы для
некоторых элементов прямых произведений $p$-адических полей, а также,
теорема об оценке многочлена от таких элементов.
Пусть $\mathbb{Q}_p$~--- пополнение $\mathbb{Q}$ по
$p$-адической норме, поле $\Omega_{p}$~--- пополнение алгебраического замыкания $\mathbb{Q}_p$,
$g=p_1p_2\ldots p_n$~--- произведение различных простых чисел,
а пополнение $\mathbb{Q}$ по $g$-адической псевдонорме
это кольцо $\mathbb{Q}_g$, иными словами $\mathbb{Q}_{p_1}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Q}_{p_n}$.
Рассматривается кольцо $\Omega_g\cong\Omega_{p_1}\oplus\ldots\oplus\Omega_{p_n}$,
содержащее $\mathbb{Q}_g$ в качестве подкольца. Вопросы о трансцендентности и алгебраической
независимости над $\mathbb{Q}_g$ элементов $\Omega_g$ привели к результатам полученным в статье.
При соблюдении некоторых условий можно делать соответствующие выводы для чисел вида
$\alpha=\sum\limits_{j=0}^{\infty}a_{j}g^{r_{j}},\;
\text{где}\;a_{j}\in \mathbb Z_g,$
а неотрицательные рациональные числа $r_{j}$ образуют возрастающую и
стремящуюся к $+\infty$ при $j\rightarrow +\infty$ последовательность.