Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов для некоторых классов функций и кривых

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-3-250-261

Полный текст:

Аннотация

Для приближённого вычисления криволинейного интеграла
$$J(f;\Gamma):=\int\limits_{\Gamma}f(x_1,x_2,\ldots,x_m)dt$$ в случае, когда кривая
$\Gamma$ задаётся параметрическими уравнениями
$$x_{1}=\varphi_{1}(t),
x_{2}=\varphi_{2}(t),\cdots,x_{m}=\varphi_{m}(t), 0\leq t\leq L,$$
вводится в рассмотрение квадратурная формула
$$J(f;\Gamma)\approx:=\sum_{k=1}^{N}p_{k}\, f\Bigl(\varphi_{1}(t_k),\,
\varphi_{2}(t_k), \ldots,\, \varphi_{m}(t_k)\Bigr),$$ где
$P=\left\{p_{k}\right\}_{k=1}^{N}$ и $T:=\left\{t_{k}:0\leq
t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{N}\leq L\right\}$-- произвольные векторы
коэффициентов и узлов. Пусть $H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L]$
-- множество кривых $\Gamma$, у которых координатные функции
$\varphi_{i}(t)\in H^{\omega_{i}}[0,L] \ (i=\overline{1,m})$, где
$\omega_{i}(t) \ (i=\overline{1,m})$ -- заданные модули
непрерывности, $\mathfrak{M}_{\rho}^{\omega,p}$ -- класс функций
$f(M),$ определённых в точках $M\in\Gamma,$ таких, что для любых двух
точек
$M^{\prime}=M(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{m}^{\prime}),$
$M^{\prime\prime}=M(x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{m}^{\prime\prime}),$
принадлежащих кривой $\Gamma \in
H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L],$ они удовлетворяют условию
$$\Bigl|f(M^{\prime})-f(M^{\prime\prime})\Bigr|\le\omega(\rho_{p}(M^{\prime},
M^{\prime\prime})),$$ где
$$\rho_{p}(M^{\prime},
M^{\prime\prime})=\left\{\sum_{i=1}^{m}|x^{\prime}_{i}-x_{i}^{\prime\prime}|^{p}\right\}^{1/p},
\ 1\leq p\leq \infty,$$ $\omega(t)$-- заданный модуль
непрерывности. Доказано, что среди всех квадратурных формул
указанного вида наилучшей для класса функций
$\mathfrak{M}_{\rho}^{\omega,p}$ и класса кривых
$H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L]$ является формула средних
прямоугольников.

Вычислена точная оценка погрешности наилучшей квадратурной формулы
для всех рассматриваемых классов функций и кривых и дано обобщение
для более общих классов функций.

Об авторах

Мирганд Шабозович Шабозов
Таджикский национальный университет
Россия

доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Таджикистан



Муслими Кароматулло Абдукаримзода
Таджикский национальный университет
Россия

аспирант кафедры математического анализа и теории функций



Список литературы

1. Никольский С.М. textit{Квадратурные формулы} // Изв. АН СССР, сер.

2. матем., 1952, No16, с. 181--196.

3. Вакарчук С.Б. textit{Оптимальная формула численного интегрирования

4. криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций

5. и кривых} // Укр. матем. журнал, 1986, т.38, No5, с.643-645.

6. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. textit{Оптимизация приближённого

7. интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых

8. классов функций и кривых} // ДАН РТ, 2010, т.53, No6, с.415-419.

9. Тухлиев К. textit{Наилучшие квадратурные формулы приближённого

10. вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых

11. классов функций и кривых} // Известия Тульского госуниверситета.

12. Естественные науки, 2013, вып.2, ч.1, с.50-57.

13. Тухлиев К. textit{Оптимальные квадратурные формулы приближенного

14. вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых

15. классов функций и кривых} // Моделирование и анализ информационных

16. систем, 2013, т.20, No3, с.121-129.

17. Шабозов М.Ш. textit{О наилучших квадратурных формулах для

18. вычисления криволинейных интегралов на некоторых классах функций и

19. кривых} // Матем. заметки, 2014, т.96, No7, с.637-640.

20. Корнейчук Н.П. textit{Точные константы в теории приближения} // М.:

21. Наука, 1987, 424с.

22. Корнейчук Н.П. textit{Наилучшие кубатурные формулы для некоторых

23. классов функций многих переменных} // Матем. заметки, 1968, т.3,

24. No5, с. 565--576.


Для цитирования:


Шабозов М.Ш., Абдукаримзода М.К. Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов для некоторых классов функций и кривых. Чебышевский сборник. 2020;21(3):250-261. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-3-250-261

For citation:


Shabozov M.S., Abdukarimzoda M.K. Best quadrature formulas calculation of curvilinear integrals for some classes of functions and currves. Chebyshevskii Sbornik. 2020;21(3):250-261. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-3-250-261

Просмотров: 30


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)