Статьи
Доклад, сделанный на семинаре Б. С. Кашина и С. В. Конягина механико -математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова 9 ноября 2006 г.
Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных, а также в задачах восстановления изображений. Если структура общего решения однородной части уравнения Ляпунова хорошо изучена, то решение неоднородного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко. Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения. Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи с использованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравнений AX - XB = D и X - AXB = D типа Ляпунова и исследована структура семейства их реше- ний. В статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи использовано псевдообра- щение линейного матричного оператора L, соответствующего однородной части уравнений AX - XB = D и X - AXB = D типа Ляпунова. Используя технику псевдообратных (по Муру-Пенроузу) матриц и проекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, в общем случае, когда линейный матричный оператор L, соответствующий однородной части обобщенного матричного уравнения Сильвестра не имеет обратного. Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова с использованием проекторов и псевдообратных по Муру-Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученных в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи, на случай линейного обобщенного матричного уравнения Сильвестра. Предложенные условия разрешимости, а также схема построения частного решения неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра подробно проиллюстрированы на примерах.
В январе 2014 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН состоялась первая однодневная международная “Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям”. Целями этой конференции были представление новых и значимых результатов в различных направлениях теории чисел (особенно в тех, что связаны с творчеством А.А. Карацубы), обмен новыми теоретико-числовыми идеями и ознакомление с новыми методами и тенденциями в теории чисел. Вторая международная Конференция была проведена Математическим институтом им. В. А. Стеклова РАН совместно с Московским Государственным университетом имени М. В. Ломоносова с 30 по 31 января 2015 г. Настоящая статья содержит развёрнутые аннотации докладов, прочитанных на второй Конференции.
Пусть n ∈ N – фиксированное число, Q > 1 – некоторый натуральный параметр, и Pn(Q) обозначает множество целочисленных многочленов степени n и высоты, не превосходящей Q. Для заданного многочлена P(x) = anx n + · · · + a0 ∈ Z[x] степени n, число D(P) = a 2n−2 n ∏ 16i< |D(P)| 6 Q 2n−2−2v . Первые результаты по оценкам количества многочленов с заданными дискриминантами получил Х. Давенпорт в 1961 году, что имело важное значение при решении проблемы Малера. В данной работе впервые найдена точная верхняя и нижняя оценка для #P3(Q, v) при дополнительном условии на взаимное расположение корней полиномов. Интересно, что величина #Pn(Q, v) принимает наибольшее значение, когда все корни многочленов близки друг к другу. Если же близки только k, 2 6 k < n, корней, то величина #Pn(Q, v) будет меньше.
В статье дается расширенный текст доклада, сделаного автором 30 января 2015 года в г. Москве на международной конференции, посвященной памяти профессора А. А. Карацубы, проходившей в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН и МГУ имени М. В. Ломоносова. В докладе были приведены факты из истории развития теории гипер- болической дзета-функции, даны определения и обозначения. Основное содержание доклада было сосредоточено на обсуждении ак- туальных проблем теории гиперболической дзета-функции решёток. Были выделены следующие перспективные направления современных исследо- ваний: 1. Проблема правильного порядка убывания гиперболической дзета- функции при α → ∞; 2. Проблема существования аналитического продолжения в левую полуплоскость α = σ + it(σ 6 1) гиперболической дзета-функции решётки ζH(Λ|α); 3. Аналитическое продолжение для случая решёток С. М. Воронина Λ(F, q); 4. Аналитическое продолжение для случая решётки совместных приближений; 5. Аналитическое продолжение для случая алгебраической решётки Λ(t, F) = tΛ(F); 6. Аналитическое продолжение для случая произвольной решётки Λ.; 7. Проблема поведения гиперболической дзета-функции решётки ζH(Λ|α) в критической полосе; 8. Проблема значений тригонометрических сумм сеток. В качестве перспективного метода исследования перечисленных проблем был выделен подход, основанный на изучении возможности предельного перехода по сходящейся последовательности декартовых решёток.
До недавнего времени даже для алгебраических чисел второй степени не было известно, насколько часто они попадают в произвольный проме- жуток в зависимости от его положения и длины. Пусть An — множество алгебраических чисел степени n, а H(α) — обычная высота алгебраического числа α, определяемая как высота его минимального многочлена. Вышеназванная проблема сводится к исследо- ванию следующей функции: Φn(Q, x) := # {α ∈ An ∩ R : H(α) 6 Q, α < x} . Недавно автором была найдена точная асимптотика функции Φn(Q, x) при Q → +∞. При этом, фактически, была корректно определена и явно описана функция плотности алгебраических чисел на вещественной прямой. Статья посвящена результатам о распределении вещественных алгебраических чисел. Для n = 2 усилена оценка остатка в асимптотике для Φ2(Q, x), и получена формула: Φ2(Q, +∞) = λ Q3 − κ Q2 ln Q + O(Q 2 ), где λ и κ — эффективные постоянные.
Доказана асимптотическая формула в обобщенной тернарной пробле- ме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о пред- ставлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального числа.
Воспоминания Алексея Дмитриевича Надёжина позволяют читателям лучше узнать личность замечательного ученого и человека — Анатолия Алексеевича Карацубы. Они позволяют окунуться в неповторимый мир горных восхождений, которые оказывают неизгладимое влияние на формировании личности человека.