Доклад, сделанный на семинаре Б. С. Кашина и С. В. Конягина механико -математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова 9 ноября 2006 г.

Доклад, сделанный на семинаре П. М. Грубера кафедры математического анализа математического факультета Технического Университета Вены 13 июня 1994 г.

В статье авторы ставили перед собой две главные задачи: охарактеризовать основные этапы жизни выдающегося русского математика, Заслуженного деятеля науки РФ, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, заведующего отделом теории чисел МИАН им. В. А. Стеклова, доктора физико-математических наук Анатолия Алексеевича Карацубы и дать краткий анализ его научной деятельности, оказавшей значительное влияние на развитие аналитической теории чисел. Достаточно подробно описываются исследования профессора А. А. Карацубы и его учеников по аналитической теории чисел, где выделяются, следуя А. А. Карацубе, три основных направления: 1) тригонометрические суммы и тригонометрические интегралы; 2) дзета-функция Римана; 3) характеры Дирихле. А. А. Карацуба, являясь учеником профессора Н. М. Коробова, руководил научной школой и научным семинаром по аналитической теории чисел в МГУ имени М. В. Ломоносова. Среди его учеников многие защитили кандидатские диссертации, причём семь из них впоследствии стали докторами физико-математических наук. Анатолий Алексеевич опубликовал 158 научных работ, среди которых 4 монографии и один классический учебник по аналитической теории чисел, был переводчиком ряда фундаментальных научных монографий. Являлся членом редколлегии журнала "Математические заметки" и членом программных комитетов ряда международных конференций по алгебре и теории чисел.

Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных, а также в задачах восстановления изображений. Если структура общего решения однородной части уравнения Ляпунова хорошо изучена, то решение неоднородного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко. Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения. Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи с использованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравнений AX - XB = D и X - AXB = D типа Ляпунова и исследована структура семейства их реше- ний. В статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи использовано псевдообра- щение линейного матричного оператора L, соответствующего однородной части уравнений AX - XB = D и X - AXB = D типа Ляпунова. Используя технику псевдообратных (по Муру-Пенроузу) матриц и проекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, в общем случае, когда линейный матричный оператор L, соответствующий однородной части обобщенного матричного уравнения Сильвестра не имеет обратного. Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова с использованием проекторов и псевдообратных по Муру-Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученных в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи, на случай линейного обобщенного матричного уравнения Сильвестра. Предложенные условия разрешимости, а также схема построения частного решения неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра подробно проиллюстрированы на примерах.

 

При изучении линейных алгебр с точки зрения выполняющихся в них тождеств интерес вызывают тождественные соотношения, следствиями которых является тождество нильпотентности. Хорошо известны теорема Нагаты-Хигмана, в которой утверждается, что над полем нулевой характеристики ассоциативная алгебра с ниль условием ограниченного индекса является нильпотентной, а также результат Е. И. Зельманова о нильпотентности алгебры Ли в которой выполняется тождество энгелевости. Совокупность линейных алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, следуя А.И. Мальцеву, называют многообразием. Многообразие называется почти нильпотентным, если само оно не является нильпотентным, но каждое его собственное подмногообразие нильпотентно. Существует понятие как рост многообразий. Различают многообразия полиномиального, экспоненциального, сверхэкспоненциального роста, а также промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным ростом. Подэкспоненциальный рост подразумевает, что многообразие имеет полиномиальный или промежуточный рост. Статья носит реферативный обзорный характер и касается описания почти нильпотентных многообразий в различных классах линейных алгебр над полем нулевой характеристики. Один из разделов статьи посвящен случаю классических линейных алгебр. В нем представлено единственное ассоциативное почти нильпотентное многообразие, которым является многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр. В случае алгебр Ли почти нильпотентным является многообразие всех метабелевых алгебр Ли. При рассмотрении алгебр Лейбница приведено два примера почти нильпотентных многообразий и доказано, что других нет. Следует отметить, что все представленные в этом разделе примеры сами имеют незначительный полиномиальный рост. В общем случае оказалось, что существуют достаточно экзотические примеры почти нильпотентных многообразий. В работе описаны свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два, а также доказано существование дискретной серии почти нильпотентных многообразий различных целых экспонент. Последний раздел статьи посвящен многообразиям подэкспоненциального роста. Здесь представлены описания почти нильпотентных многообразий для многообразий в классах левонильпотентных ступени не выше двух алгебр, коммутативных метабелевых и антикоммутативных метабелевых линейных алгебр. Как оказалось, в каждом из этих классов содержится ровно по два почти нильпотентных многообразия.

В январе 2014 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН состоялась первая однодневная международная “Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям”. Целями этой конференции были представление новых и значимых результатов в различных направлениях теории чисел (особенно в тех, что связаны с творчеством А.А. Карацубы), обмен новыми теоретико-числовыми идеями и ознакомление с новыми методами и тенденциями в теории чисел. Вторая международная Конференция была проведена Математическим институтом им. В. А. Стеклова РАН совместно с Московским Государственным университетом имени М. В. Ломоносова с 30 по 31 января 2015 г. Настоящая статья содержит развёрнутые аннотации докладов, прочитанных на второй Конференции.

 

Пусть n ∈ N – фиксированное число, Q > 1 – некоторый натуральный параметр, и Pn(Q) обозначает множество целочисленных многочленов степени n и высоты, не превосходящей Q. Для заданного многочлена P(x) = anx n + · · · + a0 ∈ Z[x] степени n, число D(P) = a 2n−2 n ∏ 16i< |D(P)| 6 Q 2n−2−2v . Первые результаты по оценкам количества многочленов с заданными дискриминантами получил Х. Давенпорт в 1961 году, что имело важное значение при решении проблемы Малера. В данной работе впервые найдена точная верхняя и нижняя оценка для #P3(Q, v) при дополнительном условии на взаимное расположение корней полиномов. Интересно, что величина #Pn(Q, v) принимает наибольшее значение, когда все корни многочленов близки друг к другу. Если же близки только k, 2 6 k < n, корней, то величина #Pn(Q, v) будет меньше.

В статье дается расширенный текст доклада, сделаного автором 30 января 2015 года в г. Москве на международной конференции, посвященной памяти профессора А. А. Карацубы, проходившей в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН и МГУ имени М. В. Ломоносова. В докладе были приведены факты из истории развития теории гипер- болической дзета-функции, даны определения и обозначения. Основное содержание доклада было сосредоточено на обсуждении ак- туальных проблем теории гиперболической дзета-функции решёток. Были выделены следующие перспективные направления современных исследо- ваний: 1. Проблема правильного порядка убывания гиперболической дзета- функции при α → ∞; 2. Проблема существования аналитического продолжения в левую полуплоскость α = σ + it(σ 6 1) гиперболической дзета-функции решётки ζH(Λ|α); 3. Аналитическое продолжение для случая решёток С. М. Воронина Λ(F, q); 4. Аналитическое продолжение для случая решётки совместных приближений; 5. Аналитическое продолжение для случая алгебраической решётки Λ(t, F) = tΛ(F); 6. Аналитическое продолжение для случая произвольной решётки Λ.; 7. Проблема поведения гиперболической дзета-функции решётки ζH(Λ|α) в критической полосе; 8. Проблема значений тригонометрических сумм сеток. В качестве перспективного метода исследования перечисленных проблем был выделен подход, основанный на изучении возможности предельного перехода по сходящейся последовательности декартовых решёток.

 

До недавнего времени даже для алгебраических чисел второй степени не было известно, насколько часто они попадают в произвольный проме- жуток в зависимости от его положения и длины. Пусть An — множество алгебраических чисел степени n, а H(α) — обычная высота алгебраического числа α, определяемая как высота его минимального многочлена. Вышеназванная проблема сводится к исследо- ванию следующей функции: Φn(Q, x) := # {α ∈ An ∩ R : H(α) 6 Q, α < x} . Недавно автором была найдена точная асимптотика функции Φn(Q, x) при Q → +∞. При этом, фактически, была корректно определена и явно описана функция плотности алгебраических чисел на вещественной прямой. Статья посвящена результатам о распределении вещественных алгебраических чисел. Для n = 2 усилена оценка остатка в асимптотике для Φ2(Q, x), и получена формула: Φ2(Q, +∞) = λ Q3 − κ Q2 ln Q + O(Q 2 ), где λ и κ — эффективные постоянные.

В 1975 г. С. М. Воронин доказал универсальность L-функций Дирихле L(s, χ), s = σ + it. Это означает, что для всякого компакта K полосы {s ∈ C : 1 2 < σ < 1} любая непрерывная и неимеющая нулей в K, и аналитическая внутри K функция может быть приближена равномерно на K сдвигами L(s+iτ, χ), τ ∈ R. Изучая функциональную независимость L-функций Дирихле, С. М. Воронин также установил их совместную уни- версальность. В этом случае набор аналитических функций одновременно приближается сдвигами L(s+iτ, χ1), . . . , L(s+iτ, χr), где χ1, . . . , χr попар- но не эквивалентные характеры Дирихле. Такая универсальность называется непрерывной универсальностью. Также известна дискретная универсальность L-функций Дирихле. В этом случае набор аналитических функций приближается дискретными сдви- гами L(s + ikh, χ1), . . . , L(s + ikh, χr), где h некоторое фиксированное по- ложительное число, а k ∈ N0 = N ∪ {0}. Такая постановка задачи бы- ла дана Б. Багчи в 1981 г., однако может рассматриваться более общий случай. В [3] было изучено приближение аналитических функций сдви- гами L(s + ikh1, χ1), . . . , L(s + ikhr, χr) с различными h1 > 0, . . . , hr > 0. Настоящая статья посвящена приближению сдвигами L(s + ikh1, χ1), . . . , L(s + ikhr1 , χr1 ), L(s + ikh, χr1+1), . . . , L(s + ikh, χr), с различными h1, . . . , hr1 , h. При этом требуется линейная независимость над полем ра- циональных чисел для множества L(h1, . . . , hr1 , h; π) = { (h1 log p : p ∈ P), . . . ,(hr1 log p : p ∈ P), (h log p : p ∈ P); π } , где P – множество всех простых чисел.

В 1975 г. российский математик С. М. Воронин открыл свойство универсальности дзета-функции Римана ζ(s), s = σ + it. Грубо говоря, это означает, что широкого класса аналитические функции могут быть при- ближены равномерно на компактных подмножествах полоса {s ∈ C : 1/2 < σ < 1} сдвигами ζ(s + iτ ), τ ∈ R. Позже окозалось, что и многие другие классические дзета и L-функции также обладают универсальностью в смысле Воронина. Кроме того, некоторые дзета и L-функции имеют совместное свойство универсальности. В этом случае, данный набор аналитических функций одновременно приближается сдвигами дзета или L-функций. В статье мы даем рассширенный текст нашего доклада, прочитанного на конференции, посвященной памяти известного числовика профессора А. А. Карацубы. Статья содержит обзор основных результатов о так называемой смешанной совместной универсальности, начало которой было было дано японским математиком Г. Мишу в 2007, доказавшим сов- местную универсальность дзета-функций Римана и Гурвица. В широком смысле смешанная совмесная универсальность понимается как совмесная универсальность дзета и L-функций, имеющих эйлеровское произведение по простым числам и неимеющих такого произведения. В 1989 г. А. Сельберг ввел замечательный класс S рядов Дирихле, удовлетворяющих некоторым натуральным условиям, включая эйлеровское прозведение. Периодические дзета-функции Гурвица являются обобщени- ем классических дзета-функций Гурвица и не имеют эйлеровного произ- ведения. В статье формулируется новая теорема о смешанной совместной универсальности для L-функций из класса Сельберга и периодических дзета-функций Гурвица. Для доказатеьства может быть применен вероятностный метод.

Доказана асимптотическая формула в обобщенной тернарной пробле- ме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о пред- ставлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального числа.

 

Исследуются арифметические свойства полиадических чисел, то есть рядов вида ∑∞ n=0 an · n!, где числа an ∈ Z. Рассматривается понятие бесконечной алгебраической независимости полиадических чисел. Доказана теорема о бесконечной алгебраической независимости полиа- дических чисел из класса F (Q, C1, C2, C3, d0), если они связаны системой линейных дифференциальных уравнений определенного вида.

Воспоминания Алексея Дмитриевича Надёжина позволяют читателям лучше узнать личность замечательного ученого и человека — Анатолия Алексеевича Карацубы. Они позволяют окунуться в неповторимый мир горных восхождений, которые оказывают неизгладимое влияние на формировании личности человека.

 

В работе с новой точки зрения рассматривается известное дискретное преобразование – зеркальное отражение (иначе – зеркальное преобразование). Если существует зеркальная симметрия, то она ведет к сохранению P-четности (пространственной четности) в физических явлениях. До сих пор зеркальная симметрия не подвергалась сомнению – при отражении в зеркале правое и левое менялись местами, а в остальном исходный объект и его отражение были совершенно идентичны. В настоящей работе показано, что эта очевидная на первый взгляд ситуация в общем случае не соответствует реальности. Дело в следующем. В подавляющем большинстве случаев реальная экспериментальная ситуация описывается векторами, причем почти всегда имеет место сочетание истинных векторов (иначе – полярных векторов) и псевдовекторов (иначе – аксиальных векторов). Векторы этих двух типов ведут себя по-разному при зеркальном отражении, при этом в целом отражение в зеркале оказывается несимметричным исходному объекту. Это относится как к однократному зеркальному преобразованию, так и к пространственной инверсии, которая эквивалентна последовательному зеркальному отражению в трех взаимноперпендикулярных зеркалах. Оба этих варианта детально рассмотрены в настоящей работе. В свое время несохранение P-четности, открытое в 1956 году, вызвало шок в физическом мире. Была сделана попытка ввести вместо P-четности комбинированную CP-четность. Но это также не привело к успеху, так как и эта четность, как показал эксперимент не сохраняется в распаде каонов. Вопрос о природе несохранения четности до сих пор (уже более полувека) не имеет удовлетворительного общепринятого решения. Мы полагаем, что настоящая работа как раз дает такое решение, и оно связано с несимметричностью зеркального отражения. Более того, мы считаем, что вполне возможно несохранение P-четности не только в физических процессах, обусловленных слабым взаимодействием, но и в процессах, обусловленных другими видами взаимодействий – электромагнитным, сильным. Таким образом, в настоящей статье освещается новый аспект взаимосвязи свойств пространства и физических явлений.

Авторы статьи ставили перед собой две главные задачи: охарактеризовать основные этапы жизни профессора Тульского государственного педагогического университета им. Л. Н. Толстого Владимира Николаевича Безверхнего и дать краткий анализ его научной и педагогической деятельности, имеюшей значительное влияние на развитие комбинаторной теории групп. Особо отмечаются исследования профессора В. Н. Безверхнего и его учеников по алгоритмическим проблемам теории групп и полугрупп. В. Н. Безверхний, являясь учеником профессора М. Д. Гриндлингера, руководит научной школой и научным семинаром "Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп", семинаром "Основы теории групп" , аспирантурой по комбинаторной теории групп. Среди его учеников 7 человек защитили кандидатские диссертации, причём один из них впоследствии стал доктором физико-математических наук. Владимир Николаевич Безверхний имеет более 170 научных и методических работ. Реферирует статьи в Реферативном Журнале и Mathematical Review. Является членом редколлегии журнала "Чебышевский сборник" , постоянным членом программных комитетов Международных конференций по алгебре и теории чисел, проводимых Тульским государственным педагогическим университетом им. Л. Н. Толстого.

Авторы статьи ставили перед собой две главные задачи: охарактеризовать основные этапы жизни доцента, заведующего кафедрой физико- математического факультета Тульского государственного педагогического института им. Л. Н. Толстого Владимира Дмитривича Подсыпанина и дать краткий анализ его научной и педагогической деятельности, имеющей значительное влияние на становление Тульской научной теоретико числовой школы. Особо отмечаются исследования доцента В. Д. Подсыпанина и его учеников по алгебраической теории чисел и диофантову анализу. В. Д. Подсыпанин, являясь учеником член-корреспондента АН СССР, профессора Д. К. Фаддеева, руководил научной школой и научным семи- наром по теории чисел в ТГПИ им. Л. Н. Толстого. Среди его учеников многие защитили кандидатские диссертации. Владимир Дмитриевич Подсыпанин имеет глубокие, содержательные научные работы. Причем основная его работа была опубликована только через 42 года после его смерти. Он активно работал в Реферативном журнале Математика со дня основания журнала до своей смерти.

Авторы статьи ставили перед собой две главные задачи: охарактеризовать основные этапы жизни профессора Московского педагогического государственного университета Василия Ильича Нечаева и дать краткий анализ его научной и педагогической деятельности, оказавшей значительное влияние на развитие в области теории чисел и методики преподавания математики в педагогических вузах. Особо отмечаются исследования профессора В. И. Нечаева и его учеников по аналитической теории чисел и её приложениям. В. И. Нечаев, являясь учеником профессора М. К. Гребенчи, руководил научной школой и научным семинаром по аналитической теории чисел в МПГУ. Среди его учеников многие защитили кандидатские диссертации, при- чём один из них впоследствии стал доктором педагогических наук. Василий Ильич Нечаев опубликовал большое количество научных и методических работ, был переводчиком ряда фундаментальных научных монографий. Являлся членом редколлегии журнала "Математические заметки" и членом программных комитетов ряда международных конференций по алгебре и теории чисел, в том числе проводимых Тульским государственным педагогическим университетом им. Л. Н. Толстого.