О приближении средними Фейера классов аналитических периодических функций

Аннотация

Работа посвящена вопросам приближения периодических функций высокой гладкости средними арифметическими сумм Фурье. Наиболее естественным и простым примером линейного процесса аппроксимации периодических непрерывных функций действительной переменной является приближение елементами последовательности частичных сумм ряда Фурье. Известно, что последовательности частичных сумм ряда Фурье не являются равномерно сходящимися на всем пространстве $C$ $2\pi$-периодических непрерывных функций. Поэтому значительное число работ данного направления посвящено изучению аппроксимативных свойств других методов приближения, которые для заданной функции $f$ образуются с помощью некоторых преобразований частичных сумм ее ряда Фурье, и позволяют построить последовательности тригонометрических полиномов, которые равномерно сходятся для каждой функции $f \in C$. В частности, на протяжении последних десятилетий интенсивно изучаются суммы Валле Пуссена и суммы Фейера. В настоящее время в публикациях этой тематики накоплено значительное количество фактического материала. Одним из наиболее важных направлений в этой области является изучение асимптотического поведения верхних граней уклонений средних арифметических сумм Фурье по различным классам периодических функций. Методы исследования интегральных представлений уклонений тригонометрических полиномов, которые порождаются линейными методами суммирования рядов Фурье, возникли и получили свое развитие в работах С.М.~Никольского, С.Б.~Стечкина, Н.П.~Корнейчука, В.К. Дзядыка и их учеников.

Целью работы является систематизация известных результатов, касающихся приближения классов периодических функций высокой гладкости средними арифметическими сумм Фурье, и представление новых фактов, полученных для их частных случаев.

В работе изучено аппроксимативные свойства сумм Фейера на классах периодических функций, которые можно регулярно продолжить в соответствующую полосу комплексной плоскости. Получена асимптотическая формула для верхних граней уклонений в равномерной метрике сумм Фейера на классах интегралов Пуассона. Полученная формула обеспечивает решение соответствующей задачи Колмогорова-Никольского без дополнительных условий.