Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Асимптотическая оценка для тригонометрических сумм алгебраических сеток

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-3-232-240

Полный текст:

Аннотация

В работе продолжены исследования авторов по оценке тригонометрических сумм алгебраической сетки с весами с произвольной весовой функцией $r+1$ порядка.

Для параметра $\vec{m}$ тригонометрической суммы $S_{M(t),\vec\rho}(\vec m)$ выделены три случая.

Если $\vec{m}$ принадлежит алгебраической решётке $\Lambda(t\cdot T(\vec a))$, то справедлива асимптотическая формула
$$
S_{M(t),\vec\rho}(t(m,\ldots,m))=1+O\left(\frac{\ln^{s-1}\det \Lambda(t)}{ (\det\Lambda(t))^{r+1}}\right).
$$

Если $\vec{m}$ не принадлежит алгебраической решётке $\Lambda(t\cdot T(\vec a))$, то определены два вектора $\vec{n}_\Lambda(\vec{m})=(n_1,\ldots,n_s)$ и $\vec{k}_\Lambda(\vec{m})$ из условий $\vec{k}_\Lambda(\vec{m})\in\Lambda$, $\vec{m}=\vec{n}_\Lambda(\vec{m})+\vec{k}_\Lambda(\vec{m})$ и произведение $q(\vec{n}_\Lambda(\vec{m}))=\overline{n_1}\cdot\ldots\cdot\overline{n_s}$ минимально. Доказана асимптотическая оценка
$$
|S_{M(t),\vec\rho}(\vec{m})|\le B_r\left(\frac{1-\delta(\vec{k}_\Lambda(\vec{m}))}{(q(\vec{n}_\Lambda(\vec{m})))^{r+1}}+O\left(\frac{q(\vec{n}_\Lambda(\vec{m}))^{r+1}\ln^{s-1}\det \Lambda(t)}{ (\det\Lambda(t))^{r+1}}\right)\right).

Об авторах

Елена Михайловна Рарова
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия

старший преподаватель кафедры алгебры, математического
анализа и геометрии



Николай Николаевич Добровольский
Тульский государственный университет, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, доцент кафедры общей и теоретической физики



Ирина Юрьевна Реброва
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия

кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики, физики и информатики



Список литературы

1. Бахвалов Н. С. , О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. No 4. С. 3--18.

2. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

3. С. С. Демидов, Е. А. Морозова, В. Н. Чубариков, И. Ю. Реброва, И. Н. Балаба, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Л. П. Добровольская, А. В. Родионов, О. А. Пихтилькова , Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сборник 2017 Т. 18, вып. 4(64). С. 6--85.

4. Л. П. Добровольская, , М. Н. Добровольский,, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский , Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов, / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. --- 283,с. http://elibrary.ru/item.asp? id=20905960

5. Л. П. Добровольская, , М. Н. Добровольский, , Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский , Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов, // Чебышевский сборник 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4--107.

6. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Огородничук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. , Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Труды X международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Часть 2. С. 90--98.

7. Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва , Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 13:4(2) (2013), 47–52.

8. Добровольский М. Н. , Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. // Чебышевский сборник 2006.

9. Т. 3, вып. 2(4). С. 43--59.

10. { Добровольский,М.,Н.} , Функциональное уравнение для гиперболической дзета"=функции целочисленных решёток. // ДАН. Т. 412, No 3, Январь 2007. С. 302--304.

11. { Добровольский,М.,Н.} , Функциональное уравнение для гиперболической дзета"=функции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. No 3. С. 18--23.

12. { Добровольский Н. М.} , Гиперболическая дзета функция решёток. / Деп. В ВИНИТИ 24.08.84, N 6090--84.

13. { Добровольский Н. М.} , О квадратурных формулах на классах $E^alpha_s(c)$ и $H^alpha_s(c)$. / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6091--84.

14. { Добровольский Н. М.} , Теоретико--числовые сетки и их приложения. / Дис. ... канд. физ.--мат. наук. Тула, 1984.

15. { Добровольский Н. М.} , Теоретико--числовые сетки и их приложения: /Автореф. дис. ... канд. физ.--мат. наук. Москва, 1985.

16. { Добровольский Н. М.} , Теоретико--числовые сетки и их приложения //Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всесоюз. конф. Тбилиси,1985. C. 67--70.

17. Добровольский Н. М. , Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения / Н. М. Добровольский. --- Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005.

18. Н. М. Добровольский , О современных проблемах теории гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 1. С. 176--190.

19. {Добровольский Н. М., Ванькова В. С.} , О гиперболической дзета-функции алгебраических решёток.// Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. республик. конф. Ташкент, 1990. C. 22.

20. { Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. Л.} , Гиперболическаядзета-функция алгебраических решёток. / Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, N 2327--B90.

21. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова , О гиперболической дзета-функции Гурвица // Чебышевский сб., 2016. Т. 17, вып. 3. С. 72--105.

22. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Е. И. Юшина, Гиперболическая дзета-функция решётки квадратичного поля // Чебышевский сб., 2015. Т. 16, вып. 4. С. 100--149.

23. {Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л.} , Непрерывностьгиперболической дзета-функции решеток // Мат. заметки. Т. 63, вып. 4. 1998. C. 522--526.

24. { Добровольский Н. М., Рощеня А. Л.} , О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел: Сб. тез. докл. II Междунар. конф. Воронеж, 1995. C. 53.

25. {Добровольский Н. М., Рощеня А. Л.} , Об аналитическом продолжении гиперболической дзета-функции рациональных решёток // Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Сб. тез. докл. III Междунар. конф. Тула, 1996. C. 49.

26. { Добровольский Н. М., Рощеня А. Л.} , О непрерывности гиперболической дзета-функции решёток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2, вып. 1. Тула: Изд--во ТулГУ, 1996. С. 77--87.

27. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. , О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 3. 1998. C. 363--369.

28. Добровольский Н. Н. , О числе целых точек в гиперболическом кресте при значениях параметра $1le t<21$ // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып.1. С. 91--95.

29. Коробов Н. М. , О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, No 6. С. 1207--1210.

30. Коробов Н. М. , Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. No 4. С. 19--25.

31. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. / М.: Физмат-гиз, 1963.

32. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) / М.: МЦНМО, 2004.

33. .Ребров Е. Д. , Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками // Чебышевский сборник 2012 Т. 13, вып. 3(43). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 53--90.

34. { Реброва И. Ю.} Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток Тез. докл. III Междунар. конф. // Современные проблемы теории чисел: Тула: Изд-во ТГПУ, 1996. С. 119.

35. { Реброва И. Ю.} Непрерывность обобщенной гиперболической дзета функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4.

36. Вып.3. С. 99--108.

37. Реброва И. Ю., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Балаба И. Н., Есаян А. Р., Басалов Ю. А. , Теоретико-числовой метод в приближённом анализе и его реализация в ПОИВС «ТМК»: Моногр. В 2 ч. / Под. ред. Н. М. Добровольского. --- Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2016. -- Ч. I. -- 232 с.

38. { Фролов К. К.} Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. No 4. С. 818 --- 821.

39. { Фролов К. К.} Квадратурные формулы на классах функций. / Дис... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.

40. { Чандрасекхаран К.} Введение в аналитическую теорию чисел. --- М.: Мир, 1974. 188,с.

41. . P. Dobrovolskaya, M. N. Dobrovolsky, N. M. Dobrovol'skii, N. N. Dob-rovolsky. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Dis-tributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23--62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.

42. { Hua Loo Keng, Wang Yuan} , Applications of Number Theory to Numerical Analysis,-- Springer--Verlag Berlin, 1981.

43. Griebel, M, “Sparse grids for the Schrodinger equation”, ESAIM-Mathematical Modelling and Numerical Analysis-Modelisation Mathematique et Analyse Numerique, 41:2 (2007), 215

44. Adcock B., “Multivariate Modified Fourier Series and Application to Boundary Value Problems”, Numer. Math., 115:4 (2010), 511–552

45. Shen J., Wang L.-L., “Sparse Spectral Approximations of High-Dimensional Problems Based on Hyperbolic Cross”, SIAM J. Numer. Anal., 48:3 (2010), 1087–1109

46. Huybrechs D., Iserles A., Norsett S.P., “From High Oscillation to Rapid Approximation IV: Accelerating Convergence”, IMA J. Numer. Anal., 31:2 (2011), 442–468

47. Shen J., Wang L.-L., Yu H., “Approximations By Orthonormal Mapped Chebyshev Functions For Higher-Dimensional Problems in Unbounded Domains”, J. Comput. Appl. Math., 265 (2014), 264–275

48. Chernov A., Duong Pham, “Sparse Tensor Product Spectral Galerkin Bem For Elliptic Problems With Random Input Data on a Spheroid”, Adv. Comput. Math., 41:1 (2015), 77–104

49. Chernov A., Dung D., “New Explicit-in-Dimension Estimates For the Cardinality of High-Dimensional Hyperbolic Crosses and Approximation of Functions Having Mixed Smoothness”, J. Complex., 32:1 (2016), 92–121

50. Luo X., Xu X., Rabitz H., “On the fundamental conjecture of HDMR: a Fourier analysis approach”, J. Math. Chem., 55:2 (2017), 632–660


Для цитирования:


Рарова Е.М., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю. Асимптотическая оценка для тригонометрических сумм алгебраических сеток. Чебышевский сборник. 2020;21(3):232-240. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-3-232-240

For citation:


Rarova E.M., Dobrovol’skii N.N., Rebrova I.Yu. Asymptotic estimation for trigonometric sums of algebraic grids. Chebyshevskii Sbornik. 2020;21(3):232-240. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-3-232-240

Просмотров: 29


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)