Двойственность в абелевых многообразиях и формальных группах над локальными полями

Статья посвящена памяти Олега Николаевича Введенского (1937 – 1981 гг.). О. Н. Введенский был учеником академика И. Р. Шафаревича. Исследования О. Н. и полученные им результаты связаны с двойственностью в эллиптических кривых и с соответствующими когомологиями Галуа над локальными полями, со спариванием Шафаревича-Тэйта и с другими спариваниями, с локальной и квази-локальной теорией полей классов эллиптических кривых, с теорией абелевых многообразий размерности больше 1, с теорией коммутативных формальных групп над локальными полями. Представлены как результаты, полученные О. Н. Введенским, так и новые избранные результаты, развивающие исследования в направлениях фундаментальных групп схем, главных однородных пространств (торсеров) и двойственности. Первая часть статьи, представлення здесь, является введением как в результаты, полученные О. Н. Введенским в направлении двойственности абелевых многообразий и формальных групп, так и в новые избранные результаты, развивающие исследования в направлениях фундаментальных групп схем, главных однородных пространств (торсеров) и двойственности. Во Введении приведены предварительные сведения и представлено содержание статьи. В первом разделе дан краткий обзор избранных результатов по теории алгебраических, квазиалгебраические и проалгебраические группы и групповых схем. Далее, в разделе 2 преставлены избранные результаты по фундаментальным группам алгебраических многообразий, по фундаментальным группам схем, а в разделе 3 - избранные результаты о главных однородных пространствах (торсерах), развивающие исследования О. Н. и других авторов. Термин торсер мы используем как перевод на русский язык в редакции И.Р. Шафаревича английского термина torsor. В разделе 4 даны сведения о двойственности, а в разделе 5 представлены результаты О. Н. по арифметической теории формальных групп и их развитие. Результаты, этого раздела, представленные над локальными и квази-локальными полями K, над их кольцами целых, и над их полями вычетов k, связанны (1) с формальной структурой абелевых многообразий, (2) с коммутативными формальными группами, (3) с соответствующими гомоморфизмами и изогениями. В статье алгебраические многообразия, абелевы схемы и коммутативные формальные групповые схемы определены, как правило, над локальными и квази-локальными полями, над их кольцами целых, и над их полями вычетов. Но кратко рассматриваются эти объектыи и над глобальными полями, так как О. Н. интересовала тематика алгебраических многообразий над глобальными полями и он проводил соответствующие исследования. Предполагается, что характеристика полей вычетов больше 3, если не оговаривается иное.

Я признателен В.Н. Чубарикову за предложение опубликовать статью в сборнике.

Особая признательность Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

1. Шафаревич И. Р. Сочинения. Т. 3, ч. 2. М.: Физматлит, 1996. 637 с.

2. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. В 2 т. М.: Наука, 1988.

3. Введенский О. Н. Двойственность в эллиптических кривых над локальным полем. II // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1966. Т. 30, № 4. С. 891—922.

4. Введенский О. Н. О локальных “полях классов” эллиптических кривых // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1973. Т. 37, № 1. С. 20—88.

5. Введенский О. Н. О “универсальных нормах” формальных групп, определенных над кольцом локального поля // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1973. Т. 37, № 4. С. 737—751.

6. Введенский О. Н. О квази-локальных “полях классов” эллиптических кривых. I // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1976. Т. 40, № 5. С. 969—992.

7. Введенский О. Н. О спариваниях в эллиптических кривых над глобальными полями // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1978. Т. 42, № 2. С. 237—260.

8. Введенский О. Н. Эффект Артина в абелевых многообразиях. II // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1981. Т. 45, № 1. С. 23—46.

9. Милн Дж. Этальные когомологии. М.: Мир, 1983. 393 с.

10. Serre J.-P. Groupes proalgebriques // Publications mathematiques IHES. № 7. 1960. 65 p.

11. Tate J. Duality theorems in Galois cohomology over number fields // Proceedings of Int. Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962). Djursholm : Inst. Mittag-Leffler, 1962. P. 288— 295.

12. Shatz S.S. Cohomology of artinian group schemes over local fields // Ann. of Math. 1964. Vol. 79, № 2. P. 411—449.

13. Grothendieck A., Artin M., J.L. Verdier Théorie des Topos et cohomologie étale des schémas (SGA4) // Lecture Notes in Math. Berlin-N.Y.: Springer-Verlag, 1972. Vol. 269, 270, 305.

14. Lichtenbaum S. The Weil-etale topology for number rings //Ann. of Math. 2009. Vol. 170, № 2, P. 657—683.

15. Bosch S., Liu Q. Rational points of the group of components of a Néron model // Manuscripta math. 1999. Vol. 98. P. 275—293.

16. Morin B. The Weil-étale fundamental group of a number field . II // Sel. Math., New Ser. 2011. 17, № 1. P. 67—137.

17. Saavedra R. Catégories Tannakiennes // Lecture Notes in Math. Berlin-N.Y.: Springer-Verlag, 1972. Vol. 265. 418 p.

18. Nori M. On the representations of the fundamental group // Compos. Math. 1976. Vol. 33, № 1. P. 29—41.

19. Broshi M. G-torsors over a Dedekind scheme // J. Pure Appl. Algebra. 2013. Vol. 217, № 1. P. 11—19.

20. Conrad B. Reductive group schemes // Autour des schémas en groupes. école d’été “Schémas en groupes". Paris: Société Mathématique de France (SMF), 2014. Vol. I. P. 42—43, 93—444.

21. Biswas I., Dos Santos Jo˜ao Pedro P. Abelianization of the F-divided fundamental group scheme // Proc. Indian Acad. Sci., Math. Sci. 2017. Vol. 127, № 2. P. 281—287.

22. Tziolas N. Quotients of schemes by αp or µp actions in characteristic p > 0 // Manuscr. Math. 2017. Vol. 152, № 1–2. P. 247—279.