Симметризованные многочлены в задаче оценки меры иррациональности числа ln31

Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из основыных направлений теории диофантовых приближений.

В настоящее время разработан целый ряд методов, позволяющих получать подобные оценки для значений аналитических функций. Наиболее эффективным оказался метод, связанный с построением различных интегральных конструкций; одним из первых подобных построений является классическое интугральное представление гипергеометрической функции Гаусса.

Оценки снизу меры иррациональности логарифмов рациональных чисел рассматривались многими зарубежными авторами: А. Бейкер и Д. Вустольц [4], А. Хеймонен, Т. Матала-ахо, К. Ваананен [5], К. Ву [6], Д. Рин и П. Тоффин [7]. В своих работах они применяли различные интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от логарифмов и других чисел, вычисляли асимптотику интегралов и коэффициентов линейных форм с помощью метода перевала, теоремы Лапласа, оценивали знаменатель коэффициентов линейных форм с использованием различных схем "сокращения простых чисел". Обзор некоторых методов из теории диофантовых приближений логарифмов рациональных чисел того времени был представлен в 2004 году в статье В. В. Зудилина [8].

Затем В. Х. Салихов в работе [3], основываясь на тех же асимптотических методах, но использовав новый вид интегральной конструкции, обладающей свойством симметрии, значительно улучшил оценку меры иррациональности числа ln3. Впоследствии В. Х. Салихову, благодаря использованию уже комплексного симметризованного интеграла, удалось улучшить оценку меры иррациональности числа π [15]. В дальнейшем данный метод (применительно к диофантовым приближениям логарифмов рациональных чисел) получил развитие в работах его учеников: Е. С. Золотухиной [10, 11], М. Ю. Лучина [12, 13], Е. Б. Томашевской [14]. Это привело к улучшению оценок мер иррациональности целого ряда чисел:

µ(log(5/3)) ≤ 5.512... [14], µ(log(8/5)) < 5.9897 [12], µ(log(7/5)) ≤ 4.865... [14], µ(log(9/7)) ≤ 3.6455... [10], µ(log(7/4)) < 8.1004 [13].

С помощью интегральной конструкции, основанной на симметризованных многочленах, получена новая оценка меры иррациональности числа ln3. Предыдущий результат принадлежал К. Ву и Л. Вангу и был установлен в 2014 г.

Улучшение оценки связано с добавлением к симметризованным многочленам, использованным в интегральной конструкции К. Ву и Л. Ванга, специального квадратного симметризованного многочлена.

1. Wu Q., Wang L. On the irrationality measure of log3 // Journal of Number Theory. 2014. Vol. 142. P. 264-273.

2. Rhin G. Approximants de Pade et mesures effectives d’ irrationalite // Seminaire de Theorie des Nombres, Paris 1985-1986. Boston: Birkhauser, 1987. P. 155-164. (Progress i Mathematics. Vol. 71.)

3. Салихов В.Х. О мере иррациональности ln3 // Доклады АН РФ. 2007. Т. 417, № 6. С. 753755.

4. Baker A., Wüstolz G. Logarithmic forms and group varieties // J. Reine Angew. Math. 1993. Vol. 442. P. 19-62.

5. Heimonen A., Matala-aho T., Väänänen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. № 1. P. 183-202.

6. Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. 2002. Vol. 72, № 242. P. 901-911.

7. Rhin G., Toffin P. Approximants de Padé simultanés de logaritmes // J. Number Theory. 1986. Vol. 24. P. 284-297.

8. Зудилин В. В. Эссе о мерах иррациональности π и других логарифмов // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, № 2. С. 49-65.

9. Салихов В. Х. О мере иррациональности числа π // Математические заметки. 2010. Т. 88, № 4. С. 583-593.

10. Золотухина Е.C. Диофантовы приближения некоторых логарифмов : дис. ... канд. физ.мат. наук. Брянск, 2009. 100 с.

11. Сальникова Е. С. Приближения некоторых логарифмов числами из полей Q и Q(√d) // Фундамент. и приклад. математика. 2010. Т. 16, № 6. С. 139-155.

12. Лучин М. Ю. О диофантовых приближениях некоторых логарифмов // Вестник Брян. гос. ун-та. 2012. № 4 (2). С. 22-28.

13. Лучин М. Ю. Оценка меры иррациональности числа ln 7/4 // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, № 2. С. 123-131. то же [Электронный ресурс]. URL: http://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/82

14. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях значений функции logx // Фундамент. и приклад. математика. 2010. Т. 16, № 6. С. 157-166.

15. Hata M. Rational approximations to π and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. LXIII, № 4. P. 335-349.