Редакция Чебышевского сборника поздравляет своего коллегу — доктора физико-математических наук Зарулло Хусеновича Рахмонова с избранием действительным членом Академии наук Таджикистана.

Хорошо известно, что кольцо целых чисел Z является E-кольцом, следовательно, на аддитивной группе Z можно задать единственную (с точностью до изоморфизма) структуру кольца с единицей. Возникает естественный вопрос о единственности структуры кольца с единицей на мультипликативном моноиде Z. В работе показано, что данный вопрос решается отрицательно. Более того, построен и описан метод, позволяющий получать различные кольцевые структуры на мультипликативном моноиде Z с помощью мультипликативных автоморфизмов. Для мультипликативного моноида Z введено понятие базиса и доказано, что с точностью до знака не существует базисов, отличных от базиса, состоящего из всех простых чисел, и базисов, получающихся из него путём перестановки элементов. В конце работы приводится пример задания нового кольца на множестве Z при фиксированном стандартном умножении. Новое сложение на мультипликативном моноиде Z получается с помощью перестановки простых чисел (в подробно разобранном примере — это перестановка 2↦→3↦→5↦→2). Из полученных в статье результатов, в частности, следует, что кольцо Z не является кольцом с однозначным сложением (UA-кольцом).

Хорошо известно, что математически простые нелинейные системы дифференциальных уравнений могут демонстрировать хаотическое поведение. Обнаружение аттракторов хаотических систем – важная проблема нелинейной динамики. Результаты недавних исследований позволили ввести следующую классификацию периодических и хаотических аттракторов в зависимости от наличия окрестностей состояний равновесия в их области притяжения – самовозбуждающиеся и скрытые аттракторы. Присутствие скрытых аттракторов в динамических системах привлекло пристальное внимание, как к теоретическим, так и к прикладным исследованиям этого феномена. Выявление скрытых аттракторов в реальных инженерных системах чрезвычайно важно, поскольку оно позволяет предсказать неожиданные и потенциально опасные ответы системы на возмущения ее структуры. В последние три года, после обнаружения S. Jafari и J. C. Sprott хаотических систем с линией и плоскостью состояний равновесия, имеющих скрытые аттракторы, возрос интерес к системам, обладающим несчетным или бесконечным числом состояний равновесия. В настоящей работе предложены новые модели систем управления с бесконечным числом состояний равновесия, обладающие скрытыми аттракторами: кусочно-линейная система с локально устойчивым отрезком покоя и система с периодической нелинейностью и бесконечным числом состояний равновесия. Для поиска скрытых аттракторов исследуемых систем применен предложенный автором оригинальный аналитико-численный метод.

Экстремальные задачи Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана для положительно определенных функций в евклидовом пространстве или для функций с неотрицательным преобразованием Фурье имеют многообразные приложения в теории функций, теории приближений, теории вероятностей и метрической геометрии. Так как экстремальные функции в них являются радиальными, то с помощью усреднения по евклидовой сфере они допускают редукцию к аналогичным задачам для преобразования Ганкеля на полупрямой, для решения которых можно использовать квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям функции Бесселя, построенные Фрапье и Оливером.

Нормированная функция Бесселя, как ядро преобразования Ганкеля, является решением задачи Штурма–Лиувилля со степенным весом. Другим важным примером служит преобразование Якоби, ядро которого является решением задачи Штурма–Лиувилля с гиперболическим весом. Авторам работы недавно удалось построить квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям собственных функций задачи Штурма– Лиувилля при естественных условиях на весовую функцию, которые, в частности, выполняются для степенного и гиперболического весов.

При этих условиях на весовую функцию в работе решены экстремальные задачи Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана, Логана для преобразования Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля. Построены экстремальные функции. Для задач Турана, Фейера, Бомана и Логана доказана их единственность. 

В работе строится алгебраическая теория полиномов Туэ. Построение теории опирается на изучение подмодулей Z[t]-модуля Z[t]². Рассматриваются подмодули, заданные одним определяющим соотношением и одним определяющим соотношением k-ого порядка. Более сложным подмодулем является подмодуль заданный одним полиномиальным соотношением. Подмодули пар Туэ j-ого порядка напрямую связаны с полиномами Туэ j-ого порядка. С помощью алгебраической теории подмодулей пар Туэ j-ого порядка удалось получить новое доказательство теоремы М. Н. Добровольского (старшего) о том, что для каждого порядка j существуют два основных полинома Туэ j-ого порядка, через которые выражаются все остальные. Основные полиномы определяются с точностью до унимодулярной многочленной матрицы над кольцом целочисленных многочленов.

В работе вводятся дробно-линейные преобразования ТДП-форм. Показано, что при переходе от ТДП-формы, связанной с алгебраическим числом α к ТДП-форме, связанной с остаточной дробью к алгебраическому числу α, ТДП-форма преобразуется по закону, аналогичному преобразованию минимальных многочленов, а числители и знаменатели соответствующих пар Туэ преобразуются с помощью дробно-линейного преобразования второго рода.

В работе предложена новая классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей на основе их разложения в цепные дроби.

Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей α степени n > 2, начиная с некоторого номера m₀ = m₀(α), последовательность остаточных дробей α_m является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей.

Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробнолинейных преобразований является дробно-линейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности α в систему сопряжённых к остаточной дроби, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби .

Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами.

В работе доказываются предельные соотношения с коэффициентами минимального многочлена, связанные с эффектом концентрации сопряжённых чисел остаточной дроби.

В заключении поставлена проблема о структуре рационального сопряжённого спектра вещественного алгебраического иррационального числа α и о его предельных точках

В статье дается обзор средств системы GeoGebra, предназначенных для выполнения различных преобразований объектов на плоскости встроенными инструментами и командами [5, 6]. Преобразования, которые могут быть реализованы как инструментами, так и командами – это зеркальное отражение объекта относительно прямой (осевая симметрия), отражение объекта относительно точки (центральная симметрия), инверсия относительно окружности, поворот вокруг точки, параллельный перенос по вектор, гомотетия относительно точки. Кроме того, командами Shear и Stretch, не имеющими инструментальных аналогов, можно совершать разнообразные сдвиги объектов вдоль и поперек направлений.

Введено понятие индуцированного преобразования почти эрмитовой структуры линейного расширения почти контактного метрического многообразия. Получены явные формулы этого преобразования почти эрмитовой структуры. Исследована инвариантность четырех основных соотношений на структурный и виртуальный тензоры почти эрмитова многообразия, которые используются при классификации Грея–Хервеллы почти эрмитовых многообразий. Было выяснено, что одно из этих соотношений является инвариантным относительно индуцированного преобразования почти эрмитовой структуры линейного расширения. Для остальных трех условий были найдены требования на функцию, задающую индуцированное преобразование, при выполнении которых названные условия оказались инвариантными относительно индуцированного преобразования почти эрмитовой структуры линейного расширения гладкого многообразия с почти контактной метрической структурой. С использованием этих результатов было выяснено, какие из шестнадцати классов почти эрмитовых многообразий являются инвариантными относительно индуцированных преобразований линейных расширений. Для остальных классов классификации Грея–Хервеллы были получены условия на функцию, задающую индуцированное преобразование, при выполнении которых исходная почти эрмитова структура линейного расширения и преобразованная почти эрмитова структура принадлежат одному и тому же классу из классификации почти эрмитовых многообразий.

В работе описываются конгруэнц-когерентные алгебры Риса и алгебры с оператором. Концепция когерентности была предложена Д.Гейгером.

В разделе 3 найдены условия отсутствия свойства конгруэнц-когерентности для алгебр имеющих собственные подалгебры. Для алгебр Риса получено необходимое условие конгруэнц–когерентности. Для произвольной алгебры с оператором найдены достаточные условия конгруэнц–когерентности. Кроме того, полностью описаны конгруэнц–когерентные унары.

В разделе 4 рассматриваются модификации свойства конгруэнц–когерентности. Понятия слабой и локальной когерентности были предложены И.Хайда. Установлены достаточные условия слабой и локальной когерентности алгебр с оператором.

В разделе 5 рассматриваются алгебры ⟨A,d,f⟩, сигнатура которых состоит из тернарной операции d(x,y,z) и унарной операции f, являющейся эндоморфизмом относительно первой операции. Тернарная операция d(x,y,z) определена в соответствии с подходом, предложенным В.К. Карташовым. Для алгебр ⟨A,d,f⟩ получены необходимые и достаточные условия конгруэнц–когерентности. Для алгебр ⟨A,d,f,0⟩ с нульарной операцией 0 для которой f(0) = 0, найдены необходимые и достаточные условия слабой и локальной когерентности.

Рассмотрены такие обобщения конформных преобразований почти контактных метрических многообразий, как обобщенные конформные преобразования, f-преобразования, обобщенные f-преобразований почти контактных метрических структур.Приведены компоненты тензорных полей почти контактной метрической структуры в А-реперах. Дано выражение компонент тензора аффинной деформации римановой связности для обобщенного конформного преобразования почти контактного метрического многообразия. Установлено, что ни один из шести структурных тензоров почти контактного метрического многообразия относительно этого преобразования не инвариантен. Далее выявлены структурные тензоры, инвариантные относительно f-преобразований — частного случая обобщенных конформных преобразований почти контактных метрических структур.Это второй, третий и пятый структурные тензоры. Для тех структурных тензоров, которые не инвариантны в общем случае, получены условия их инвариантности. После этого рассмотрен вопрос об инвариантности тех же структурных тензоров при обобщенных f-преобразованиях. Установлено, что второй структурный тензор инвариантен относительно рассматриваемых преобразований, третий и пятый тензоры являются относительными инвариантами,то есть инвариантно их обращение в ноль, а для первого структурного тензора получено условие инвариантности относительно обобщенного f-преобразования почти контактных метрических структур.

В статье получено строение почти эрмитовых структур тотального пространства главного T¹-расслоения с плоской связностью над некоторыми классами почти контактных метрических многообразий, такими, как контактные, K−контактные, сасакиевые, нормальные, косимплектические, слабо косимплектические, точнейше косимплектические и почти косимплектические. Над контактным и K−контактным многообразием почти эрмитова структура принадлежит классу W₂ ⊕W₄. Форма Ли отличается от формы плоской связности на постоянный множитель, равный −2. При этом двойственное векторное поле Ли отличается от некоторого векторного поля из вертикального распределения на этот же постоянный множитель. Также, эта почти эрмитова структура является локально конформно почти келеровой. Над сасакиевым многообразием почти эрмитова структура принадлежит классу W₄. Форма Ли отличается от формы плоской связности на постоянный множитель, равный 2. При этом двойственное векторное поле Ли также отличается от некоторого векторного поля из вертикального распределения на этот же постоянный множитель. Над слабо косимплектическим многообразием почти эрмиитова струткруа является семикелеровой. Форма Ли, как и двойственное векторное поле Ли, являются тождественно нулевыми. Над косимплектическим многообразием почти эрмитова структура является келеровой. Также, форма Ли, как и двойственное векторное поле Ли, являются тождественно нулевыми. Над нормальным многообразием почти эрмитова структура является эрмитовой. Над точнейше косимплектическим многообразием почти эрмитова структура является G₁ почти эрмитовой структурой, а над почти косимплектическим многообразием является G₂ почти эрмитовой структурой.

Один из способов изучения свойств колец, алгебр, алгебр Ли, а также их идеалов предполагает сведение их описания через свойства модулей над этими кольцами, алгебрами, алгебрами Ли. В статье рассматриваются вопросы исследования радикалов алгебр Ли, обсуждаются возможности гомологического описания радикала Джекобсона алгебры Ли и нильпотентного радикала специальной алгебры Ли.

В первом разделе работы вводятся основные понятия исследуемых в дальнейшем радикалов и алгебр Ли.

Второй раздел посвящен радикалу Джекобсона для алгебр Ли. Доказано, что пересечение аннуляторов всех неприводимых модулей над произвольной алгеброй Ли L совпадает с пересечением алгебры Ли L и радикала Джекобсона универсальной обертывающей алгебры.

Приведены примеры алгебр Ли, подтверждающие данный факт, а также позволяющие доказать равенство нильпотентного радикала PI-неприводимо представленному радикалу конечномерной алгебры Ли над полем характеристики нуль. Рассмотрены соотношения локально нильпотентного радикала и естественных, гомологически заданных радикалов: неприводимо представленного, PI-неприводимо представленного и конечно неприводимо представленного.

В третьем разделе работы показано, что для произвольной специальной алгебры Ли L над полем F характеристики нуль имеет место включение локально нильпотентного радикала в PI-неприводимо представленный, причем в общем случае это включение строгое. Сопоставление первичного радикала с PI--неприводимо представленным позволяет сделать вывод, что ни одно из возможных включений не выполняется и PI-неприводимо представленный радикал не является локально разрешимым в общем случае.

Приведен пример специальной алгебры Ли L над полем F, charF ̸= 2, в которой, при условии ненулевого неприводимо представленного радикала, локально нильпотентный радикал равен нулю. 

В статье получены новые двусторонние оценки гамма-функции на действительной полуоси. Эти результаты дают в качестве следствия двусторонние оценки факториала, более сильные, нежели известные ранее. Найденные двойные неравенства для n! верны при всех n ≥ 1.  Для Γ(x + 1) выведен ряд оценок; одни из них верны при всех x > 0, другие – при всех x ≥ 1/2, а некоторые – при всех x ≥ 1. Основные из полученных оценок связаны с понятием обвёртывания функции её асимптотическим рядом (если этот ряд является знакопеременным) в усиленном смысле, однако такая усиленная обвёртываемость пока доказана только для нескольких первых частичных сумм асимптотического ряда. Высказана гипотеза о том, что асимптотический ряд для логарифма гамма-функции обвёртывает его в усиленном смысле. В этом же духе получены новые неравенства для чисел сочетаний из 2n по n. Эти рассмотрения свидетельствуют о перспективности дальнейших исследований в данном направлении и дают метод получения новых двойных неравенств для функций, чей асимптотический ряд является знакопеременным.

При моделировании обширного класса технических систем широко применяется математический аппарат систем массового обслуживания (СМО). Примером такой системы является вычислительная сеть, где генерируются и выполняются заявки на выполнение вычислительных работ. Заявки генерируются обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок, также продолжается какое-то случайное время. Одним из центральных вопросов организации систем массового обслуживания является выяснение закономерностей, которым подчиняются моменты поступления в систему требований на обслуживание.

В статье исследуются потоки событий в технических системах различного назначения. На основании того факта, что при пуассоновском характере потока математическое моделирование систем существенно упрощается, поставлена задача получения простого критерия для определения степени приближения потока событий к пуассоновскому. Исследованы критерий Пирсона, регрессионный, корреляционный и параметрический критерии. Вновь получен критерий, основанный на расчете функции ожидания. На примере исследования системы с «соревнованиями» показано, что поток событий генерируемых системой, стремится к пуассоновскому при бесконечном увеличении количества «соревнующихся» субъектов.

Ассоциативное кольцо R называется E-кольцом, если все эндоморфизмы его аддитивной группы R⁺ являются левыми умножениями, то есть для любого α ∈ EndR⁺ найдется r ∈ R, такой что α(x) = x·r для всех x ∈ R. E-кольца были введены в 1973 году Ф. Щультцем. Им посвящено большое количество работ, однако, в большинстве из них рассматриваются E-кольца без кручения. В данной работе рассматриваются E-кольца, в том числе и смешанные, ранги которых не превосходят 2. Хорошо известно, что E-кольца ранга 0 — это в точности кольца классов вычетов. Доказано, что E-кольца ранга 1 совпадают с бесконечными T-кольцами (с кольцами R_χ). Основным результатом статьи является описание E-колец ранга 2. А именно, доказано, что E-кольцо R ранга 2 либо раскладывается в прямую сумму E-колец ранга 1, либо имеет вид Zm ⊕ J, где J — m-делимое E-кольцо без кручения, либо кольцо R S-сервантно вкладывается в кольцо ^∏︀ t_p(R). Кроме того,

p∈S

получены некоторые результаты о нильрадикале смешанного E-кольца.

Кольцом квазиэндоморфизмов ℰ(G) абелевой группы G без кручения конечного ранга называется делимая оболочка кольца эндоморфизмов этой группы. Элементы кольца ℰ(G) называются квазиэндоморфизмами группы G. Таким образом, квазиэндоморфизмы группы G — это обычные эндоморфизмы, формально поделенные на ненулевые целые числа.

В статье рассматриваются кольца квазиэндоморфизмов класса сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 4 с одним τ-адическим соотношением, псевдоцоколь которых имеет ранга 1. При этом используется описание групп этого класса с точностью до квазиизоморфизма в терминах четырехмерных над полем рациональных чисел Q подпространств алгебры Q(τ) = Q⊗^∏︀_p∈P K_p, где P — множество простых чисел, (m_p) — занумерованные простыми индексами p неотрицательное целое число и символ ∞, τ = [(m_p)] — фиксированный тип, K_p = Zp^m_p — кольцо классов вычетов по модулю p^mp в случае m_p < ∞, и K_p — кольцо целых p-адических чисел при m_p = ∞. Существующая связь между квазиэндоморфизмами группы G рассматриваемого класса и эндоморфизмами соответствующего ей подпространства U алгебры Q(τ) позволяет представить квазиэндоморфизмы этой группы в виде матриц порядка 4 над полем рациональных чисел.

В работе получена классификация колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 4, с одним τ-адическим соотношением, псевдоцоколь которых имеет ранг 1. Доказано, что с точностью до изоморфизма существует 2 алгебры и 1 бесконечная серия алгебр с рациональным параметром, которые реализуются в качестве колец квазиэндоморфизмов рассматриваемого класса групп.

В данной работе изучаются смешанные модули, обладающие следующим свойством: каждая однородная функция нескольких переменных данного модуля является аддитивной. Под однородной функцией понимается всякое отображение прямой суммы конечного числа копий некоторого модуля в сам модуль, перестановочное с эндоморфизмами данного модуля. В универсальной алгебре алгебраическая структура называется эндопримальной, если все ее терм-функции коммутируют с эндоморфизмами. Известно, что каждая эндодуализируемая конечная алгебра эндопримальна. Ряд авторов исследовал эндопримальные алгебры в многообразиях векторных пространств, полурешеток, булевых алгебр, алгебр Стоуна, алгебр Гейтинга и абелевых групп. В данной статье продолжается исследование связи эндопримальности и свойств мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов модуля, начатое автором ранее. Рассмотрены классы смешанных нередуцированных расщепляющихся модулей и редуцированных нерасщепляющихся модулей над коммутативным дедекиндовым кольцом. Показана взаимосвязь указанной проблемы со свойством однозначности сложения в кольце эндоморфизмов модуля.

Мы изучаем суммы характеров на множестве сдвинутых степеней по модулю простого числа p. Такие суммы могут рассматриваться как обобщение сумм характеров от сдвинутой подгруппы. Случай, когда подгруппа имеет размер меньше √p, вопрос о нетривиальных по порядку верхних оценок таких сумм остается открытым и на сегодня является нерешенным. Он был предложен Ж. Бургейном и М. Ч. Чанг в обзоре 2010 года. Тем не менее, некоторых промежуточных результатов добился профессор К. Гонг, установивший нетривиальные оценки таких сумм в случае когда подгруппа имеет размер существенно больше √p. В данной работе получены некоторые новые результаты на верхнюю оценку абсолютного значения обобщения таких сумм, которые являются неполными суммами характеров от сдвинутых подгрупп. Дано два доказательства основного утверждения. Первое из них основано на сведении указанной суммы к известной оценке А. Вейля и приеме сглаживания сумм. Применяется также прием оценки неполной суммы через полную. Используется также один результат М. З. Гараева. Второе доказательство основано на оригинальной идее И. М. Виноградова. Этот подход был предложен для уточнения известного неравенства Пойа-Виноградова и использует в своей сути некоторые геометрические и комбинаторные идеи. Второе доказательство приведено не в полной мере. Мы лишь доказываем некоторое ключевое утверждение и за остальными выкладками отсылаем читателя к самой работе И. М. Виноградова.

В статье рассматривается деятельность выдающегося специалиста в области алгоритмических вопросов алгебры и математической логики, профессора, доктора физико-математических наук, заведующего кафедрой компьютерной безопасности и математиче-ских методов обработки информации Ярославского государственного университета имени П. Г. Демидова Валерия Георгиевича Дурнева. Дается краткий обзор его основных научных результатов, приводятся достижения в педагогической, организационной деятельности, излагаются биографические сведения.

Эта статья посвящена 80-летию видного специалиста по универсальной алгебре — Владимиру Константиновичу Карташову.

Дан обзор основных этапов профессионального становления и роста В. К. Карташова.

Проанализированы основные направления его фундаментальных математических и прикладных исследований.

Представлен список основных научных публикаций В. К. Карташова и тематика диссертаций, по которым В. К. Карташов был научным руководителем. 

Эта статья посвящена 70-летию видного специалиста по аналитической теории чисел — Валентину Николаевичу Кузнецову. Дан обзор основных этапов профессионального становления и роста В. Н. Кузнецова. Проанализированы основные направления его фундаментальных математических и прикладных исследований. Представлен список основных научных публикаций В. Н. Кузнецова и тематика диссертаций, по которым В. Н. Кузнецов был научным руководителем.

Рассматривается задача, относящаяся к общей проблеме построения последовательности псевдослучайных чисел. Одним из важных свойств псевдослучайных последовательностей хорошего качества является их непериодичность. Но бесконечная непериодическая последовательность может иметь начальные отрезки, вид которых далёк от желаемого. Например, отрезок десятичного разложения лиувиллева числа

∑︁∞ ????=0 10−????!

имеет лишь небольшое количество единиц, а подавляющее большинство остальных цифр равны нулю.

При рассмотрении конечных отрезков разложений чисел возникает, таким образом, необходимость определения понятий периодичности и достаточной непериодичности конечной последовательности чисел, что и сделано в работе.

Рассматриваются разложения действительных чисел и исследуется вопрос о связи арифметических свойств разлагаемого числа с достаточной непериодичностью отрезков его разложения.

Обсуждаются способы построения чисел, имеющих последовательности достаточно непериодических разложений. Описаны некоторые результаты в этом направлении и их возможное развитие.

Вкратце изложены задачи, связанные с представлениями полиадических чисел. Эти представления удобны тем, что в них не используется операция деления чисел, что значительно упрощает процесс получения искомого разложения. Описаны полученные результаты и сформулированы задачи. 

Данная работа посвящена 90-летию со дня рождения основоположника владимирской школы теории чисел доктора физико-математических наук, профессора Бориса Вениаминовича Левина. В ней приводятся биографические данные и анализ его научных работ.

Данная работа посвящена 90-летию со дня рождения основоположника владимирской школы теории чисел доктора физико-математических наук, профессора Бориса Вениаминовича Левина. В ней приводятся биографические данные и анализ его научных работ.