АБСОЛЮТНЫЕ ИДЕАЛЫ ПОЧТИ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Кольцом на абелевой группе G называется кольцо, у которого аддитивная группа совпадает с G. Подгруппа группы G называется абсолютным идеалом, если она является идеалом любого кольца на группе G. Если любой идеал кольца является абсолютным идеалом его аддитивной группы, то такое кольцо называется AI-кольцом. Если на группе имеется хотя бы одно AI-кольцо, то такая группа называется RAI-группой. В данной статье мы рассматриваем кольца на почти вполне разложимых абелевых группах (ПВР-группах). Абелева группа без кручения называется ПВР-группой, если она со- держит вполне разложимую подгруппу конечного ранга и конечного индекса. Всякая ПВР-группа G содержит регулятор A, который является вполне разложимой и вполне характеристической подгруппой. Конечная факторгруппа G/A называется регуляторным фактором группы G, поря- док группы G/A называется регуляторным индексом. Если регуляторный фактор ПВР-группы является циклическим, то группа называется ЦРФ- группой. Если типы прямых слагаемых ранга 1 регулятора A попарно не сравнимы, то группы A и G называются жесткими. Если эти типы идемпотентны, то группа G называется группой кольцевого типа. Главный результат данной статьи заключается в том, что любая жест- кая ЦРФ-группа кольцевого типа является RAI-группой. Кроме того, в работе полностью описаны главные абсолютные идеалы таких групп. Пусть G — жесткая ПВР-группа кольцевого типа с регулятором A, циклическим регуляторным фактором G/A = ⟨d+A⟩ и регуляторным ин- дексом n. Разложение A = ⊕ τ∈T(G) Aτ регулятора A в прямую сумму групп Aτ ранга 1 и типа τ определяет множество T(G) = T(A) критических типов групп G и A. Из теории ПВР-групп известно, что при подходя- щем выборе элементов eτ ∈ Aτ (τ ∈ T(G)) группу A можно представить в виде A = ⊕ τ∈T(G) Rτ eτ , где Rτ (τ ∈ T(G)) — подкольца с единицей по- ля рациональных чисел. При этом определены натуральные инварианты mτ (τ ∈ T(G)) почти изоморфизма группы G такие, что в делимой оболоч- ке группы G любой элемент g ∈ G можно записать в виде g = ∑ τ∈T(G) rτ mτ eτ , где rτ — элементы колец Rτ (τ ∈ T(G)), однозначно определенные при фиксированном разложении регулятора A. Для описания RAI-групп в некотором классе абелевых групп необхо- димо знать строение главных абсолютных идеалов групп из этого кольца. Главным абсолютным идеалом, порожденным элементом g ∈ G, называют наименьший абсолютный идеал ⟨g⟩AI , содержащий g. Теорема 1. Пусть G — жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа с фик- сированным разложением регулятора, g = ∑ τ∈T(G) rτ mτ eτ ∈ G. Тогда ⟨g⟩AI = ⟨g⟩ + ⊕ τ∈T(G) rτAτ . Заметим, что элементы rτ (τ ∈ T(G)) в представлении элемента g ∈ G определены однозначно с точностью до множителя, обратимого в Rτ . По- этому вид главного идеала ⟨g⟩AI не зависит от разложения регулятора. Теорема 2. Любая жесткая ЦРФ-группа G кольцевого типа являет- ся RAI-группой. При этом для любого α, взаимно простого с n, суще- ствует AI-кольцо (G, ×) такое, что в факторкольце (G/A, ×) выполняется d × d = αd, где d = d + A, G/A = ⟨d⟩.

1. Fried E., On the subgroups of abelian groups that ideals in every ring // Proc.Colloq. Abelian Groups. Budapest, 1964. P. 51–55.

2. Fuchs L. Infinite abelian groups. V. 2. New York-London: Academic Press, 1973. 416 pp.

3. Beaumont R. A., Pierce R. S. Torsion free rings // Ill. J. Math. 1961. V. 5. P. 61–98.

4. Beamount R. A., Lawver D. A. Strongly semisimple abelian groups // Publ. J. Math. 1974. V. 53, №2. P. 327–336.

5. Gardner B.J. Rings on completely decomposable torson-free abelian groups // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1974. V. 15, №3. P. 381–382.

6. Kompantseva E. I. Torsion free rings // J. of Mathematical Sciences. 2010. V. 171, №2. P. 213–247.

7. Kompantseva E. I. Absolute Nil-Ideals of Abelian Groups // J. of Mathematical Sciences. 2014. V. 197, №5. P. 625–634.

8. Pham T. T. T. Absolute ideals of abelian groups // Abstraction of Southern Regional Algebra Conference. Montgomery, Alabama. 2010. P. 10.

9. Чехлов А. Р. Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами // Вестн. Томск. гос. ун-та. 2009. №3. С. 64–67.

10. McLean K. R. The additive adeals of a p-ring // J. London Math. Soc. 1975. V.2. P. 523–529.

11. McLean K. R. p-ring whose all right ideals are the fully invariant subgroups // Proc. London Math. Soc. 1975. V. 3. P. 445–458.

12. Mader A. Almost completely decomposable abelian groups. Amsterdam: Gordon and Breach, 1999 (Algebra, Logic and Applications, V. 13).

13. Благовещенская Е. А. Почти вполне разложимые абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. СПб: Политехнический университет, 2009.

14. Fomin A. A. Quotient divisible and almost completely decomposable groups // Models, Modules and Abelian Groups in Memory of A.L.S. Corner, de Gruyer. 2008. Berlin — New York. P. 147–168.

15. Kompantseva E. I. Rings on almost completely decomposable Abelian groups // J. of Mathematical Sciences. 2009. V. 163, №6. P. 688–693.

16. Компанцева Е. И. Умножения на абелевых группах без кручения конечного ранга // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: материалы XIII Международной конф., посвященной 85-летию со дня рождения профессора С. С. Рышкова. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2015. С.79–81.

17. Blagoveshchenskaya E. A. Almost completely decomposable groups and rings // Journal of Math. Sci., 2008, V. 152, №2, P. 137–154.

18. Blagoveshchenskaya, E. A. Classification and realization theorems for one class of finite rank torsion-free rings, Russian Mathematical Surveys, 2006, V. 61,