О тригонометрической сумме по модулю разбиения вещественной оси

Найдена оценка тригонометрической суммы вида
$$
S=\sum_{a<t_s\leq b}e^{2\pi if(t_s)},
$$
где $a\geq 0,a\leq b$~---~вещественные числа, $t_s$~---~возрастающая к бесконечности последовательность неотрицательных чисел, $f(t)$~---~гладкая вещественная функция.

Здесь также доказываются аналоги формул Эйлера, Сонина, Пуассона и ван дер Корпута для рассматриваемой суммы.

Пусть задана последовательность $\Delta$ точек
$$
0=t_0<t_1<t_2<\dots<t_s<\dots, \lim\limits_{n\to\infty}t_n=+\infty,
$$
на положительной полуоси вещественной прямой.

Для неотрицательного числа $x$ определим аналог целой части $[x]_{\Delta},$ отвечающий последовательности $\Delta: [x]_{\Delta}=t_s,$ если $t_s\leq x<t_{s+1}, s\geq 0.$ Дробная часть $\{x\}_{\Delta}$ определяется равенством
$$
\{x\}_{\Delta}=\frac{x-t_s}{t_{s+1}-t_s},
$$
если $t_s\leq x<t_{s+1}, s\geq 0,$ причём $0\leq\{x\}_{\Delta}<1.$

Определим аналог функции Бернулли, отвечающий последовательности $\Delta: \rho_\Delta(x)=$ $=0,5-\{x\}_\Delta$

Тогда справедлив следующий аналог теоремы ван дер Корпута для разбиений.
{\sl Пусть $\Delta=\{t_s\}, 0=t_0<t_1<\dots<t_s<\dots, $~---~разбиение полуоси $t\geq 0$ вещественной прямой, $\delta_s=t_{s+1}-t_s\geq 1, \delta(a,b)=\max\limits_{a\leq x\leq b}{\rho'_{\Delta}(x)}$ и пусть задана последовательность $\Delta_0=\{\mu_s\}, \quad \mu_s=0,5(t_s+t_{s+1}), s\geq 0,$ и точки $a,b\in\Delta_0,$ пусть, также, $f'(x)$ является непрерывной, монотонной и знакопостоянной функцией в промежутке $a< x\leq b,$ причём найдётся постоянная $\delta$ такая, что $0<2\delta\delta^{-1}(a,b)<1$ и что для всех $x$ из этого промежутка справедливо неравенство $|f'(x)|\leq\delta.$ Тогда имеем $$\sum_{a<t_s\leq b}e^{2\pi if(t_s)}=\int\limits_{a}^{b}\rho'_\Delta(x)e^{2\pi if(x)}\,dx+10\theta\frac{\delta}{1-\delta\delta^{-1}(a,b)}, |\theta|\leq 1.$$

1. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд., исправленное и дополненное - М.: Физматлит. 1980, 144 с.

2. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических. - М.: Физматлит. 1976, 120 с.

3. Van der Corput J. G. Zahlentheoretische Absch"atzungen // Math. Ann., 1921, {bf 84}, S. 53-79.

4. Van der Corput J. G. Versch"arfung der Absch"atzung beim Teilerproblem // Math. Ann., 1922, {bf 87}, S. 39-65.

5. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. - М.: Физматлит. 1983, 240 с.

6. , {bf 30,} No 1.

7. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. - М.-Л.: Изд-во ин.лит. 1953, 408 с.

8. Montgomery H. L. Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis - Providence, Rhode Island: 1994, 220 p.

9. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Три теоремы из анализа о тригонометрических суммах // Докл. РАН, 1994, {bf 335,} No 4, 407.

10. Архипов Г. И. Избранные труды. - Орёл: Изд-во Орловского ун-та, 2013, 464 с.

11. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. 4-е изд., испр. - М.: Дрофа. 2004, 640 с.

12. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. ---~М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит. 1987, 368 с.

13. Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39 - Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2004, pp. 554.

14. LeVeque W.J. On uniform distribution modulo a subdivision //

15. Pacific J. Math., 1953,{bf 1}, 757--771.

16. Erd"os P., Davenport H. A theorem on uniform distribution //

17. Magyar Tud.Akad.Kutat'o Int.K'ozl., 1963, {bf 8}:2, 3--11.

18. Gallagher P.X. A large sieve density estimate near $sigma=1$ //

19. Invent. Math., 1974, {bf 1}, 757--771.

20. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. - М.: Наука,2001, 418 с.