СУММЫ ХАРАКТЕРОВ НА СДВИНУТЫХ СТЕПЕНЯХ
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-2-267-274
Аннотация
Мы изучаем суммы характеров на множестве сдвинутых степеней по модулю простого числа p. Такие суммы могут рассматриваться как обобщение сумм характеров от сдвинутой подгруппы. Случай, когда подгруппа имеет размер меньше √p, вопрос о нетривиальных по порядку верхних оценок таких сумм остается открытым и на сегодня является нерешенным. Он был предложен Ж. Бургейном и М. Ч. Чанг в обзоре 2010 года. Тем не менее, некоторых промежуточных результатов добился профессор К. Гонг, установивший нетривиальные оценки таких сумм в случае когда подгруппа имеет размер существенно больше √p. В данной работе получены некоторые новые результаты на верхнюю оценку абсолютного значения обобщения таких сумм, которые являются неполными суммами характеров от сдвинутых подгрупп. Дано два доказательства основного утверждения. Первое из них основано на сведении указанной суммы к известной оценке А. Вейля и приеме сглаживания сумм. Применяется также прием оценки неполной суммы через полную. Используется также один результат М. З. Гараева. Второе доказательство основано на оригинальной идее И. М. Виноградова. Этот подход был предложен для уточнения известного неравенства Пойа-Виноградова и использует в своей сути некоторые геометрические и комбинаторные идеи. Второе доказательство приведено не в полной мере. Мы лишь доказываем некоторое ключевое утверждение и за остальными выкладками отсылаем читателя к самой работе И. М. Виноградова.
Об авторе
Ю. Н. Штейников
Математический институт имени В. А. Стеклова, ФГУ ФНЦ Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук
Россия
Россия
Список литературы
1. Hong Bing Yu, Estimates of character sums with exponential function // Acta Arithmetica. 2001. Vol. 97, №3, P. 211-218.
2. M. Z. Garaev, On the logarithmic factor in error term estimates in certain additive congruence problems // Acta Arith. 2006. Vol 124 , P. 27–39.
3. L. Goldmakher, Multiplicative mimicry and improvements of the P?lya-Vino gradov inequality// Algebra and Number Theory 2012. Vol. 6, No. 1, P. 123–163.
4. C. Dartyge and A. S´ark¨ozy, On additive decompositions of the set of primitive roots modulo p// Monatsh. Math. 2013. Vol 169, P 317–328.
5. K. Gong, C. Jia, M.A. Korolev, Shifted character sums with multiplicative coefficients, II // J. Number Theory, 2017, Vol 178, P.31–39.
6. D.A. Frolenkov A numerically explicit version of the Polya-Vinogradov inequality // Moscow journal of Combinatorics and Number Theory, 2011, Vol 1, № 3, P. 25–41.
7. D. A. Frolenkov, K. Soundararajan A generalization of the Po?lya–Vinogradov inequality // Ramanujan J., 2013 Vol 31, № 3 , P. 271–279.
8. C. Pomerance Remarks on the Polya-Vinogradov inequality// IMRN, 2011, Vol 151, P. 30–41.
9. E. Dobrowolski, K. S. Williams An upper bound for the sum for a certain class of funktions f // Proccedings of the American Mathematical Society, 1992, Vol 114, № 1, P. 29–35.
10. I. M. Vinogradov A new improvement of the method of estimation of double sums (Russian)// Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S), 1950, Vol 73, P. 635–638.
11. A. Granville, K. Soundararajan Large character sums: pretentious characters and the PolyaVinogradov theorem// J. Amer. Math. Soc. (N.S), 2007, Vol.20, P. 357–384.
12. G. Bachman, L. Rachakonda On a problem of Dobrowolski and Williams and the PolyaVinogradov inequality // Ramanujan J., 2001, Vol 5, P. 65–71.
13. I. M. Vinogradov Basics of number theory// Gostechizdat (1952), 1–180.
14. A. A. Karatsuba Basics of analytic number theory. URSS (2004), 1–182.
15. T. Tao , V. Vu Additive combinatorics. Cambridge University Press 2006, P. 1-530.
Рецензия
Для цитирования:
Штейников Ю.Н. СУММЫ ХАРАКТЕРОВ НА СДВИНУТЫХ СТЕПЕНЯХ. Чебышевский сборник. 2017;18(2):267-274. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-2-267-274
For citation:
Shteinikov Yu.N. CHARACTER SUMS OVER SHIFTED POWERS. Chebyshevskii Sbornik. 2017;18(2):267-274. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-2-267-274
Просмотров: 451
Послать статью по эл. почте 