Распределение нулей невырожденных функций на коротких отрезках
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-5-14
Аннотация
В работе получены оценки сверху и снизу количества нулей функций специального вида, а также оценка меры множества точек в которых такие функции принимают малые значения. Пусть f1 (x), ..., fn (x) функции определенные на интервале I, n+1 раз дифференцируемы и вронскиан из производных почти везде (в смысле меры Лебега) на I отличен от 0. Такие функции называются невырожденными. Задача о распределении нулей функции F (x) = anfn (x) + ... + a1f1 (x) + a0, aj ∈ Z, 1 ≤ j ≤ n является обобщением многих задач о распределении нулей полиномов и имеет важное значение в метрической теории диофантовых приближений. Интересным оказался тот факт, что в распределении корней функции F (x) и распределении нулей полиномов есть много общего. Например, количество нулей функции F (x) на фиксированном отрезке не превышает n, как и у полиномов — количество нулей не превышает степень полинома.
Были доказаны три теоремы: об оценке количества нулей сверху, об оценке количества нулей снизу, а также вспомогательная метрическая теорема, которая необходима для получения оценок снизу. При получении нижних оценок был использован метод существенных и несущественных областей, которые ввел В. Г. Спринджук.
Пусть Q > 1 достаточно большое целое число, а интервал I имеет длину Q−γ, 0 ≤ γ < 1. Были получены оценки сверху и снизу для количества нулей функции F (x) на интервале I, при |aj|≤ Q, 0 ≤ γ < 1, а также была указана зависимость этого количества от интервала I. При γ = 0 аналогичные результаты имеются у А. С. Пяртли, В. Г. Спринджука, В. И. Берника, В. В. Бересневича, Н. В. Будариной.
Об авторах
В. И. Берник
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь
Беларусь
Берник Василий Иванович — доктор физико-математических наук наук, профессор, старший научный сотрудник.
Минск
Н. В. Бударина
Технологический институт
Ирландия
Ирландия
Бударина Наталия Викторовна — доктор физико-математических наук, профессор.
Дублин-роуд, Маршес Аппер
А. В. Луневич
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь
Беларусь
Луневич Артём Вадимович — кандидат физико-математических наук наук, младший научный сотрудник.
Минск
Хью О’Доннел
Технологический институт
Ирландия
Ирландия
О’Доннел Хью — доктор физико-математических наук, профессор.
Дублин
Список литературы
1. Ибрагимов, И. А., Маслова, Н. Б. О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов. II. Коэффициенты с ненулевым средним // Теория вероятн. и ее примен., 1971 vol. 16, P. 595-503
2. Запорожец, Д. Н. Ибрагимов, И. А. О площади случайной поверхности. Вероятность и статистика // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2010, vol. 384, P. 154-1750.
3. Берник, В. И., Гётце, Ф. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интервалах // Изв. РАН. Сер. матем., 2015, vol. 79, no.1, P. 21-42.
4. Beresnevich, V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arith, 1999, Vol. 90, no. 8, P. 97-112.
5. Beresnevich, V., Bernik V. On a metrical theorem of W. Shmidt. Acta Arith // Acta Arith, 1996, vol. 75, P. 219-233.
6. Beresnevich, V. A. Grasher type theorem for convergence on maifolds // Acta Matth. Hung, 2002, vol. 94(1—2), P. 99-130.
7. Baker, R. Metric diophantine approximation on manifolds // J. Lond. Math. Soc., 1976, vol. 14, P. 43-48.
8. Berink, V. On the exact order of approximation of zero by the values of integer-valued polynomials // Acta. Arith., 1989, vol. 53, no. 1, P. 17-28.
9. Berink, V. Kleinbok, D., Marguli Y. 2001 Khinchine-type theorems on manifolds: the convergence case for standart and multiplicative versions // Jntern. Math. Res., vol. 9, P. 453-486.
10. Berink, V., Go¨tze, F. Distribution of real algebraic numbers of arbitary degree in short intervals // Jzv. Math. RAN., 2015, vol. 79, no. 1, P. 18-39.
11. Berink, V., Gusakova, A., G¨otze F. On ponts with algebraically conjugate coordinates close to smooth curves // Moscow Journal of Combinations and Number Theory, 2016, vol. 6, iss. 2-3, P. 56-101.
12. Kleinbok, D., Margulis, G. Flow on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds // Ann. of Math., 1998, vol. 148 no. 2, P. 339-360
13. Mahker K. ¨Uber das Mass der Menge aller S-Zhlen // Math. Ann.,1932, vol. 106, P. 131-139.
14. Pyartly, A. Diophantine approximation on submanifolds of euclidion space // Funk. Analis and its application, 1969, vol. 3, no. 4, P. 303-306
15. Shmidt, W. Metrische Satze über simultane Approximationen abhangiger Grossen // Monatsh. Math.,1964, vol. 68, P. 145-166
16. Sprindzuk, V. Achievements and problems of the theory of Diophantine approximations // Uspekhi mat. Baur.,1980, vol. 35, no. 4, P. 3-68.
17. Sprindzuk, V. Mahler problem in metric theory numbers, Eng. trans. // Amer. Math. Soc. Providence, 1969.
18. G¨otze, F. Koleda, D., Zaporozhets, D. Distribution of complex algebraic numbers // Proc. Amer. Math. Soc., 2017, vol. 145, no. 1, (), 61-71.
19. Bernik A., G¨otzeb F., Kukso O. Bad-approximable points and distribution of discriminants of the product of linear integer polynomials // Чебышевский сб., 2007m vol. 8, no. 2, P 140–147
20. Bernik A., G¨otzeb F., Gusakova A. On the distribution of points with algebraically conjugate coordinates in a neighborhood of smooth curves // Записки ПОМИ, 2016, P. 14-47
21. Beresnevich V., Bernik V., G¨otze F. Integral polynomials with small discriminants and resultants // Adv. Math., 2016, vol. 298, P. 393-412.
22. Koleda, D. V. On the density function of the distribution of real algebraic numbers // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 2017, vol. 29, P. 179-200.
Рецензия
Для цитирования:
Берник В.И., Бударина Н.В., Луневич А.В., О’Доннел Х. Распределение нулей невырожденных функций на коротких отрезках. Чебышевский сборник. 2018;19(1):5-14. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-5-14
For citation:
Bernik V.I., Budarina N.V., Lunevich A.V., O’Donnell H. Distribution of zeros of nondegenerate functions on short cuttings. Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(1):5-14. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-5-14
Просмотров: 400
Послать статью по эл. почте 