Обобщённая формула бинома Ньютона и формулы суммирования

Аннотация

В основе работы лежит формула бинома Ньютона и её обобщения на последовательности многочленов биномиального типа. Даны применения к обобщённой проблеме Варинга (Хуа Ло-кен) и проблеме Гильберта – Камке (Г.И.Архипов). Доказана формула Тейлора – Маклорена для многочленов и гладких функций и даны её приложения в численном анализе (решение уравнений методом касательных Ньютона, лемма Гензеля в полных
неархимедовских полях, приближенное вычисление значений гладких функций в точке). Даётся аналог формулы бинома Ньютона для многочленов Бернулли и доказывается формула Эйлера — Маклорена суммирования значений функции по целым точкам, выведена формула Пуассона суммирования значений функции. Рассмотрены примеры последовательностей многочленов биномиального типа (степени, нижние и верхние факториальные
степени, многочлены Абеля и Лагерра). Найдены биномиальные свойства многочленов Аппеля и Эйлера. Для многочленов и гладких функций от нескольких переменных доказана формула Тейлора, получены многомерные аналоги формул Эйлера – Маклорена и Пуассона суммирования значений функции по решётке. Рассмотрен многомерный аналог этих формул для решётки в многомерном комплексном пространстве. Доказаны ряд свойств
последовательности многочленов биномиального типа от нескольких переменных.