Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Гипотеза о «заградительном ряде» для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-106-123

Полный текст:

Аннотация

В работе продолжено изучение нового класса рядов Дирихле — дзета-функции мо­ноидов натуральных чисел. Прежде всего детально изучена дзета-функция ????(M(g)|a) геометрической прогресс М(q) с первым членом равным 1 и произвольным натураль­ным знаменателем q > 1, которая является простейшем моноидом натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы моноида. Для мероморфной функции ????(M(g)|a) = qa/qα -1, имеющей множество полюсов

S(M(q)) ={2πikl/lnq│k ∈Z}

получены представления:

ζ(M(q)|α) = ∞ ∏︁ n=1(1 + α2 ln2 q 4π2n2 )︂−1 = 1 2 + 1 αlnq + ∞ ∑︁ n=1 2αlnq α2 ln2 q + 4n2π2 = = q α 2 αlnq 4π2 Γ(︂αilnq 2π )︂Γ(︂−αilnq 2π )︂.

Для дзета-функции ζ(M(p~)|α) моноида M(p~) с конечным числом простых чиселp~ = (p1,...,pn) получено разложение в бесконечное произведение

ζ(M(p~)|α) =P(p~)α 2 αnQ(p~)n ∏︁ ν=1∞ ∏︁ m=1(︂1 + α2 ln2 pν 4π2m2 )︂−1 ,

где P(p~) = p1 ...pn, Q(p~) = lnp1 ...lnpn, и найдено функциональное уравнение ζ(M(p~)|−α) = (−1)n ζ(M(p~)|α) P(p~)α .

Для моноида натуральных чисел M*(p~) = N · M−1(p~) с однозначным разложением на простые множители, состоящим из натуральных чисел n взаимно простых с P(p~) = p1 ...pn, и для эйлерово произведение P(M*(p~)|α), состоящего из сомножителей по всем простым числам отличным от p1,...,pn, найдено функциональное уравнение ζ(M*(p~)|α) = M(p~,α)ζ(M*(p~)|1−α), где M(p~,α) = M(α)· M1(p~,α) M1(p~,1−α) , M1(p~,α) = n ∏︁ ν=1(︂1− 1 pα ν)︂.

Доказано, что для любого бесконечного множества простых P1 не существует аналитической функции равной lim n→∞ ζ(M(p~n)|α) на всей комплексной плоскости.

Сформулирована гипотеза о заградительном ряде для любого экспоненциального множества PE простых чисел.

В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

Об авторах

Н. Н. Добровольский
Тульский государственный университет
Россия

Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики



М. Н. Добровольский
Геофизический центр РАН
Россия
Добровольский Михаил Николаевич — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник


Н. М. Добровольский
Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого
Россия

Добровольский Николай Михайлович — профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии



И. Н. Балаба
Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого
Россия

Балаба Ирина Николаевна — доцент, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, математического анализа и геометрии



И. Ю. Реброва
Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого
Россия

Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики



Список литературы

1. Э. Бомбьери, А. Гош Вокруг функции Дэвенпорта–Хейльбронна // УМН, 2011. Т. 66, вып. 2(398). С. 15–66.

2. С. М. Воронин Избранные труды: Математика / Под ред. А. А. Карацубы. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2006. — 480 с.

3. С. М. Воронин, А. А. Карацуба Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.

4. А. Гурвиц, Р. Курант Теория функций. — М.: Наука, 1968. — 618 с.

5. С. С. Демидов, Е. А. Морозова, В. Н. Чубариков, И. Ю. Реброва, И. Н. Балаба, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Л. П. Добровольская, А. В. Родионов, О. А. Пихтилькова Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 6–85.

6. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012 Т. 13. Вып. 4(44). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 4–107.

7. ДобровольскийМ.Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Доклады академии наук 2007. Т. 412, № 3. С. 302–304.

8. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова О гиперболической дзета-функции Гурвица // Чебышевский сб. 2016. Т. 17, вып. 3. С. 72–105.

9. Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187–207.

10. Н. Н. Добровольский О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, вып. 1. С.

11. Г. Дэвенпорт Мультипликативная теория чисел. — М.: Наука, 1971. — 200 с.

12. Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953. 408с.

13. Э. Т. Уиттекер, Д. Н. Ватсон Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. — М.: Физматгиз, 1963. 516 с.

14. Б. В. Шабат Введение в комплексный анализ — М.: Наука, 1969. — 576 с.

15. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. 188с.

16. H. Davenport, H. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series // J. London Math. Soc. 1936. Vol. 11. P. 181–185.

17. L. P. Dobrovolskaya, M. N. Dobrovolsky, N. M. Dobrovol’skii, N. N. Dobrovolsky. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23–62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.


Для цитирования:


Добровольский Н.Н., Добровольский М.Н., Добровольский Н.М., Балаба И.Н., Реброва И.Ю. Гипотеза о «заградительном ряде» для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых. Чебышевский сборник. 2018;19(1):106-123. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-106-123

For citation:


Dobrovolsky N.N., Dobrovolsky M.N., Dobrovolsky N.M., Balaba I.N., Rebrova I.Y. About «zagrobelna the series» for the zeta function of monoids with exponential sequence of simple. Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(1):106-123. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-1-106-123

Просмотров: 70


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)