Новые границы алгебраической константы Никольского

Аннотация

Пусть $M_{n}=\sup_{P\in \mathcal{P}_{n}\setminus \{0\}} \frac{\max_{x\in

[-1,1]}|P(x)|}{\int_{-1}^{1}|P(x)|\,dx}$ --- константа Никольского между

равномерной и интегральной нормами для алгебраических полиномов с комплексными

коэффициентами степени не выше $n$. D. Amir и Z. Ziegler (1976) доказали, что

$0.125(n+1)^{2}\le M_{n}\le 0.5(n+1)^{2}$ для $n\ge 0$. Аналогичная оценка

сверху получена T.K. Ho (1976). F. Dai, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2019--2020)

уточнили этот результат, установив, что $M_{n}=Mn^{2}+o(n^{2})$ при $n\to

\infty$, где $M\in (0.141,0.192)$ --- точная константа Никольского для целых

функций экспоненциального сферического типа в пространстве

$L^{1}(\mathbb{R}^{2})$ и функций экспоненциального типа в $L^{1}(\mathbb{R})$

с весом $|x|$.

Мы доказываем, что для произвольного $n\ge 0$ имеем $M(n+1)^{2}\le M_{n}\le

M(n+2)^{2}$, где $M\in (0.1410,0.1411)$. Данное утверждение также позволяет

уточнить точную константу Джексона--Никольского для полиномов на евклидовой

сфере $\mathbb{S}^{2}$. Доказательство базируется на взаимосвязи алгебраических

констант Никольского с тригонометрическими константами Бернштейна--Никольского

и наших результатах об оценках последних (2018--2019). Также мы применяем

характеризацию экстремального алгебраического полинома, полученную D. Amir и

Z. Ziegler (1976), В.В. Арестовым и М.В. Дейкаловой (2015). С помощью этой

характеризации мы составляем тригонометрическую систему для определения нулей

экстремального полинома, которую решаем приближенно с необходимой точностью с

помощью метода Ньютона.