Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск
Том 21, № 3 (2020)
Скачать выпуск PDF
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-3

Статьи 

6-9 55
Аннотация
Статья посвящена профессору Борису Бениаминовичу Лурье
18-28 58
Аннотация

Найдена оценка тригонометрической суммы вида
$$
S=\sum_{a<t_s\leq b}e^{2\pi if(t_s)},
$$
где $a\geq 0,a\leq b$~---~вещественные числа, $t_s$~---~возрастающая к бесконечности последовательность неотрицательных чисел, $f(t)$~---~гладкая вещественная функция.

Здесь также доказываются аналоги формул Эйлера, Сонина, Пуассона и ван дер Корпута для рассматриваемой суммы.

Пусть задана последовательность $\Delta$ точек
$$
0=t_0<t_1<t_2<\dots<t_s<\dots, \lim\limits_{n\to\infty}t_n=+\infty,
$$
на положительной полуоси вещественной прямой.

Для неотрицательного числа $x$ определим аналог целой части $[x]_{\Delta},$ отвечающий последовательности $\Delta: [x]_{\Delta}=t_s,$ если $t_s\leq x<t_{s+1}, s\geq 0.$ Дробная часть $\{x\}_{\Delta}$ определяется равенством
$$
\{x\}_{\Delta}=\frac{x-t_s}{t_{s+1}-t_s},
$$
если $t_s\leq x<t_{s+1}, s\geq 0,$ причём $0\leq\{x\}_{\Delta}<1.$

Определим аналог функции Бернулли, отвечающий последовательности $\Delta: \rho_\Delta(x)=$ $=0,5-\{x\}_\Delta$

Тогда справедлив следующий аналог теоремы ван дер Корпута для разбиений.
{\sl Пусть $\Delta=\{t_s\}, 0=t_0<t_1<\dots<t_s<\dots, $~---~разбиение полуоси $t\geq 0$ вещественной прямой, $\delta_s=t_{s+1}-t_s\geq 1, \delta(a,b)=\max\limits_{a\leq x\leq b}{\rho'_{\Delta}(x)}$ и пусть задана последовательность $\Delta_0=\{\mu_s\}, \quad \mu_s=0,5(t_s+t_{s+1}), s\geq 0,$ и точки $a,b\in\Delta_0,$ пусть, также, $f'(x)$ является непрерывной, монотонной и знакопостоянной функцией в промежутке $a< x\leq b,$ причём найдётся постоянная $\delta$ такая, что $0<2\delta\delta^{-1}(a,b)<1$ и что для всех $x$ из этого промежутка справедливо неравенство $|f'(x)|\leq\delta.$ Тогда имеем $$\sum_{a<t_s\leq b}e^{2\pi if(t_s)}=\int\limits_{a}^{b}\rho'_\Delta(x)e^{2\pi if(x)}\,dx+10\theta\frac{\delta}{1-\delta\delta^{-1}(a,b)}, |\theta|\leq 1.$$

29-38 36
Аннотация

Мы доказываем, что аддитивные категории, являющиеся ядрами весовых структур —
это в точности все слабо идемпотентно полные категории, т. е, категории, в которых расще-
пимые мономорфизмы соответствуют прямым слагаемым. Мы также приводим ряд усло-
вий, эквивалентных слабой идемпотентной полноте (часть их полностью нова), и обсуж-
даем слабо идемпотентные пополнения аддитивных категорий

39-58 59
Аннотация

Задача работы возникла из потребности исследования связей между теорией полей ал-
гебраических чисел и теорией функций. Один из самых фундаментальных и классических
результатов из комплексного анализа «Интегральная теорема Коши» имеет дискретный
аналог для случая одномерных локальных полей. Следовательно, возникает естественный
вопрос можно ли обобщить аналог Интегральной теоремы Коши на случай двумерных по-
лей. Данная работа отвечает на поставленный вопрос, обобщая интеграла Шнирельмана
и доказывая аналог интегральной теоремы Коши. Как следствие, получена связь между
символом Гильберта и интегралом Шнирельмана

84-88 52
Аннотация

Мы доказываем, что любая квадратная матрица над произвольным бесконечным по-
лем является суммой матрицы с нулевым квадратом и диагонализуемой матрицы. Этот
результат несколько контрастирует с недавней теоремой Бреза, опубликованной в Linear
Algebra & Appl. (2018).

129-141 35
Аннотация

В работе построена математическая модель цифрового управления многоконтурными
объектами, учитывающая реальные характеристики цифрового контроллера, как элемента
системы управления. Сформулирована проблема, заключающаяся в том, что методы мо-
делирования цифровых систем управления известны и широко применяются в практике
инженерной деятельности, однако в подавляющем большинстве они предполагают форми-
рование моделей, не учитывающих наличие временных интервалов между транзакциями
в ЭВМ фон Неймановского типа.
Для решения задачи разработана типовая структурная схема сложных многоконтур-
ных систем управления с цифровыми контроллерами фон Неймановского типа, которая
учитывает случайный характер обрабатываемых данных и реальные временных задержки
между транзакциями.
Предложено с учетом случайности временного интервала между транзакциями и стоха-
стического характера переключения в сопряженные операторы считать адекватной моде-
лью алгоритма функционирования цифровых систем управления считать полумарковский
процесс.
На основе полумарковских процессов предложен метод оценки параметров временных
интервалов между транзакциями в циклических алгоритмах управления, который позво-
ляет оценить характеристики системы на этапе ее проектирования, а следовательно явля-
ется ключом к рациональному проектированию цифровых систем управления многокон-
турными объектами с алгоритмами управления практически любой сложности. Представ-
лен пример математического моделирования двухконтурной системы с цифровым управ-
лением.

186-195 41
Аннотация

В статье рассматриваются суммы значений композиции вещественной периодической
арифметической функции и функции количества простых делителей по натуральным чис-
лам, не превосходящим заданного. При этом подсчет простых делителей может произво-
диться как с учетом кратности, так и без ее учета, а на сами делители может быть наложено
дополнительное требование принадлежности некоторому специальному множеству. Упо-
мянутое специальное множество может быть, например, объединением нескольких ариф-
метических прогрессий с заданной разностью, или же допускать аналог асимптотического
закона распределения простых чисел со степенным понижением в остатке. Более того,
вместо функции количества простых делителей можно рассмотреть любую вещественную
аддитивную функцию, равную единице на простых числах. В качестве примера периоди-
ческой арифметической функции можно рассмотреть символ Лежандра. Доказаны асимп-
тотические формулы для указанных сумм и изучено их поведение.
Доказательство использует разложение периодической арифметической функции по
характерам аддитивной группы вычетов, что сводит задачу к рассмотрению специальной
тригонометрической суммы с функцией количества простых делителей в показателе. Для
нахождения асимптотик этих сумм мы записываем соответствующий производящий ряд
Дирихле, аналитически продолжаем его и применяем формулу Перрона и метод комплекс-
ного интегрирования в специально адаптированном варианте.

196-214 51
Аннотация

Пусть $\mathbb{F}_q[T]$~--- кольцо многочленов над конечным полем $\mathbb{F}_q$. Далее, пусть $ g\!:\mathbb{F}_q[T]\rightarrow \mathbb{R}$~--- мультипликативная функция, значения которой на степенях неприводимого многочлена зависят лишь от показателя степени, то есть $g(P^k)=d_k$ для любого неприводимого многочлена $P$ и некоторой фиксированной последовательности вещественных чисел $\{d_k\}_{k=1}^{\infty}$. В работе исследуется сумма $$T(N)=T(N;g)=\sum\limits_{\deg F=N}{g(F)},$$
где $F$ пробегает многочлены степени $N$ со старшим коэффициентом, равным 1 (унитарные многочлены). Для суммы $T(N)$ находится точная формула, а также вычисляется асимптотика при $q\to\infty$ и $N$ фиксированном; при $N\to\infty$ и $ q\to\infty$; при $\ q^N\to\infty$.
В частности, доказаны следующие асимптотические формулы:
$$\sum\limits_{\substack{\deg F=N \\ F \text{ унитарен}}}\tau(F^k)=\binom{k+N}{N}q^N+O_{N,k}\left(q^{N-1}\right),\ \ N\ge 1,\ q\to\infty;
$$
$$
\sum\limits_{\substack{\deg F=N \\ F \text{ унитарен}}}\dfrac{1}{\tau(F)}=\dfrac{q^N}{4^N}\left(\binom{2N}{N}-\dfrac{2}{3}\binom{2N-4}{N-2}q^{-1}+O\left(\ \dfrac{4^N}{\sqrt{N}}q^{-2}\right)\right),\ N\to\infty,\ q\to\infty;
$$
$$\sum\limits_{\substack{\deg F=N \\ F \text{ унитарен}}}\dfrac{1}{\tau(F)}=C_1\cdot\dfrac{\binom{2N}{N}}{4^N}q^N+O\left(\dfrac{q^{N-0.5}}{N^{1.5}}\right),\ \ C_1=\prod_{l=1}^{+\infty}\left(\sqrt{q^{2l}-q^{l}}\ln\dfrac{q^l}{q^l-1}\right)^{\pi_q(l)},\ q^N\to\infty;$$
где $\tau(F)$~--- число унитарных многочленов, делящих $F$, и $\pi_q(l)$~--- число неприводимых унитарных многочленов степени $l$.
Последние две формулы представляют собой аналог для многочленов над конечным полем одного результата Рамануджана
$$\sum_{n\leq x}{\dfrac{1}{d(n)}}=\dfrac{x}{\sqrt{\ln x}}\left(a_0+\dfrac{a_1}{\ln{x}}+\ldots+\dfrac{a_N}{(\ln{x})^N}+O_N\left(\dfrac{1}{(\ln{x})^{N+1}}\right)\right),$$
где $d(n)$~--- классическая функция делителей, $a_i$~--- константы, в частности
$$a_0=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\prod\limits_{p}\ln\dfrac{p}{p-1}\sqrt{p(p-1)}.$$

336-338 45
Аннотация

Исправления к статье “Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Взаимосвязь между константа-
ми Никольского–Бернштейна для тригонометрических полиномов и целых функций экс-
поненциального типа. Чебышевский сборник. 2019; 20(3): 143-153. https://doi.org/10.
22405/2226-8383-2019-20-3-143-153”.

История математики и приложений 

262-271 51
Аннотация

В работе представлен обзор математических моделей, позволяющих определить эф-
фективные упругие характеристики различных типов композиционных материалов. Рас-
смотрены наиболее известные модели: вириальное разложение, метод самосогласования,
корреляционное приближение, сингулярное приближение. Рассмотрены модели со слои-
стой структурой и матричные системы с регулярной структурой.

272-291 47
Аннотация

В работе приведен анализ результатов лабораторных экспериментальных исследова-
ний параметров, характеризующих пластичность, прочность и износостойкость инстру-
ментальной стали Р18, полученных в ходе материаловедческих экспертиз. Разработаны
новые эмпирические математические экспертные модели зависимости показателей пла-
стичности и прочности стали Р18 от температуры. Получены эмпирические математиче-
ские экспертные модели зависимости механических свойств и износостойкости стали Р18
от различных факторов. Показана возможность аналитического представления сложных
экспериментальных графических зависимостей механических и трибологических свойств
стали Р18 от различных факторов в целях использования в судебно-экспертной практике.

292-305 44
Аннотация

На сегодняшний день существует риск разрушения для большого количества зданий
от различных аварийных ситуаций. Современная нормативная база проектирования и экс-
плуатации зданий, содержит многолетний опыт анализа причин обрушения, учитывает
большое количество воздействий на конструкции (динамические нагрузки, климатические
воздействия, временные и постоянные) в течении всего срока службы. Однако возрастаю-
щее количество аварий, с разной степенью разрушений, как отдельных частей, так и всего
строения, говорит о том, что воздействие, вызвавшее разрушение, не было учтено в норма-
тивных документах, на основании которых был спроектирован объект. Поэтому возникает
необходимость в точных расчетных алгоритмах, современных надежных и экономически
выгодных методиках по конструктивному усилению несущих каркасов зданий.
В статье рассмотрены существующие методы, для прогнозирования эффектов разру-
шения и решения задач на определение напряженно-деформированного состояния исходя
из специально разработанной модели прочности RHT (Riedel-Hiermaier-Thoma) для вы-
сокоскоростного деформирования железобетона в условиях динамического нагружения.
Рассмотрена модельная задача с использованием вариационного подхода, основанного на
построении функционала расчета мощности упругой деформации с учетом мощности сил
инерции для заряда взрывчатого вещества сферической формы, расположенного непо-
средственно перед сооружением. Все расчеты производились в среде ANSYSLS-DYNA,
получены результаты в форме графиков скоростей деформаций и полей напряжений

306-316 52
Аннотация

В статье предложен метод спектральных элементов, построенных на полиноме Лежанд-
ра для плоских стационарных задач упруго-пластического течения при больших дефор-
мациях. Метод спектральных элементов основывается на вариационном принципе, методе
Галеркина. Решение указанных задач обладает феноменом локализации пластических де-
формаций в узких областях - линиях скольжения. Исследована возможность применения
спектрального элемента для численного решения указанных задач с разрывными решения-
ми. Условие текучести материала - критерий Мизеса. Напряжения интегрируются методом
радиального возврата по неявной обратной схеме Эйлера. Система нелинейных алгебраи-
ческих уравнений решается итерационным методом Ньютона. Приведено численное реше-
ние примера растяжения полосы, ослабленной вырезами с круговым основанием, в плоском
напряженном и плоском деформированном состояниях. Получены кинематические поля и
предельная нагрузка. Приведены сравнения численных результатов с аналитическим ре-
шением, полученным для несжимаемых сред, построенным методом характеристик.

Памятные даты 

317-335 55
Аннотация

Авторы статьи ставили перед собой две главные задачи: охарактеризовать основ-
ные этапы жизни профессора Тульского государственного педагогического университе-
та им. Л. Н. Толстого Владимира Николаевича Безверхнего и дать краткий анализ его
научной и педагогической деятельности, имеюшей значительное влияние на развитие ком-
бинаторной теории групп.
Особо отмечаются исследования профессора В. Н. Безверхнего и его учеников по ал-
горитмическим проблемам теории групп и полугрупп.
В. Н. Безверхний, являясь учеником профессора М. Д. Гриндлингера, руководит семи-
наром "Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп аспирантурой по комбина-
торной теории групп.
Среди его учеников 8 человек защитили кандидатские диссертации, причём один из
них впоследствии стал доктором физико-математических наук.

Юбилеи 

Краткие сообщения 

215-222 43
Аннотация

Данная работа посвящена вопросам приближения квадратичной алгебраической ре-

шётки целочисленной решёткой. В ней вычисляются расстояния между квадратичной ал-

гебраической решёткой и целочисленной решёткой, когда они заданы числителем и зна-

менателем подходящей дроби к корню квадратному из дискриминанта d — свободного от

квадратов натурального числа.

Результаты данной работы позволяют изучать вопросы о наилучших приближениях

квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками.

223-231 38
Аннотация

Данная работа посвящена вопросам построения быстрых алгоритмов вычисления

функции качества рациональных сеток, приближающих квадратичные алгебраические

сетки в общем случае максимальной решётки целых алгебраических чисел.

Показано, что обобщённая параллелепипедальная сетка, приближающая квадратич-

ную алгебраическую сетку, является параллелепипедальной. Как следствие построен ал-

горитм вычисления функции качества за 0 (lnN) арифметических операций

232-240 50
Аннотация

В работе продолжены исследования авторов по оценке тригонометрических сумм алгебраической сетки с весами с произвольной весовой функцией $r+1$ порядка.

Для параметра $\vec{m}$ тригонометрической суммы $S_{M(t),\vec\rho}(\vec m)$ выделены три случая.

Если $\vec{m}$ принадлежит алгебраической решётке $\Lambda(t\cdot T(\vec a))$, то справедлива асимптотическая формула
$$
S_{M(t),\vec\rho}(t(m,\ldots,m))=1+O\left(\frac{\ln^{s-1}\det \Lambda(t)}{ (\det\Lambda(t))^{r+1}}\right).
$$

Если $\vec{m}$ не принадлежит алгебраической решётке $\Lambda(t\cdot T(\vec a))$, то определены два вектора $\vec{n}_\Lambda(\vec{m})=(n_1,\ldots,n_s)$ и $\vec{k}_\Lambda(\vec{m})$ из условий $\vec{k}_\Lambda(\vec{m})\in\Lambda$, $\vec{m}=\vec{n}_\Lambda(\vec{m})+\vec{k}_\Lambda(\vec{m})$ и произведение $q(\vec{n}_\Lambda(\vec{m}))=\overline{n_1}\cdot\ldots\cdot\overline{n_s}$ минимально. Доказана асимптотическая оценка
$$
|S_{M(t),\vec\rho}(\vec{m})|\le B_r\left(\frac{1-\delta(\vec{k}_\Lambda(\vec{m}))}{(q(\vec{n}_\Lambda(\vec{m})))^{r+1}}+O\left(\frac{q(\vec{n}_\Lambda(\vec{m}))^{r+1}\ln^{s-1}\det \Lambda(t)}{ (\det\Lambda(t))^{r+1}}\right)\right).

241-249 39
Аннотация

В статье рассматривается вариант приближения алгебраических решёток целочислен-
ными в квадратичном случае, выписывается в явном виде множество их локальных ми-
нимумов, а также показывается, что для данных целочисленных приближений алгебра-
ических квадратичных решёток можно построить эффективные алгоритмы вычисления
гиперболического параметра.

250-261 31
Аннотация

Для приближённого вычисления криволинейного интеграла
$$J(f;\Gamma):=\int\limits_{\Gamma}f(x_1,x_2,\ldots,x_m)dt$$ в случае, когда кривая
$\Gamma$ задаётся параметрическими уравнениями
$$x_{1}=\varphi_{1}(t),
x_{2}=\varphi_{2}(t),\cdots,x_{m}=\varphi_{m}(t), 0\leq t\leq L,$$
вводится в рассмотрение квадратурная формула
$$J(f;\Gamma)\approx:=\sum_{k=1}^{N}p_{k}\, f\Bigl(\varphi_{1}(t_k),\,
\varphi_{2}(t_k), \ldots,\, \varphi_{m}(t_k)\Bigr),$$ где
$P=\left\{p_{k}\right\}_{k=1}^{N}$ и $T:=\left\{t_{k}:0\leq
t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{N}\leq L\right\}$-- произвольные векторы
коэффициентов и узлов. Пусть $H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L]$
-- множество кривых $\Gamma$, у которых координатные функции
$\varphi_{i}(t)\in H^{\omega_{i}}[0,L] \ (i=\overline{1,m})$, где
$\omega_{i}(t) \ (i=\overline{1,m})$ -- заданные модули
непрерывности, $\mathfrak{M}_{\rho}^{\omega,p}$ -- класс функций
$f(M),$ определённых в точках $M\in\Gamma,$ таких, что для любых двух
точек
$M^{\prime}=M(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{m}^{\prime}),$
$M^{\prime\prime}=M(x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{m}^{\prime\prime}),$
принадлежащих кривой $\Gamma \in
H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L],$ они удовлетворяют условию
$$\Bigl|f(M^{\prime})-f(M^{\prime\prime})\Bigr|\le\omega(\rho_{p}(M^{\prime},
M^{\prime\prime})),$$ где
$$\rho_{p}(M^{\prime},
M^{\prime\prime})=\left\{\sum_{i=1}^{m}|x^{\prime}_{i}-x_{i}^{\prime\prime}|^{p}\right\}^{1/p},
\ 1\leq p\leq \infty,$$ $\omega(t)$-- заданный модуль
непрерывности. Доказано, что среди всех квадратурных формул
указанного вида наилучшей для класса функций
$\mathfrak{M}_{\rho}^{\omega,p}$ и класса кривых
$H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L]$ является формула средних
прямоугольников.

Вычислена точная оценка погрешности наилучшей квадратурной формулы
для всех рассматриваемых классов функций и кривых и дано обобщение
для более общих классов функций.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)