О ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФОРМ А. ТУЭ — М. Н. ДОБРОВОЛЬСКОГО — В. Д. ПОДСЫПАНИНА
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-2-54-97
Аннотация
В работе строится алгебраическая теория полиномов Туэ. Построение теории опирается на изучение подмодулей Z[t]-модуля Z[t]2. Рассматриваются подмодули, заданные одним определяющим соотношением и одним определяющим соотношением k-ого порядка. Более сложным подмодулем является подмодуль заданный одним полиномиальным соотношением. Подмодули пар Туэ j-ого порядка напрямую связаны с полиномами Туэ j-ого порядка. С помощью алгебраической теории подмодулей пар Туэ j-ого порядка удалось получить новое доказательство теоремы М. Н. Добровольского (старшего) о том, что для каждого порядка j существуют два основных полинома Туэ j-ого порядка, через которые выражаются все остальные. Основные полиномы определяются с точностью до унимодулярной многочленной матрицы над кольцом целочисленных многочленов.
В работе вводятся дробно-линейные преобразования ТДП-форм. Показано, что при переходе от ТДП-формы, связанной с алгебраическим числом α к ТДП-форме, связанной с остаточной дробью к алгебраическому числу α, ТДП-форма преобразуется по закону, аналогичному преобразованию минимальных многочленов, а числители и знаменатели соответствующих пар Туэ преобразуются с помощью дробно-линейного преобразования второго рода.
Об авторах
Н. М. Добровольский
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой
Россия
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой
И. Н. Балаба
Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого
Россия
доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры алгебры, математического анализа и геометрии
Россия
доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры алгебры, математического анализа и геометрии
И. Ю. Реброва
Тульский государственный педагогический университет имени Л. Н. Толстого
Россия
кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики, физики и информатики
Россия
кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики, физики и информатики
Н. Н. Добровольский
Тульский государственный университет
Россия
кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики
Россия
кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики
Е. А. Матвеева
Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого»
Россия
аспирант кафедры алгебры, математического анализа и геометрии
Россия
аспирант кафедры алгебры, математического анализа и геометрии
Список литературы
1. ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Из-во " Наука" 1976.
2. Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М.: ГИ И*Л 1947.
3. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Перевод Б. Б. Демьянова, общая редакция И. М. Виноградова, комментарии Б. Н. Делоне. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. 978 с.
4. Добровольский М. Н. О разложении иррациональностей третьей степени в непрерывные дроби // Чебышевский сб. 2010. Т. XI, вып. 4(36). С. 4–24.
5. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский О формах А. Туэ — М. Н. Добровольского — В. Д. Подсыпанина // Чебышевский сб. 2010. Т. XI, вып. 4(36). С. 70–109.
6. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский О минимальных многочленах остаточных дробей для алгебраических иррациональностей // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 3. С. 147–182.
7. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва, Н. С. Полякова Дробно-линейные преобразования многочленов и линейные преобразования форм // Материалы XIII Международной конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, Дополнительный том. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2015. С. 134–149.
8. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Д. К. Соболев, В. Н. Соболева Классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 2. С. 98–128.
9. Н. М. Добровольский, Д. К. Соболев, В. Н. Соболева О матричном разложении приведенной кубической иррациональности // Чебышевский сб. 2013. Т. 14, вып. 1. С. 34–55.
10. Н. М. Добровольский, Е. И. Юшина О приведенных алгебраических иррациональностях // Алгебра и приложения: труды Международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина, Нальчик, 6–11 сентября 2014 г. – Нальчик: из-во КБГУ. С. 44–46.
11. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Е. И. Юшина О матричной форме теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях // Чебышевский сб. 2012. Т. 13, вып. 3. С. 47–52.
12. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М. Из-во "Наука" 1965.
13. А. И. Кострикин Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. — 2-е изд., исправл. — М.: Физико-математическая литература, 2001. — 272 с. — ISBN 5-9221-0166-8.
14. Лежен Дирихле П. Г. Лекции по теории чисел. — М.–Л.: ОНТИ НКТП СССР 1936.
15. Е. А. Морозова Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: Современные проблемы и приложения: Материалы XIII Междунар. конф., посвященной 85-летию содня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2015. С. 354–356.
16. Е. А. Морозова Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: Современные проблемы и приложения: Материалы XIII Междунар. конф.: [Доп. том]. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2015. С. 161–168.
17. Е. А. Морозова Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей // Математика и информатика: Материалы Международной конференции (Москва. 14–18 марта 2016 г.) / — М.: МПГУ 2016. С. 127–130.
18. Подсыпанин В. Д. О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Материалы межвузовской научной конференции математических кафедр пединститутов Центральной зоны. Тула, 1968, С. 68–70.
19. Подсыпанин В. Д. О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сборник. 2007. Т. VIII, вып. 3(23). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, С. 43–46.
20. Подсыпанин В. Д. О многочленах Туэ и разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сборник. 2010. Т. XI, вып. 4(36). С. 25–69.
21. Подсыпанин Е. В. О разложении иррациональностей высших степеней в обобщенную непрерывную дробь (по материалам В. Д. Подсыпанина) рукопись 1970 // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 47–49.
22. Е. В. Подсыпанин Об одном обобщении алгоритма цепных дробей, связанном с алгоритмом Вигго Бруна // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1977. Т. 67. С. 184–194.
23. А. К. Сушкевич Теория чисел. Элементарный курс. — 2-е изд. — Харьков: Изд-во Харьковского гос. ун-та им. А. М. Горького, 1956. — 204 с.
24. Е. В. Триколич, Е. И. Юшина Цепные дроби для квадратических иррациональностей из поля Q( √ 5) // Чебышевский сб. 2009. Т. 10, вып. 1. С. 77–94.
25. Фельдман Н. И. Приближения алгебраических чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. — 200 с. 26. Хинчин А. Я. Цепные дроби. — 2-е изд. — М.–Л.: ГИТТЛ, 1949. — 116 с.
26. Шмидт В. М. Диофантовы приближения: Пер. с англ. — М.: Мир, 1983. — 232 с.
27. Е. И. Юшина О некоторых приведенных алгебраических иррациональностях // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Региональной научной студенческой конференции. Тула: ТулГУ 2015. С. 66–72.
28. Е. И. Юшина О некоторых обобщенных числах Пизо // Университет XXI века: исследования в рамках научных школ: материалы Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТГПУ им. Л. Н. Толстого 2015. С. 66–72.
29. Nikolai M. Dobrovol’skii, Nikolai N. Dobrovolsky, Irina N. Balaba, Irina Yu. Rebrova, Dmitrii K. Sobolev and Valentina N. Soboleva Generalized Pisot Numbers and Matrix Decomposition // Springer International Publishing Switzerland 2016 V. A. Sadovnichiy and M. Z. Zgurovsky (eds.), Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, DOI 10.1007/978-3-319-40673-2_5
30. Euler L. De fractinibus continuis // Comm. Acad. Sci. Imper. Petropol., 1737, v. 9.
31. Euler L. De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda // Petersburger Akademie Notiz. Exhib. August 14, 1775 // Commentationes arithmeticae collectae. V. II. St. Petersburg, 1849. P. 99-104.
32. Galois E. Th´eor`eme sur les fractions contiues p´eriodiques — Annales de Mathematiques (Gergonne), 1828/29, t. 19, p. 294; Oeuvres mathematiques. — Paris: Gauthier Villars, 1951. [Имеется перевод: Галуа Э. Сочинения. — М.: ОНТИ, 1936.]
33. Lagrange J. L. Complement chez Elements d’algebre etc. par M.L. Euler, t. III, 1774.
34. Liouville J. Sur des classes tr`es-´etendues de quantit´es dont la irrationelles alg´ebriques // C. R. Acad. Sci. Paris 18, 1844, С. 883–885, 910–911.
35. Roth K. F. Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. Vol. 2. P. 1–20. corrigendum: p. 168.
36. Thue A. Uber Ann¨aherungswerte algebraischer Zahlen // J. reine ang. Math. 1910. Vol. 135. ¨ PP. 284–305.
Рецензия
При поддержке: РФФИ
Для цитирования:
Добровольский Н.М., Балаба И.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.Н., Матвеева Е.А. О ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФОРМ А. ТУЭ — М. Н. ДОБРОВОЛЬСКОГО — В. Д. ПОДСЫПАНИНА. Чебышевский сборник. 2017;18(2):54-97. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-2-54-97
For citation:
Dobrovol’skii N.M., Balaba I.N., Rebrova I.Yu., Dobrovol’skii N.N., Matveeva E.A. ON FRACTIONAL LINEAR TRANSFORMATIONS OF FORMS A. TUE — M. N. DOBROVOLSKY — V. D. PODSYPININA. Chebyshevskii Sbornik. 2017;18(2):54-97. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-2-54-97
Просмотров: 524
Послать статью по эл. почте 