КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСТО-ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
Аннотация
В работе предложена новая классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей на основе их разложения в цепные дроби.
Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей α степени n > 2, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), последовательность остаточных дробей αm является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей.
Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробнолинейных преобразований является дробно-линейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности α в систему сопряжённых к остаточной дроби, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби .
Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами.
В работе доказываются предельные соотношения с коэффициентами минимального многочлена, связанные с эффектом концентрации сопряжённых чисел остаточной дроби.
В заключении поставлена проблема о структуре рационального сопряжённого спектра вещественного алгебраического иррационального числа α и о его предельных точках
Об авторах
Н. М. Добровольский
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой
Россия
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой
Н. Н. Добровольский
Тульский государственный университет
Россия
кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики
Россия
кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики
Д. К. Соболев
Московский педагогический государственный университет
Россия
Россия
аспирант кафедры дискретной математики и информатики
В. Н. Соболева
Московский педагогический государственный университет
Россия
аспирант кафедры теории чисел
Россия
аспирант кафедры теории чисел
Список литературы
1. А. Г. Александров Исследование на ЭВМ непрерывных дробей // Алгоритмические исследования в комбинаторике. М.: Наука. 1978. С. 142–161, 187.
2. В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Матем. тр. 2007. Т. 10, № 1. С. 97–131.
3. А. Д. Брюно Разложение алгебраических чисел в цепные дроби // Жур. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т. 4, № 2. С. 211–221.
4. А. Д. Брюно Универсальное обобщение алгоритма цепной дроби // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 2. С. 35–65.
5. Г. Вейль Алгебраическая теория чисел. М.: Гос. из-во И. Л. 1947. 226 с.
6. Вороной Г. Ф. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. Варшава: Из-во Варш. Ун-та, 1896. Также: Собр. соч. в 3-х томах. Киев: Из-во АН УССР, 1952. Т. 1. С. 197–391.
7. Н. М. Добровольский Гиперболическая дзета-функция решёток // Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090–84.
8. Н. М. Добровольский Квадратурные формулы на классах ???????? ???? (????) и ???????? ???? (????) // Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6091–84.
9. Н. М. Добровольский О современных проблемах теории гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 1. С. 176–190.
10. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский О минимальных многочленах остаточных дробей для алгебраических иррациональностей // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 3. С. 147–182.
11. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва, Н. С. Полякова Дробно-линейные преобразования многочленов и линейные преобразования форм // Материалы XIII Международной конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, Дополнительный том. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2015. С. 134–149.
12. Н. М. Добровольский, Д. К. Соболев, В. Н. Соболева О матричном разложении приведенной кубической иррациональности // Чебышевский сб. 2013. Т. 14, вып. 1. С. 34–55.
13. Н. М. Добровольский, Е. И. Юшина О приведенных алгебраических иррациональностях // Алгебра и приложения: труды Международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина, Нальчик, 6–11 сентября 2014 г. – Нальчик: из-во КБГУ. С. 44–46.
14. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Е. И. Юшина О матричной форме теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях // Чебышевский сб. 2012. Т. 13, вып. 3. С. 47–52.
15. Подсыпанин В. Д. О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Материалы межвузовской научной конференции математических кафедр пединститутов Центральной зоны. Тула, 1968, С. 68–70.
16. В. Д. Подсыпанин О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сб. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 43—46.
17. Е. В. Подсыпанин, Об одном обобщении алгоритма цепных дробей, связанном с алгоритмом Вигго Бруна // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1977. Т. 67. С. 184–194.
18. Е. В. Подсыпанин О разложении иррациональностей высших степеней в обобщенную непрерывную дробь (по материалам В. Д. Подсыпанина) рукопись 1970 // Чебышевский сб. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 47—49.
19. В. В. Прасолов Многочлены. — 3-е изд., исправленное. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с.
20. Е. В. Триколич, Е. И. Юшина Цепные дроби для квадратических иррациональностей из поля Q( √ 5) // Чебышевский сб. 2009. Т. 10, вып. 1. С. 77–94.
21. Фельдман Н. И. Приближения алгебраических чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. — 200 с.
22. К. К. Фролов Оценки погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231, №. 4. С. 818—821.
23. К. К. Фролов Квадратурные формулы на классах функций: дис. . . . к-та физ.-мат. наук. М: ВЦ АН СССР. 1979.
24. Е. И. Юшина О некоторых приведенных алгебраических иррациональностях // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Региональной научной студенческой конференции. Тула: ТулГУ 2015. С. 66–72.
25. Е. И. Юшина О некоторых обобщенных числах Пизо // Университет XXI века: исследования в рамках научных школ: материалы Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТГПУ им. Л. Н. Толстого 2015. С. 66–72.
26. N. M. Dobrovol’skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, N. N. Dobrovol’skii On Lagrange algorithm for reduced algebraic irrationalities // Bul. Acad. ¸Stiin¸te Repub. Mold. Mat., 2016, no. 2. P. 27–39.
27. Nikolai M. Dobrovol’skii, Nikolai N. Dobrovolsky, Irina N. Balaba, Irina Yu. Rebrova, Dmitrii K. Sobolev and Valentina N. Soboleva Generalized Pisot Numbers and Matrix Decomposition // Springer International Publishing Switzerland 2016 V. A. Sadovnichiy and M. Z. Zgurovsky (eds.), Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, DOI 10.1007/978-3-319-40673-2_5
28. K. F. Roth Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. Vol. 2. P. 1–20. corrigendum: p. 168.
Рецензия
Для цитирования:
Добровольский Н.М., Добровольский Н.Н., Соболев Д.К., Соболева В.Н. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСТО-ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ. Чебышевский сборник. 2017;18(2):98-128. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-2-98-128
For citation:
Dobrovol’skii N.M., Dobrovol’skii N.N., Sobolev D.K., Soboleva V.N. CLASSIFICATION PURELY REAL ALGEBRAIC IRRATIONALITIES. Chebyshevskii Sbornik. 2017;18(2):98-128. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-2-98-128
Просмотров: 627
Послать статью по эл. почте 