Об асимптотическом поведении некоторых сумм, содержащих функцию количества простых делителей
Аннотация
В статье рассматриваются суммы значений композиции вещественной периодической
арифметической функции и функции количества простых делителей по натуральным чис-
лам, не превосходящим заданного. При этом подсчет простых делителей может произво-
диться как с учетом кратности, так и без ее учета, а на сами делители может быть наложено
дополнительное требование принадлежности некоторому специальному множеству. Упо-
мянутое специальное множество может быть, например, объединением нескольких ариф-
метических прогрессий с заданной разностью, или же допускать аналог асимптотического
закона распределения простых чисел со степенным понижением в остатке. Более того,
вместо функции количества простых делителей можно рассмотреть любую вещественную
аддитивную функцию, равную единице на простых числах. В качестве примера периоди-
ческой арифметической функции можно рассмотреть символ Лежандра. Доказаны асимп-
тотические формулы для указанных сумм и изучено их поведение.
Доказательство использует разложение периодической арифметической функции по
характерам аддитивной группы вычетов, что сводит задачу к рассмотрению специальной
тригонометрической суммы с функцией количества простых делителей в показателе. Для
нахождения асимптотик этих сумм мы записываем соответствующий производящий ряд
Дирихле, аналитически продолжаем его и применяем формулу Перрона и метод комплекс-
ного интегрирования в специально адаптированном варианте.
Об авторе
Марис Евгеньевич Чанга
Московский государственный университет геодезии и картографии
Россия
доцент кафедры высшей математики
Россия
доцент кафедры высшей математики
Список литературы
1. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.
2. Landau E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Leipzig: Teubner, 1909.
3. Карацуба А.А. Об одном свойстве множества простых чисел // Успехи матем. наук, 2011, т. 66, вып. 2, с. 3-14.
4. Карацуба А.А. Об одном свойстве множества простых чисел как мультипликативного базиса натурального ряда // Доклады РАН, 2011, т. 439, вып. 2, с. 159-162.
5. Виноградов И.М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел // Матем. сб., 1940, т. 7(49), вып. 2, с. 365--372.
6. Чанга М.Е. Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами // Матем. заметки, 2003, т. 73, вып. 3, с. 423--436.
7. Гриценко С.А. Об одной задаче И.М. Виноградова // Матем. заметки, 1986, т. 39, вып. 5, с. 269--285.
8. Ren X.M. Vinogradov's exponential sum over primes // Acta Arith., 2006, vol. 124, no. 3, p. 269-285.
9. Mauduit C., Rivat J. Sur un probl`eme de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers // Annals of Mathematics. Second Series, 2010, v. 171, no. 3, p. 1591--1646.
10. Чанга М.Е. О количестве чисел специального вида в зависимости от четности числа их различных простых делителей // Матем. заметки, 2015, т. 97, вып. 6, с. 930--935.
11. Чанга М.Е. О соотношении количеств чисел с четным и нечетным числом различных простых делителей при условии некоторых ограничений на последние // Мат. методы и приложения. Труды ХХ мат. чтений РГСУ. М.: АППиППРО, 2011, с. 121-125.
12. Чанга М.Е. Об одной задаче с числами, все простые делители которых принадлежат заданным арифметическим прогрессиям // Успехи матем. наук, 2016, т. 71, вып. 4, с. 191--192.
13. Чанга М.Е. О числах, количество простых делителей которых принадлежит заданному классу вычетов // Известия РАН, сер. матем., 2019, т. 83, вып. 1, с. 192--202.
14. Чанга М.Е. Об одной сумме символов Лежандра // Успехи матем. наук, 2018, т. 73, вып. 5, с. 183--184.
15. Чанга М.Е. О распределении чисел с условиями на количество их простых делителей // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения. Материалы XV Международной конференции. Тула: ТГПУ, 2018, с. 242-243.
16. Чанга М.Е. О суммах мультипликативных функций по числам, все простые делители которых принадлежат заданным арифметическим прогрессиям // Известия РАН. Сер. матем., 2005, т. 69, вып. 2, с. 205--220.
17. Чанга М.Е. О числах, все простые делители которых лежат в специальных промежутках // Известия РАН. Сер. матем., 2003, т. 67, вып. 4, с. 213--224.
Для цитирования:
Чанга М.Е. Об асимптотическом поведении некоторых сумм, содержащих функцию количества простых делителей. Чебышевский сборник. 2020;21(3):186-195. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-3-186-195
For citation:
Changa M.E. On the asymptotic behavior of some sums involving the number of prime divisors function. Chebyshevskii Sbornik. 2020;21(3):186-195. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-3-186-195
Просмотров: 49
Послать статью по эл. почте 