В данной работе найдено точное значения показателя сходимости среднего значения полных рациональных арифметических сумм для арифметической функции, удовлетворяющей функциональному уравнению гауссова типа. В частности, многочлены Бернулли удовлетворяют этому уравнению. Подобный результат справедлив для полных рациональных тригонометрических сумм (Хуа Ло-кен, 1952). Вывод основного результата работы проводится элементарным методом. Мы обязаны И. М. Виноградову за демонстрацию плодотворных результатов и выгоды этого метода. Полные рациональные арифметические суммы являются аналогами осцилляторных интегралов от периодических функций, например, тригонометрических функций. В 1978 г. были получены подобные результаты для точного значения показателя сходимости тригонометрического интеграла (Г. И. Архипов, А. А. Карацуба, В. Н. Чубариков). Для многомерной проблемы в настоящее время удается получить только верхние и нижние оценки показателя сходимости соответствующих сумм и интегралов.

Статья посвящена научной и педагогической деятельности известного советского математика, одного из основателей Советской историко-математической школы М. Я. Выгодского (1898–1965), многие годы работавшего в тульских вузах.