О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы

В работе продолжены исследования нового класса рядов Дирихле — дзета-функций моноидов натуральных чисел. Изучаются обратные ряды Дирихле для дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы и для дзетафункций множеств простых элементов моноидов с однозначным разложением на простые элементы.

Для любого β > 1 построены примеры рядов Дирихле, у которых абсцисса абсолютной сходимости σ = . И для любого натурального β > 1 построены примеры пары дзетафункций ζ(B|α) и ζ(A_B,β|α) с равенством σ_AB,β = σB/ β.

Определено понятие сходимости последовательности множеств натуральных чисел. Доказано, что соответствующая последовательность дзета-функций этих множеств натуральных чисел будет равномерно сходиться в подходящей правой полуплоскости к дзетафункции предельного множества.

Рассматриваются различные примеры моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов. Получены ряд свойств дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.

Найден явный вид обратного ряда к дзета-функции множества простых чисел, дополненного единицей. Найден явный вид отношения дзета-функции Римана к дзета-функции множества простых чисел, дополненного единицей.

Рассмотрены вложенные последовательности моноидов, порожденные простыми числами. Для дзета-функций этих моноидов сформулирован принцип вложенности, который позволяет переносить результаты о коэффициентах одних дзета-функций на коэффициенты других дзета-функций.

В работе удалось впервые описать общий вид всех моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.

В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

1. М. Айгнер Комбинаторная теория. — М.: Мир, 1982. 558 с.

2. Э. Бомбьери, А. Гош Вокруг функции Дэвенпорта–Хейльбронна // УМН, 2011. Т. 66, вып. 2(398). С. 15–66.

3. С. М. Воронин Избранные труды: Математика / Под ред. А. А. Карацубы. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2006. — 480 с.

4. С. М. Воронин, А. А. Карацуба Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.

5. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012 Т. 13. Вып. 4(44). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 4–107.

6. ДобровольскийМ.Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Доклады академии наук 2007. Т. 412, № 3. С. 302–304.

7. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова О гиперболической дзета-функции Гурвица // Чебышевский сб. 2016. Т. 17, вып. 3. С. 72–105.

8. Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187–207.

9. Г. Дэвенпорт Мультипликативная теория чисел. — М.: Наука, 1971. — 200 с.

10. А. Гурвиц, Р. Курант Теория функций. — М.: Наука, 1968. — 618 с.

11. Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем. — М.: Мир, 1967. 511 с.

12. И. И. Привалов Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1977. — 444 с.

13. Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — 440 с.

14. Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. — М.: И-Л, 1952. — 407 с.

15. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. 188с.

16. Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ. — М.: Наука, 1975. 272 с.

17. H. Davenport, H. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series // J. London Math. Soc. 1936. Vol. 11. P. 181–185.

18. L. P. Dobrovolskaya, M. N. Dobrovolsky, N. M. Dobrovol’skii, N. N. Dobrovolsky. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23–62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.