Развитие понятия «артиновость» для алгебр Ли

В статье рассматривается развитие понятия "артиновость"для алгебр Ли. Понятие артиновости было введено для ассоциативных колец с условием минимальности. Одновременно с этим оно распространилось на модули и подалгебры. Чуть позже стали рассматривать артиновы йордановы алгебры. Для таких алгебр роль одностороннего идеала играет квадратичный идеал или, как назвал его Н.Джекобсон, вутренний идеал. Артиновость для алгебр Ли через идеалы определяли Ю.А. Бахтурин, С.А. Пихтильков и В.М. Поляков. Они рассматривали специальные артиновы алгебры Ли. С.А. Пихтильков применял артиновы алгебры Ли для построения структурной теории специальных алгебр Ли. Джорджия Бенкарт определила артиновость для алгебр Ли через внутренние идеалы. Ф. Лопес, Е. Гарсия, Г. Лозано исследовали понятие внутреннего идеала применительно к артиновости с помощью йордановых пар. Определение артиновости для алгебр Ли в данной статье представлено в трёх смыслах: через подалгебры, идеалы и внутренние идеалы. Представлена установленная авторами ранее связь между данными определениями. Рассмотрены примеры артиновых алгебр Ли. Описано применение артиновых алгебр Ли к решению проблемы Михалева: первичный радикал артиновой алгебры Ли является разрешимым.

1. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971. 279 с.

2. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972. 191 с.

3. Мещерина Е. В. История развития понятия "Внутренний идеал"// История науки и техники. 2015. № 9. С. 3-7.

4. McCrimmon K. Inner ideals in quadratic Jordan algebras // Trans. Amer. Math.Soc. 1971. Vol. 159. P. 445-468.

5. Katz J. Isomorphisms of the lattice of inner ideals of certain quadratic Jordan algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 185. P. 309-329.

6. Бахтурин Ю. А. Артиновы специальные алгебры Ли // Алгебра. М.: Изд-во МГУ, 1982. С. 24-26.

7. Пихтильков С. А. Артиновые специальные алгебры Ли // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: межвуз. сборник. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2001. С. 189-194.

8. Пихтильков С. А., Поляков В. М. О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6, № 1. С. 163-169.

9. Пихтильков С. А. Структурная теория специальных алгебр Ли : монография. Тула: Издво ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2005. 130 с.

10. Pikhtilkov S. A., Polyakov V. M. Artinal special Lie superalgebras // Bull. Academie de stinte a republicii Moldova. Matematica. 2004. Vol. 44, № 1. P. 116-119.

11. Benkart G. On inner ideals and ad-nilpotent elements of Lie algebras // Transaction of the American Mathematical Society. 1977. Vol. 232. P. 61-81.

12. Benkart G. The Lie inner ideal structure of associative rings // J. of Algebra. 1976. Vol. 43. P. 561-584.

13. Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. Inner ideals of finitary simple Lie algebras // J. Lie Theory. 2006. Vol. 16. P. 97-114.

14. Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. Inner ideal structure of nearly artinian Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 2009. Vol. 137. P. 1-9.

15. Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. An artinian theory for Lie algebras // J. of Algebra. 2008. Vol. 319, № 3. P. 938-951.

16. Benkart G., Fernandez Lopez A. The inner ideal structure of associative rings revisited // Communications in Algebra. 2009. Vol. 37. P. 3833–3850.

17. Мещерина Е. В., Пихтильков С. А. О некоторых свойствах внутренних идеалов алгебры Ли // Вестник Оренбург. гос. ун-та. 2013. № 9 (158). С. 110-114.

18. Ольшанский А. Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1980. Т. 44, № 2. С. 309-321.

19. Бейдар К. И., Зайцев М. В., Пихтильков С. А. Алгебры Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры // Вестник МГУ. Сер. 1.: Математика. Механика. 2002. № 5. С. 27-32.

20. Мещерина Е. В. О различных определениях артиновости для алгебр Ли // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14. № 3 (47). С. 86-91; то же [Электронный ресурс] . URL: http://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/107/103

21. Балаба И. Н., Михалев А. В., Пихтильков С. А. Первичный радикал градуированных Ω-групп // Фундамент. и приклад. математика. 2006. Т. 12, № 2. С. 159-174.

22. Мещерина Е. В., Пихтильков С. А., Пихтилькова О. А. О проблеме А.В. Михалева для алгебр Лиebreak // Изв. Саратов. ун-та. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 4, ч. 2. С. 84-89.

23. Благовисная А. Н., Пихтильков С. А., Пихтилькова О. А. О свойствах первичного радикала слабоартиновой алгебры Ли //Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 1. С. 134-142. ; то же [Электронный ресурс] . URL: http://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/309/282