О ГОМОЛОГИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ РАДИКАЛА ДЖЕКОБСОНА ДЛЯ АЛГЕБР ЛИ И ЛОКАЛЬНО НИЛЬПОТЕНТНОГО РАДИКАЛА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБР ЛИ

Аннотация

Один из способов изучения свойств колец, алгебр, алгебр Ли, а также их идеалов предполагает сведение их описания через свойства модулей над этими кольцами, алгебрами, алгебрами Ли. В статье рассматриваются вопросы исследования радикалов алгебр Ли, обсуждаются возможности гомологического описания радикала Джекобсона алгебры Ли и нильпотентного радикала специальной алгебры Ли.

В первом разделе работы вводятся основные понятия исследуемых в дальнейшем радикалов и алгебр Ли.

Второй раздел посвящен радикалу Джекобсона для алгебр Ли. Доказано, что пересечение аннуляторов всех неприводимых модулей над произвольной алгеброй Ли L совпадает с пересечением алгебры Ли L и радикала Джекобсона универсальной обертывающей алгебры.

Приведены примеры алгебр Ли, подтверждающие данный факт, а также позволяющие доказать равенство нильпотентного радикала PI-неприводимо представленному радикалу конечномерной алгебры Ли над полем характеристики нуль. Рассмотрены соотношения локально нильпотентного радикала и естественных, гомологически заданных радикалов: неприводимо представленного, PI-неприводимо представленного и конечно неприводимо представленного.

В третьем разделе работы показано, что для произвольной специальной алгебры Ли L над полем F характеристики нуль имеет место включение локально нильпотентного радикала в PI-неприводимо представленный, причем в общем случае это включение строгое. Сопоставление первичного радикала с PI--неприводимо представленным позволяет сделать вывод, что ни одно из возможных включений не выполняется и PI-неприводимо представленный радикал не является локально разрешимым в общем случае.

Приведен пример специальной алгебры Ли L над полем F, charF ̸= 2, в которой, при условии ненулевого неприводимо представленного радикала, локально нильпотентный радикал равен нулю.