В работе получены оценки сверху и снизу количества нулей функций специального вида, а также оценка меры множества точек в которых такие функции принимают малые значения. Пусть f₁ (x), ..., f_n (x) функции определенные на интервале I, n+1 раз дифференцируемы и вронскиан из производных почти везде (в смысле меры Лебега) на I отличен от 0. Такие функции называются невырожденными. Задача о распределении нулей функции F (x) = a_nf_n (x) + ... + a₁f₁ (x) + a₀, a_j ∈ Z, 1 ≤ j ≤ n является обобщением многих задач о распределении нулей полиномов и имеет важное значение в метрической теории диофантовых приближений. Интересным оказался тот факт, что в распределении корней функции F (x) и распределении нулей полиномов есть много общего. Например, количество нулей функции F (x) на фиксированном отрезке не превышает n, как и у полиномов — количество нулей не превышает степень полинома.

Были доказаны три теоремы: об оценке количества нулей сверху, об оценке количества нулей снизу, а также вспомогательная метрическая теорема, которая необходима для получения оценок снизу. При получении нижних оценок был использован метод существенных и несущественных областей, которые ввел В. Г. Спринджук.

Пусть Q > 1 достаточно большое целое число, а интервал I имеет длину Q^−γ, 0 ≤ γ < 1. Были получены оценки сверху и снизу для количества нулей функции F (x) на интервале I, при |a_j|≤ Q, 0 ≤ γ < 1, а также была указана зависимость этого количества от интервала I. При γ = 0 аналогичные результаты имеются у А. С. Пяртли, В. Г. Спринджука, В. И. Берника, В. В. Бересневича, Н. В. Будариной.

Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из основыных направлений теории диофантовых приближений.

В настоящее время разработан целый ряд методов, позволяющих получать подобные оценки для значений аналитических функций. Наиболее эффективным оказался метод, связанный с построением различных интегральных конструкций; одним из первых подобных построений является классическое интугральное представление гипергеометрической функции Гаусса.

Оценки снизу меры иррациональности логарифмов рациональных чисел рассматривались многими зарубежными авторами: А. Бейкер и Д. Вустольц [4], А. Хеймонен, Т. Матала-ахо, К. Ваананен [5], К. Ву [6], Д. Рин и П. Тоффин [7]. В своих работах они применяли различные интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от логарифмов и других чисел, вычисляли асимптотику интегралов и коэффициентов линейных форм с помощью метода перевала, теоремы Лапласа, оценивали знаменатель коэффициентов линейных форм с использованием различных схем "сокращения простых чисел". Обзор некоторых методов из теории диофантовых приближений логарифмов рациональных чисел того времени был представлен в 2004 году в статье В. В. Зудилина [8].

Затем В. Х. Салихов в работе [3], основываясь на тех же асимптотических методах, но использовав новый вид интегральной конструкции, обладающей свойством симметрии, значительно улучшил оценку меры иррациональности числа ln3. Впоследствии В. Х. Салихову, благодаря использованию уже комплексного симметризованного интеграла, удалось улучшить оценку меры иррациональности числа π [15]. В дальнейшем данный метод (применительно к диофантовым приближениям логарифмов рациональных чисел) получил развитие в работах его учеников: Е. С. Золотухиной [10, 11], М. Ю. Лучина [12, 13], Е. Б. Томашевской [14]. Это привело к улучшению оценок мер иррациональности целого ряда чисел:

µ(log(5/3)) ≤ 5.512... [14], µ(log(8/5)) < 5.9897 [12], µ(log(7/5)) ≤ 4.865... [14], µ(log(9/7)) ≤ 3.6455... [10], µ(log(7/4)) < 8.1004 [13].

С помощью интегральной конструкции, основанной на симметризованных многочленах, получена новая оценка меры иррациональности числа ln3. Предыдущий результат принадлежал К. Ву и Л. Вангу и был установлен в 2014 г.

Улучшение оценки связано с добавлением к симметризованным многочленам, использованным в интегральной конструкции К. Ву и Л. Ванга, специального квадратного симметризованного многочлена.

Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности операций над ними, образует алгебру, называемую алгеброй отношений. Всякую такую алгебру можно рассматривать как упорядоченную отношением теоретико-множественного включения. Для заданного множества Ω операций над бинарными отношениями обозначим через V  ar{Ω} [V ar{Ω,⊂}] многообразие, порождённое алгебрами [соответственно упорядоченными алгебрами] отношений с операциями из Ω. Операции над отношениями, как правило, задаются формулами исчисления предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Важным классом логических операция является класс диофантовых операций. Операция называется диофантовой, если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операции конъюнкции и кванторы существования. В работе изучаются алгебры отношений с одной бинарной диофантовой операцией, то есть группоиды отношений. В качестве рассматриваемой операции выступает диофантова операция *, определяемая следующим образом: ρ*σ = {( x,у) ∈ X × X : (∃z)( x, z) ∈ ρ∧( x, z) ∈ σ}. Отношение ρ*σ представляет собой результат цилиндрификации пересечения ρ∩σ бинарных отношений ρ и σ. В работе находятся конечные базисы тождеств для многообразий V ar{*} и V ar{*,⊂}. Группоид (A, ) принадлежит многообразию V ar{*} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам: xy = уx (1), (xу)² = xу (2), (xу)у = xу (3), x ²у ² = x ²у (4), (x ²у ²)z = x ²(у ²z) (5). Упорядоченный группоид (A,·,≤) принадлежит многообразию V ar{*,⊂} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1)–(5) и тождествам: х ≤ x² (6), xу ≤ x ² (7). В качестве следствия также получен конечный базис тождеств многообразия V ar{*,∪}.

Рассматривается задача моделирования поведения армированной бетонной цилиндрической оболочки в условиях радиационного облучения. Получены разрешающие уравнения для оболочки, учитывающие совместное действие нагрузки и радиационного облучения. Считается, что механические характеристки бетона и арматуры зависят от дозы облучения. Учитывается также неодинаковая работа бетона на растяжение и сжатие. При выводе используется прием замены дискретного армирования в каждом направлении некоторым эквивалентным слоем. Для решения полученных уравнений предложено использовать шаговую по времени методику с нахождением на каждом шаге закона распределения дозы облучения по телу оболочки, деформации распухания, а по ним законов распределения механических характеристик бетона и арматуры с учетом влияния облучения и характера напряженного состояния.

Статья посвящена памяти Олега Николаевича Введенского (1937 – 1981 гг.). О. Н. Введенский был учеником академика И. Р. Шафаревича. Исследования О. Н. и полученные им результаты связаны с двойственностью в эллиптических кривых и с соответствующими когомологиями Галуа над локальными полями, со спариванием Шафаревича-Тэйта и с другими спариваниями, с локальной и квази-локальной теорией полей классов эллиптических кривых, с теорией абелевых многообразий размерности больше 1, с теорией коммутативных формальных групп над локальными полями. Представлены как результаты, полученные О. Н. Введенским, так и новые избранные результаты, развивающие исследования в направлениях фундаментальных групп схем, главных однородных пространств (торсеров) и двойственности. Первая часть статьи, представлення здесь, является введением как в результаты, полученные О. Н. Введенским в направлении двойственности абелевых многообразий и формальных групп, так и в новые избранные результаты, развивающие исследования в направлениях фундаментальных групп схем, главных однородных пространств (торсеров) и двойственности. Во Введении приведены предварительные сведения и представлено содержание статьи. В первом разделе дан краткий обзор избранных результатов по теории алгебраических, квазиалгебраические и проалгебраические группы и групповых схем. Далее, в разделе 2 преставлены избранные результаты по фундаментальным группам алгебраических многообразий, по фундаментальным группам схем, а в разделе 3 - избранные результаты о главных однородных пространствах (торсерах), развивающие исследования О. Н. и других авторов. Термин торсер мы используем как перевод на русский язык в редакции И.Р. Шафаревича английского термина torsor. В разделе 4 даны сведения о двойственности, а в разделе 5 представлены результаты О. Н. по арифметической теории формальных групп и их развитие. Результаты, этого раздела, представленные над локальными и квази-локальными полями K, над их кольцами целых, и над их полями вычетов k, связанны (1) с формальной структурой абелевых многообразий, (2) с коммутативными формальными группами, (3) с соответствующими гомоморфизмами и изогениями. В статье алгебраические многообразия, абелевы схемы и коммутативные формальные групповые схемы определены, как правило, над локальными и квази-локальными полями, над их кольцами целых, и над их полями вычетов. Но кратко рассматриваются эти объектыи и над глобальными полями, так как О. Н. интересовала тематика алгебраических многообразий над глобальными полями и он проводил соответствующие исследования. Предполагается, что характеристика полей вычетов больше 3, если не оговаривается иное.

Я признателен В.Н. Чубарикову за предложение опубликовать статью в сборнике.

Особая признательность Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

Для косинус-преобразования Фурье на полупрямой Б. Логаном в 1983 году были поставлены и решены две экстремальные задачи. В первой задаче необходимо было найти минимальную окрестность нуля, вне которой нетривиальная интегрируемая четная целая функция экспоненциального типа не выше τ, имеющая неотрицательное преобразование Фурье, неположительна. Во второй задаче необходимо было найти минимальную окрестность нуля, вне которой нетривиальная интегрируемая четная целая функция экспоненциального типа не выше τ, имеющая неотрицательное преобразование Фурье и нулевое среднее значение, неотрицательна. Наибольшее развитие получила первая задача Логана, потому что она оказалась связанной с задачей об оптимальном аргументе в модуле непрерывности в точном неравенстве Джексона в пространстве L² между величиной наилучшего приближения целыми функциями экспоненциального типа и модулем непрерывности. Она была решена для преобразования Фурье на евклидовом пространстве и его обобщения преобразования Данкля, для преобразования Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля на полупрямой и преобразования Фурье на гиперболоиде.

Вторая задача Логана была решена только для преобразования Фурье на евклидовом пространстве. В настоящей работе она решается для преобразования Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля на полупрямой, в частности, для преобразований Ганкеля и Якоби. В качестве следствий этих результатов с помощью усреднения функций по евклидовой сфере получено решение второй задачи Логана для преобразования Данкля и преобразования Фурье на гиперболоиде. Общие оценки получены с помощью квадратурной формулы Гаусса по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля на полупрямой, недавно доказанной авторами работы. Во всех случаях построены экстремальные функции. Доказана их единственность.

В работе продолжены исследования нового класса рядов Дирихле — дзета-функций моноидов натуральных чисел. Изучаются обратные ряды Дирихле для дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы и для дзетафункций множеств простых элементов моноидов с однозначным разложением на простые элементы.

Для любого β > 1 построены примеры рядов Дирихле, у которых абсцисса абсолютной сходимости σ = . И для любого натурального β > 1 построены примеры пары дзетафункций ζ(B|α) и ζ(A_B,β|α) с равенством σ_AB,β = σB/ β.

Определено понятие сходимости последовательности множеств натуральных чисел. Доказано, что соответствующая последовательность дзета-функций этих множеств натуральных чисел будет равномерно сходиться в подходящей правой полуплоскости к дзетафункции предельного множества.

Рассматриваются различные примеры моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов. Получены ряд свойств дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.

Найден явный вид обратного ряда к дзета-функции множества простых чисел, дополненного единицей. Найден явный вид отношения дзета-функции Римана к дзета-функции множества простых чисел, дополненного единицей.

Рассмотрены вложенные последовательности моноидов, порожденные простыми числами. Для дзета-функций этих моноидов сформулирован принцип вложенности, который позволяет переносить результаты о коэффициентах одних дзета-функций на коэффициенты других дзета-функций.

В работе удалось впервые описать общий вид всех моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.

В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

В работе продолжено изучение нового класса рядов Дирихле — дзета-функции мо­ноидов натуральных чисел. Прежде всего детально изучена дзета-функция ????(M(g)|a) геометрической прогресс М(q) с первым членом равным 1 и произвольным натураль­ным знаменателем q > 1, которая является простейшем моноидом натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы моноида. Для мероморфной функции ????(M(g)|a) = qa/qα -1, имеющей множество полюсов

S(M(q)) ={2πikl/lnq│k ∈Z}

получены представления:

ζ(M(q)|α) = ∞ ∏︁ n=1(1 + α2 ln2 q 4π2n2 )︂−1 = 1 2 + 1 αlnq + ∞ ∑︁ n=1 2αlnq α2 ln2 q + 4n2π2 = = q α 2 αlnq 4π2 Γ(︂αilnq 2π )︂Γ(︂−αilnq 2π )︂.

Для дзета-функции ζ(M(p~)|α) моноида M(p~) с конечным числом простых чиселp~ = (p1,...,pn) получено разложение в бесконечное произведение

ζ(M(p~)|α) =P(p~)α 2 αnQ(p~)n ∏︁ ν=1∞ ∏︁ m=1(︂1 + α2 ln2 pν 4π2m2 )︂−1 ,

где P(p~) = p1 ...pn, Q(p~) = lnp1 ...lnpn, и найдено функциональное уравнение ζ(M(p~)|−α) = (−1)n ζ(M(p~)|α) P(p~)α .

Для моноида натуральных чисел M*(p~) = N · M−1(p~) с однозначным разложением на простые множители, состоящим из натуральных чисел n взаимно простых с P(p~) = p1 ...pn, и для эйлерово произведение P(M*(p~)|α), состоящего из сомножителей по всем простым числам отличным от p1,...,pn, найдено функциональное уравнение ζ(M*(p~)|α) = M(p~,α)ζ(M*(p~)|1−α), где M(p~,α) = M(α)· M1(p~,α) M1(p~,1−α) , M1(p~,α) = n ∏︁ ν=1(︂1− 1 pα ν)︂.

Доказано, что для любого бесконечного множества простых P1 не существует аналитической функции равной lim n→∞ ζ(M(p~n)|α) на всей комплексной плоскости.

Сформулирована гипотеза о заградительном ряде для любого экспоненциального множества PE простых чисел.

В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

Рассматривается класс рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами, определяющих функции, регулярные в правой полуплоскости комплексной плоскости и допускающие аппроксимацию полиномами Дирихле в критической полосе. Показано, что условие регулярности на мнимой оси позволяет аналитически продолжить такие ряды как целые функции на комплексную плоскость.

В основе доказательсва этого факта лежат свойства аппроцксимационных полиномов Дирихле и идеи Римана-Шварца, заложенные в принципе симметрии аналитического продолжения функций комплексного переменного. Указан класс рядов Дирихле, для которых выполняется условие аналитичности на мнимой оси.

Нужно отметить, что полученный в работе результат имеет непосредственное отношение к решению известной проблемы обобщенных характеров, поставленной Ю. В. Линником и Н. Г. Чудаковым в 1950м году.

Указанный в работе подход в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле с числовыми характерами допускает обобщение на ряды Дирихле с характерами числовых полей. Это позвволяет получить аналитическое продолжение не используя функциональное уравнение L-функций Дирихле числовых полей на комплексную плоскость.

Отметим также, что изучаемому в работе классу рядов Дирихле принадлежат и ряды Дирихле, коэффициенты которых определяются неглавными обобщенными характерами. Можно показать, что для этих рядов выполняется условие аналитического продолжения. Еще в 1984 году В. Н. Кузнецов показал, что в случае аналитического продолжения таких рядов целым образом на комплексную плоскость с определенным порядком роста модуля, то будет иметь место гипотеза Н. Г. Чудакова о том, что обобщенный характер является характером Дирихле. Но окончательное решение проблемы обобщенных характеров, поставленной в 1950м году Ю. В. Линником и Н. Г. Чудаковым, будет приведено в следующих работах авторов.

После 1975 г. работы Воронина известно, что некоторые дзета и L-функции универсальны в том смысле, что их сдвигами приближается широкий класс аналитических функций. Рассматриваются два типа сдвигов: непрерывный и дискретный.

В работе изучается универсальность дзета-функций Лерха L(λ,α,s), s = σ + it, которые в полуплоскости σ > 1 определяются рядами Дирихле с членами e^2πiλm(m + α)^−s с фиксированными параметрами λ ∈ R и α, 0 < α ≤ 1, и мероморфно продолжаются на всю комплексную плоскость. Получены совместные дискретные теоремы универсальности для дзета-функций Лерха. Именно, набор аналитических функций f₁(s),...,f_r(s) одновременно приближаются сдвигами L(λ₁,α₁,s + ikh),...,L(λ_r,α_r,s + ikh), k = 0,1,2,..., где h > 0 - фиксированное число. При этом требуется линейная независимость над полем рациональных чисел множества{(log(m + α_j) : m ∈N₀, j = 1,...,r), }. Доказательство теорем универсальности использует вероятностные предельные теоремы о слабой сходимости вероятностных мер в пространстве аналитических функций.

В работе дан обзор методов расчета, основных параметров процессов пластического деформирования дилатирующих материалов, типичными представителями которых являются порошковые металлические системы различных химических составов. В их основу положены математические модели, использующие не только качественное объяснение, но и количественное описание эффекта дилатансии. Приведена полная система основных уравнений теории пластичности жесткопластических изотропных дилатирующих сред. Рассмотрен пример расчета установившегося пластического течения в условиях осесимметричной деформации. Показано, что для осесимметричной деформации уравнения относительно проекций вектора скорости на характеристические направления, аналогичны уравнениям для плоской деформации. Установлено, что используемые в настоящее время условия текучести с различной степенью точности описывают виды дилатансии (разрыхление и уплотнение). Поэтому, для более точного решение некоторых задач необходимо уточнение математических моделей условия текучести. Для некоторых процессов, пластического формоизменения при решении системы уравнений дилатирующих сред целесообразно условия текучести представлять в виде отдельных областей: гиперболичной, параболичной и эллиптичной.

В статье рассматривается развитие понятия "артиновость"для алгебр Ли. Понятие артиновости было введено для ассоциативных колец с условием минимальности. Одновременно с этим оно распространилось на модули и подалгебры. Чуть позже стали рассматривать артиновы йордановы алгебры. Для таких алгебр роль одностороннего идеала играет квадратичный идеал или, как назвал его Н.Джекобсон, вутренний идеал. Артиновость для алгебр Ли через идеалы определяли Ю.А. Бахтурин, С.А. Пихтильков и В.М. Поляков. Они рассматривали специальные артиновы алгебры Ли. С.А. Пихтильков применял артиновы алгебры Ли для построения структурной теории специальных алгебр Ли. Джорджия Бенкарт определила артиновость для алгебр Ли через внутренние идеалы. Ф. Лопес, Е. Гарсия, Г. Лозано исследовали понятие внутреннего идеала применительно к артиновости с помощью йордановых пар. Определение артиновости для алгебр Ли в данной статье представлено в трёх смыслах: через подалгебры, идеалы и внутренние идеалы. Представлена установленная авторами ранее связь между данными определениями. Рассмотрены примеры артиновых алгебр Ли. Описано применение артиновых алгебр Ли к решению проблемы Михалева: первичный радикал артиновой алгебры Ли является разрешимым.

Совокупность линейных алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, следуя А.И. Мальцеву, называется многообразием. Используя язык теории алгебр Ли будем говорить, что алгебра метабелева, если она удовлетворяет тождеству (xy)(zt) ≡ 0. Многообразие называется шпехтовым, если оно само и любое его подмногообразие обладает конечным базисом тождеств. Рост многообразия определяется ростом последовательности размерностей полилинейных частей относительно свободной алгебры многообразия. Эту последовательность традиционно называют последовательностью коразмерностей, имея в виду полилинейные пространства идеала тождеств многообразия. В данной статье приведены результаты связанные с проблемой дробного полиномиального роста. Дается обзор новых примеров таких многообразий, а также приводятся новые примеры многообразий, которые не удовлетворяют свойству шпехтовости, то есть которые обладают бесконечно базируемыми подмногообразиями.

Задачи, связанные с классификацией последовательностей символов некоторого алфавита, часто возникают в таких областях, как биоинформатика и обработка естественного языка. Методы глубокого обучения, в особенности модели на основе рекуррентных нейронных сетей, в последние несколько лет зарекомендовали себя как наиболее эффективный способ решения подобных задач. Однако существующие подходы имеют серьезный недостаток — низкую интерпретируемость получаемых результатов. Крайне сложно установить какие именно свойства входной последовательности ответственны за её принадлежность к тому или иному классу. Упрощение же таких моделей с целью повышения их интерпретируемости, в свою очередь, приводит к снижению качества классификации. Такие недостатки ограничивают применение современных методов машинного обучения во многих предметных областях. В настоящей работе мы представляем принципиально новую, интерпретируемую архитектуру нейронных сетей, основанную на поиске набора коротких подпоследовательностей — мотивов, наличие которых влияет на принадлежность последовательности к определенному классу. Ключевой составляющей предлагаемого решения является разработанный нами алгоритм дифференцируемого выравнивания, являющийся дифференцируемым аналогом таких классических способов сравнения строк, как редакционное расстояние Левенштейна и алгоритм Смита–Ватермана. В отличие от предыдущих работ, посвященных классификации последовательностей на основе мотивов, новый метод позволяет не только выполнять поиск в произвольной части строки, но и учитывать возможные вставки.

Работа посвящена изучению тригонометрических сумм алгебраических сеток с весами, которые играют центральную роль в модификации метода К. К. Фролова, предложенной Н. М. Добровольским в 1984 году. Тригонометрическую сумму алгебраической сетки с весами для вектора ⃗m = ⃗0, естественно, назвать взвешенным числом точек алгебраической сетки.

Во введении данной работы предложено обоснование актуальности темы исследования, даются необходимые определения и факты из современной теории метода К. К. Фролова, доказывается важная теорема о разложении тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами в ряд по точкам алгебраической сетки. В разделе «Вспомогательные леммы» приводятся без доказательства необходимые факты из теории весовых функций специального вида, которые играют принципиальную роль в модификации Н. М. Добровольского метода К. К. Фролова.

Используя теорему о разложении тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами в ряд по точкам алгебраической сетки и лемму о значении тригонометрического интеграла от весовой функции, в работе выводится асимптотическая формула для взвешенного числа точек алгебраической сетки со специальной весовой функцией порядка 2, которая утверждает, что такое число стремится к единице. Аналогично, показано, что при росте детерминанта алгебраической решётки для любого вектора ⃗m ≠ ⃗0, тригонометрическая сумма алгебраических сеток с весами, заданной специальной весовой функцией, стремится к 0.

Для простоты изложения в основном тексте статьи рассматривается только случай простейшей весовой функции порядка 2.

В заключении сформулированы без доказательства аналогичные утверждения о значениях тригонометрических сумм алгебраических сеток со специальными весовыми функциями порядка r + 1 для произвольного натурального r.

А именно, утверждается, что для взвешенного числа точек алгебраической сетки со специальной весовой функцией порядка r справедливо стремление к 1 с остаточным членом порядка s−1 логарифма детерминанта алгебраической решётки, делённого на r + 1 степень детерминанта алгебраической решётки. Аналогичное утверждение справедливо о стремлении к нулю тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами, заданной специальной весовой функцией порядка r + 1.

Представлено решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом эллипсоиде E с внешним слоисто-неоднородным слоем. Эллипсоид находится в полупространстве, заполненном идеальной жидкостью. Граница полупространства Π является акустически жесткой или акустически мягкой поверхностью.

Для решения область, занятая жидкостью, расширена до полного пространства. Введено дополнительное препятствие, являющееся копией E, расположенное зеркально по отношению к плоскости Π. Добавление второй падающей плоской волны обеспечивает выполнение того условия в точках плоскости Π, которое соответствует типу границы полупространства в начальной постановке задачи. Таким образом, задача сводится к задаче о рассеянии двух плоских звуковых волн на двух эллипсоидах в неограниченном пространстве.

Решение проводится на основе линейной теории упругости и модели распространения малых возмущений в идеальной жидкости. Во внешней части окружающей среды решение ищется аналитически в форме разложения по сферическим гармоникам и функциям Бесселя. В шаровой области, включающей два эллипсоида и прилегающий слой жидкости, используется метод конечных элементов (МКЭ).

Представлены результаты расчета диаграмм направленности рассеянного звукового поля в дальней зоне, которые показывают влияние геометрических и материальных параметров эллипсоида на дифракцию звука.

В статье получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на двух однородных упругих цилиндрах с радиально-неоднородными покрытиями, находящимися в идеальной жидкости. Волновые поля в содержащей среде и однородных упругих телах находятся аналитически, а для нахождения полей смещений в неоднородных покрытиях построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

С помощью непрерывно-неоднородных упругих покрытий можно эффективно изменять характеристики рассеяния тел в определенных направлениях, если подобрать соответствующие законы неоднородности для механических параметров покрытия. Задача представляет интерес для изучения дифракции звука на решетке цилиндрических тел, а также служит необходимым элементом решения методом мнимых источников задачи о дифракции звука на одиночном однородном упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи акустически мягкой или абсолютно жесткой плоской поверхности.