Лемма о компактности в непериодических структурах и ее применении при усреднении уравнений диффузии-конвекции

Аннотация

В работе доказывается сильная компактность последовательности $\{\tilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\}$ в $\mathbb{L}_{2}(\Omega_{T})$,
$\Omega_{T}=\Omega\times(0,T)$, $\Omega\subset \mathbb{R}^{3}$, ограниченную в пространстве $\mathbb{W}^{1,0}_{2}(\Omega_{T})$ с последовательностью производных по времени
$\left\{ \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\big(\chi(\boldsymbol{x},t,\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon})
\tilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\big) \right\}$ ограниченной в пространстве $\mathbb{L}_{2}\big((0,T);\mathbb{W}^{-1}_{2}(\Omega)\big)$,
где характеристическая функция $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ есть 1-периодическая в $\displaystyle \boldsymbol{y}\in Y=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)^{3}\subset \mathbb{R}^{3}$.

В качестве приложения рассмотрим усреднение уравнения диффузии-конвекции в непериодической структуре, заданной 1-периодической в $\boldsymbol{y}$ характеристической функцией $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ с последовательностью бездивергентных скоростей $\{\boldsymbol{v}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\}$, слабо сходящейся в $\mathbb{L}_{2}(\Omega_{T})$.