Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Граничное поведение и задача аналитического продолжения одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами как целых функций на комплексную плоскость

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-124-137

Полный текст:

Аннотация

Рассматривается класс рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами, определяющих функции, регулярные в правой полуплоскости комплексной плоскости и допускающие аппроксимацию полиномами Дирихле в критической полосе. Показано, что условие регулярности на мнимой оси позволяет аналитически продолжить такие ряды как целые функции на комплексную плоскость.

В основе доказательсва этого факта лежат свойства аппроцксимационных полиномов Дирихле и идеи Римана-Шварца, заложенные в принципе симметрии аналитического продолжения функций комплексного переменного. Указан класс рядов Дирихле, для которых выполняется условие аналитичности на мнимой оси.

Нужно отметить, что полученный в работе результат имеет непосредственное отношение к решению известной проблемы обобщенных характеров, поставленной Ю. В. Линником и Н. Г. Чудаковым в 1950м году.

Указанный в работе подход в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле с числовыми характерами допускает обобщение на ряды Дирихле с характерами числовых полей. Это позвволяет получить аналитическое продолжение не используя функциональное уравнение L-функций Дирихле числовых полей на комплексную плоскость.

Отметим также, что изучаемому в работе классу рядов Дирихле принадлежат и ряды Дирихле, коэффициенты которых определяются неглавными обобщенными характерами. Можно показать, что для этих рядов выполняется условие аналитического продолжения. Еще в 1984 году В. Н. Кузнецов показал, что в случае аналитического продолжения таких рядов целым образом на комплексную плоскость с определенным порядком роста модуля, то будет иметь место гипотеза Н. Г. Чудакова о том, что обобщенный характер является характером Дирихле. Но окончательное решение проблемы обобщенных характеров, поставленной в 1950м году Ю. В. Линником и Н. Г. Чудаковым, будет приведено в следующих работах авторов.

Об авторах

В. Н. Кузнецов
Саратовский государственный технический университет им. Ю.А. Гагарина
Россия

Кузнецов Валентин Николаевич — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики и системного анализа



О. А. Матвеева
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского
Россия

Матвеева Ольга Андреевна — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры алгебры и теории чисел



Список литературы

1. Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 198. Т. 36, № 6. С. 805–812.

2. Кузнецов. В. Н. Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле // Вычислительные методы и программирование: межвуз. сб. науч. трудов. Саратов: Изд-во СГУ, 1987. С. 17—23.

3. Матвеева О.А. Аппроксимационные полиномы и поведение L-функций Дирихле в критической полосе // Известия Сарат. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Информатика. Саратов: Изд-во СГУ, 2013. Вып. 4, ч. 2. С. 80 – 84.

4. Матвеева О. А. О нулях полиномов Дирихле, аппроксимирующих в критической полосе L-функции Дирихле // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, № 2. С. 117–121.

5. Матвеева. О. А. Аналитические свойства определенных классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций Дирихле: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ульяновск, 2014. 110 с.

6. Кузнецов В.Н., Матвеева О.А. Некоторые задачи, связанные с распределением нулей целых функций, определенных рядами Дирихле с конечнозначными коэффициентами // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, № 2. С. 54 – 60.

7. Кузнецов В.Н., Матвеева О.А. К задаче аналитического продолжения рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами как целых функций на комплексную плоскость // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 4. С. 285 – 295.

8. Кузнецов В.Н., Матвеева О.А. О граничном поведении одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, № 3. С. 115 – 124.

9. Кузнецов В. Н., Матвеева О. А. О граничном поведении одного класса рядов Дирихле // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, № 2. С. 162 – 169.

10. Кузнецов В.Н., Матвеева О.А. Аппроксимационный подход в некоторых задачах теории рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, № 4. С. 124 – 131.

11. Кузнецов В.Н., Матвеева О.А. Аппроксимационные полиномы Дирихле и некоторые свойства L-функций Дирихле // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 4. С. 296 – 304.

12. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. В 2 т. М.: Наука, 1967. Т. 2. 624 с.

13. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. 648 с.

14. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. 184 с.

15. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. М.: Иностр. лит., 1953. 407 с.


Для цитирования:


Кузнецов В.Н., Матвеева О.А. Граничное поведение и задача аналитического продолжения одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами как целых функций на комплексную плоскость. Чебышевский сборник. 2018;19(1):124-137. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-124-137

For citation:


Kuznetsov V.N., Matveeva O.A. Boundary behavior and the problem of analytic continuation of a certain class of Dirichlet series with multiplicative coefficients as an integral functions on the complex plane. Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(1):124-137. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-124-137

Просмотров: 87


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)