Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

АБСОЛЮТНЫЕ ИДЕАЛЫ ПОЧТИ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-4-200-211

Полный текст:

Аннотация

Кольцом на абелевой группе G называется кольцо, у которого аддитивная группа совпадает с G. Подгруппа группы G называется абсолютным идеалом, если она является идеалом любого кольца на группе G. Если любой идеал кольца является абсолютным идеалом его аддитивной группы, то такое кольцо называется AI-кольцом. Если на группе имеется хотя бы одно AI-кольцо, то такая группа называется RAI-группой. В данной статье мы рассматриваем кольца на почти вполне разложимых абелевых группах (ПВР-группах). Абелева группа без кручения называется ПВР-группой, если она со- держит вполне разложимую подгруппу конечного ранга и конечного индекса. Всякая ПВР-группа G содержит регулятор A, который является вполне разложимой и вполне характеристической подгруппой. Конечная факторгруппа G/A называется регуляторным фактором группы G, поря- док группы G/A называется регуляторным индексом. Если регуляторный фактор ПВР-группы является циклическим, то группа называется ЦРФ- группой. Если типы прямых слагаемых ранга 1 регулятора A попарно не сравнимы, то группы A и G называются жесткими. Если эти типы идемпотентны, то группа G называется группой кольцевого типа. Главный результат данной статьи заключается в том, что любая жест- кая ЦРФ-группа кольцевого типа является RAI-группой. Кроме того, в работе полностью описаны главные абсолютные идеалы таких групп. Пусть G — жесткая ПВР-группа кольцевого типа с регулятором A, циклическим регуляторным фактором G/A = ⟨d+A⟩ и регуляторным ин- дексом n. Разложение A = ⊕ τ∈T(G) Aτ регулятора A в прямую сумму групп Aτ ранга 1 и типа τ определяет множество T(G) = T(A) критических типов групп G и A. Из теории ПВР-групп известно, что при подходя- щем выборе элементов eτ ∈ Aτ (τ ∈ T(G)) группу A можно представить в виде A = ⊕ τ∈T(G) Rτ eτ , где Rτ (τ ∈ T(G)) — подкольца с единицей по- ля рациональных чисел. При этом определены натуральные инварианты mτ (τ ∈ T(G)) почти изоморфизма группы G такие, что в делимой оболоч- ке группы G любой элемент g ∈ G можно записать в виде g = ∑ τ∈T(G) rτ mτ eτ , где rτ — элементы колец Rτ (τ ∈ T(G)), однозначно определенные при фиксированном разложении регулятора A. Для описания RAI-групп в некотором классе абелевых групп необхо- димо знать строение главных абсолютных идеалов групп из этого кольца. Главным абсолютным идеалом, порожденным элементом g ∈ G, называют наименьший абсолютный идеал ⟨g⟩AI , содержащий g. Теорема 1. Пусть G — жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа с фик- сированным разложением регулятора, g = ∑ τ∈T(G) rτ mτ eτ ∈ G. Тогда ⟨g⟩AI = ⟨g⟩ + ⊕ τ∈T(G) rτAτ . Заметим, что элементы rτ (τ ∈ T(G)) в представлении элемента g ∈ G определены однозначно с точностью до множителя, обратимого в Rτ . По- этому вид главного идеала ⟨g⟩AI не зависит от разложения регулятора. Теорема 2. Любая жесткая ЦРФ-группа G кольцевого типа являет- ся RAI-группой. При этом для любого α, взаимно простого с n, суще- ствует AI-кольцо (G, ×) такое, что в факторкольце (G/A, ×) выполняется d × d = αd, где d = d + A, G/A = ⟨d⟩.

 

Об авторах

Е. И. Компанцева
Московский педагогический государственный университет. Финансовый университет при Правительстве РФ.
Россия


А. А. Фомин
Московский педагогический государственный университет. Финансовый университет при Правительстве РФ.
Россия


Список литературы

1. Fried E., On the subgroups of abelian groups that ideals in every ring // Proc.Colloq. Abelian Groups. Budapest, 1964. P. 51–55.

2. Fuchs L. Infinite abelian groups. V. 2. New York-London: Academic Press, 1973. 416 pp.

3. Beaumont R. A., Pierce R. S. Torsion free rings // Ill. J. Math. 1961. V. 5. P. 61–98.

4. Beamount R. A., Lawver D. A. Strongly semisimple abelian groups // Publ. J. Math. 1974. V. 53, №2. P. 327–336.

5. Gardner B.J. Rings on completely decomposable torson-free abelian groups // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1974. V. 15, №3. P. 381–382.

6. Kompantseva E. I. Torsion free rings // J. of Mathematical Sciences. 2010. V. 171, №2. P. 213–247.

7. Kompantseva E. I. Absolute Nil-Ideals of Abelian Groups // J. of Mathematical Sciences. 2014. V. 197, №5. P. 625–634.

8. Pham T. T. T. Absolute ideals of abelian groups // Abstraction of Southern Regional Algebra Conference. Montgomery, Alabama. 2010. P. 10.

9. Чехлов А. Р. Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами // Вестн. Томск. гос. ун-та. 2009. №3. С. 64–67.

10. McLean K. R. The additive adeals of a p-ring // J. London Math. Soc. 1975. V.2. P. 523–529.

11. McLean K. R. p-ring whose all right ideals are the fully invariant subgroups // Proc. London Math. Soc. 1975. V. 3. P. 445–458.

12. Mader A. Almost completely decomposable abelian groups. Amsterdam: Gordon and Breach, 1999 (Algebra, Logic and Applications, V. 13).

13. Благовещенская Е. А. Почти вполне разложимые абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. СПб: Политехнический университет, 2009.

14. Fomin A. A. Quotient divisible and almost completely decomposable groups // Models, Modules and Abelian Groups in Memory of A.L.S. Corner, de Gruyer. 2008. Berlin — New York. P. 147–168.

15. Kompantseva E. I. Rings on almost completely decomposable Abelian groups // J. of Mathematical Sciences. 2009. V. 163, №6. P. 688–693.

16. Компанцева Е. И. Умножения на абелевых группах без кручения конечного ранга // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: материалы XIII Международной конф., посвященной 85-летию со дня рождения профессора С. С. Рышкова. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2015. С.79–81.

17. Blagoveshchenskaya E. A. Almost completely decomposable groups and rings // Journal of Math. Sci., 2008, V. 152, №2, P. 137–154.

18. Blagoveshchenskaya, E. A. Classification and realization theorems for one class of finite rank torsion-free rings, Russian Mathematical Surveys, 2006, V. 61,


Для цитирования:


Компанцева Е.И., Фомин А.А. АБСОЛЮТНЫЕ ИДЕАЛЫ ПОЧТИ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП. Чебышевский сборник. 2015;16(4):200-211. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-4-200-211

For citation:


Kompantseva E.I., Fomin A.A. ABSOLUTE IDEALS OF ALMOST COMPLETELY DECOMPOSABLE ABELIAN GROUPS. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(4):200-211. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-4-200-211

Просмотров: 129


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)