Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Вторая экстремальная задача Логана для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-57-78

Полный текст:

Аннотация

Для косинус-преобразования Фурье на полупрямой Б. Логаном в 1983 году были поставлены и решены две экстремальные задачи. В первой задаче необходимо было найти минимальную окрестность нуля, вне которой нетривиальная интегрируемая четная целая функция экспоненциального типа не выше τ, имеющая неотрицательное преобразование Фурье, неположительна. Во второй задаче необходимо было найти минимальную окрестность нуля, вне которой нетривиальная интегрируемая четная целая функция экспоненциального типа не выше τ, имеющая неотрицательное преобразование Фурье и нулевое среднее значение, неотрицательна. Наибольшее развитие получила первая задача Логана, потому что она оказалась связанной с задачей об оптимальном аргументе в модуле непрерывности в точном неравенстве Джексона в пространстве L2 между величиной наилучшего приближения целыми функциями экспоненциального типа и модулем непрерывности. Она была решена для преобразования Фурье на евклидовом пространстве и его обобщения преобразования Данкля, для преобразования Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля на полупрямой и преобразования Фурье на гиперболоиде.

Вторая задача Логана была решена только для преобразования Фурье на евклидовом пространстве. В настоящей работе она решается для преобразования Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля на полупрямой, в частности, для преобразований Ганкеля и Якоби. В качестве следствий этих результатов с помощью усреднения функций по евклидовой сфере получено решение второй задачи Логана для преобразования Данкля и преобразования Фурье на гиперболоиде. Общие оценки получены с помощью квадратурной формулы Гаусса по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля на полупрямой, недавно доказанной авторами работы. Во всех случаях построены экстремальные функции. Доказана их единственность.

Об авторах

Д. В. Горбачёв
Тульский государственный университет
Россия

Горбачёв Дмитрий Викторович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики



В. И. Иванов
Тульский государственный университет
Россия

Иванов Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики института прикладной математики. и компьютерных наук



Е. П. Офицеров
Тульский государственный университет
Россия
Офицеров Евгений Петрович — аспирант кафедры прикладной математики и информатики


О. И. Смирнов
Тульский государственный университет
Россия

Смирнов Олег Игоревич — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и информатики



Список литературы

1. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 249–252.

2. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 253–257.

3. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Математические заметки. 2000. Т. 68, № 2. С. 179–187.

4. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН. 1967. Т. 88. С. 71–74.

5. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Математические заметки. 1981. T. 29, № 2. С. 158–162.

6. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Математические заметки. 1999. Т. 66, № 3. С. 336–350.

7. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Известия Тул. гос. ун-та. Сер.: Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26–44.

8. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Some extremal problems for Fourier transform on hyperboloid // Math. Notes. 2017. Vol. 102, № 4. P. 480–491.

9. Некоторые экстремальные задачи гармонического анализа и теории приближений / Д.В. Горбачев [и др.]. // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 4. С. 139–166.

10. Frappier C., Olivier P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math. Comp. 1993. Vol. 60. P. 303–316.

11. Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Comp. 1995. Vol. 64. P. 715–725.

12. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля, точные для целых функций экспоненциального типа // Математический сб. 2015. Т. 206, № 8. С. 63–98.

13. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Некоторые экстремальные задачи для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 2. С. 34–53.

14. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and functions spaces: Proc. intern. conf. (Gdansk, 1979). Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25—43.

15. Иванов А. В., Иванов В. И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Математические заметки. 2013. Т. 94, № 3. С. 338—348.

16. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Veprintsev R.A. Optimal Argument in Sharp Jackson’s inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight // Math. Notes. 2014. Vol. 96, № 6. P. 338–348.

17. Вепринцев Р.А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Якоби // Математические заметки. 2015. Т. 97, № 6. С. 815—831.

18. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Приближение в L2 частичными интегралами преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Математические заметки. 2016. Т. 100, № 4. С. 519–530.

19. Горбачев Д.В., Иванов В.И., Вепринцев Р.А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма— Лиувилля // Труды ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 136–152.

20. Горбачев Д.В., Странковский С.А. Одна экстремальная задача для четных положительно определенных целых функций экспоненциального типа // Математические заметки. 2006. Т. 80, № 5. С. 712–717.

21. Иванов В.И., Иванов А.В. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона–Стечкина в L2(Rd) с весом Данкля // Математические заметки. 2014. Т. 96, № 5. С. 674–686.

22. Ivanov V., Ivanov A. Generalized Logan’s Problem for Entire Functions of Exponential Type and Optimal Argument in Jackson’s Inequality in L2(R3) // Acta. Math. Sin., English Ser. First Online: 28 April 2018.

23. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

24. Юдин В.А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства полиномов // Труды МИАН. 1997. T. 219. С. 453–463.

25. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 671 с.

26. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма–Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988. 432 с.

27. Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H. The convolution structure for Jacobi function expansions // Ark. Mat. 1973. Vol. 11. P. 245–262.

28. Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H. Jacobi functions: The addition formula and the positivity of dual convolution structure // Ark. Mat. 1979. Vol. 17. P. 139–151.

29. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973. 312 с.

30. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

31. R¨osler M. A positive radial product formula for the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 355, № 6. P. 2413–2438.

32. R¨osler M. Dunkl Operators: Theory and Applications // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2003. Vol. 1817. P. 93–135.

33. de Jeu M. Paley–Wiener theorems for the Dunkl transform // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. Vol. 358, № 10. P. 4225–4250.

34. Xu Y. Dunkl operators: Funk-Hecke formula for orthogonal polynomials on spheres and on balls // Bull. London Math. Soc. 2000. Vol. 32. P. 447–457.

35. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991. 576 с.

36. Koornwinder T.H. A new proof of a Paley–Wiener type theorem for the Jacobi transform // Ark. Mat. 1979. Vol. 13. P. 145–159.


Для цитирования:


Горбачёв Д.В., Иванов В.И., Офицеров Е.П., Смирнов О.И. Вторая экстремальная задача Логана для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля. Чебышевский сборник. 2018;19(1):57-78. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-57-78

For citation:


Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Ofitserov E.P., Smirnov O.I. The second Logan extremal problem for the fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm–Liouville operator. Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(1):57-78. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-57-78

Просмотров: 92


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)