О ГАМИЛЬТОНОВОМ ЗАМЫКАНИИ НА КЛАССЕ АЛГЕБР С ОДНИМ ОПЕРАТОРОМ

В работе изучаются гамильтоново простые алгебры и решетки гамильтоново замкнутых подалгебр в классе алгебр с одним оператором. Результаты, полученные для алгебр с произвольной основной сигнатурой, используются для описания гамильтоново простых алгебр и решеток гамильтоново замкнутых подалгебр в классе унаров с мальцевской операцией, определенной В. К. Карташовым. Унаром с мальцевской операцией называется алгебра, сигнатура которой состоит из мальцевской операции и унарной операции, действующей как эндоморфизм относительно первой операции. Универсальная алгебра A называется гамильтоновой, если носитель любой ее подалгебры является классом некоторой конгруэнции алгебры A. А. Г. Пинус определил понятие гамильтонова замыкания на произвольной универсальной алгебре. А именно, гамильтоновым замыканием B подалгебры B универсальной алгебры A называется наименьшая подалгебра алгебры A, включающая в себя B и являющаяся классом некоторой конгруэнции алгебры A. Подалгебра B универсальной алгебры A называется гамильтоново замкнутой, если B = B. Cовокупность всех гамильтоново замкнутых подалгебр алгебры A, пополненная пустым множеством, образует решетку относительно включения. Универсальная алгебра A называется гамильтоново простой, если гамильтоново замыкание любой ее неодноэлементной непустой подалгебры совпадает с A. Получены необходимые условия гамильтоновой простоты для произвольных алгебр с оператором, все основные операции которых имеют положительную арность и являются идемпотентными. Для таких алгебр построены семейства подалгебр, образующих цепи в их решетках гамильтоново замкнутых подалгебр. В случае, когда унарный редукт алгебры связен, необходимые условия гамильтоновой простоты получены для алгебр с оператором, имеющих произвольную основную сигнатуру. Показано также, что эти условия не являются достаточными. Для произвольной алгебры с оператором, все основные операции которой идемпотентны, получены необходимые условия того, что ее решетка гамильтоново замкнутых подалгебр является цепью. Найдены необходимые и достаточные условия гамильтоновой простоты для унаров с мальцевской операцией, определенной В. К. Карташовым. Получено описание строения решеток гамильтоново замкнутых подалгебр для алгебр данного класса. Для таких решеток найдены необходимые и достаточные условия их дистрибутивности и модулярности, а также условия, при которых решетка является цепью. Описано строение атомов и коатомов этих решеток.

1. Пинус А. Г. Гамильтоново замыкание на универсальных алгебрах // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, N. 3 (325). С. 610–616.

2. Cs´ak´any B. Abelian properties of primitive classes of universal algebras // Acta. Sci. Math. 1964. V. 25. P. 202–208.

3. Shoda K. Zur theorie der algebraischen erweiterungen // Osaka Math. Journal. 1952. V. 4. P. 133–143.

4. Kiss E.W., Valeriot M. Abelian algebras and the Hamiltonian property //J. Pure Appl. Algebra. 1993. V. 87. N 1. P. 37–49.

5. Klukovits L. Hamiltonian varieties of universal algebras // Acta. Sci. Math.1975. V. 37. P. 11–15.

6. Kiss E.W. Each Hamiltonian variety has the congruence extension property // Algebra Universalis. 1981. V. 12. N 2. P. 395–398.

7. Степанова А. А., Трикашная Н. В. Абелевы и гамильтоновы группоиды // Фундам. и приклад. математика. 2009. Т. 15, вып. 7. C. 165–177.

8. Chajda I., Eigenthaler G., Langer H. Congruence classes in universal algebra. Vienna: Heldermann-Verl., 2003. 192 p.

9. L os´ J. Normal subalgebras in universal algebras // Colloquium Mathematicum. 1964. V. 12. Iss. 2. P. 151–153.

10. Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. М.: Наука, 1974. 160 с.

11. Kilp M., Knauer U., Mikhalev A. V. Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs. Berlin: Walter de Gruyter, 2000.

12. p.

13. Skornyakov L. A. Unars // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1982. V.29. Universal Algebra (Esztergom 1977). P. 735–743.

14. Wenzel G. H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras ⟨A; f⟩ // Arch. Math. (Basel) 21. 1970. P. 256–264.

15. Усольцев В. Л. О строго простых тернарных алгебрах с операторами // Чебышевский сб. 2013. Т. 14, вып. 4(48). С. 196–204.

16. Mudrinski N. Uniform Mal’cev algebras with small congruence lattices // Algebra Universalis. 2014. V. 72. P. 57–69.

17. Булатов А. А. Полиномиальность мальцевских задач CSP // Алгебра и логика. 2006. Т.45, № 6. С. 655-686.

18. Pixley A. F. Distributivity and permutability of congruence relations in equational classes of algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. V.14. N 1. P.105–109.

19. Карташов В. К. Об унарах с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: тез. докл. межд. семинара, посв. памяти проф. Л. А. Скорнякова. Волгоград, 1999. С. 31–32.

20. Усольцев В. Л. О гамильтоновых тернарных алгебрах с операторами // Чебышевский сб. 2014. Т. 15, вып. 3(51). С. 100–113.

21. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. 456 с.

22. Усольцев В. Л. Простые и псевдопростые алгебры с операторами // Фундам. и приклад. математика. 2008. Т. 14, вып. 7. С. 189–207.

23. Усольцев В. Л. О полиномиально полных и абелевых унарах с мальцевской операцией // Уч. зап. Орловского гос. ун-та. 2012. Т. 6(50), ч. 2. С. 229–236.