ПОКАЗАТЕЛЬ СХОДИМОСТИ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ПОЛНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СУММ

В данной работе найдено точное значения показателя сходимости среднего значения полных рациональных арифметических сумм для арифметической функции, удовлетворяющей функциональному уравнению гауссова типа. В частности, многочлены Бернулли удовлетворяют этому уравнению. Подобный результат справедлив для полных рациональных тригонометрических сумм (Хуа Ло-кен, 1952). Вывод основного результата работы проводится элементарным методом. Мы обязаны И. М. Виноградову за демонстрацию плодотворных результатов и выгоды этого метода. Полные рациональные арифметические суммы являются аналогами осцилляторных интегралов от периодических функций, например, тригонометрических функций. В 1978 г. были получены подобные результаты для точного значения показателя сходимости тригонометрического интеграла (Г. И. Архипов, А. А. Карацуба, В. Н. Чубариков). Для многомерной проблемы в настоящее время удается получить только верхние и нижние оценки показателя сходимости соответствующих сумм и интегралов.

1. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, 2-е изд., М.: Наука, 1980, 144 с.

2. Hua L.-K. An improvement of Vinogradov’s mean-value theorem and several applications// Quart. J. Math. 1949. V.20. P. 48–61.

3. Архипов Г. И. Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы// Мат. заметки. 1975. Т.17. С. 84–90.

4. Архипов Г. И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орловского гос. ун-та, 2013. 464 с.

5. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы//Изв. АН СССР, Сер. мат. 1976, Т.17, №1. С.209–220.

6. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987. 368 с.

7. Arkhipov G.I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39. Berlin, New York, 2004. 554 c.

8. Franel J. Les suites de Farey et le probleme des nombres premiers// G¨ottinger Nachrichten. 1924, S. 198–201.

9. Landau E. Vorlesungen uber ¨ Zahlentheorie. Leipzig, 1927 V.2. 240 c.

10. Романов Н. П. Теория чисел и функциональный анализ: сборник трудов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2013. 478 с.

11. Greaves G. R. H., Hall R. R., Huxley M. N., Wilson J. C. Multiple Franel Integrals// Mathematika, 1993. V.40. P.51–70.

12. Чубариков В. Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле// До- кл. АН СССР. 1976. Т.227, № 6. С. 1308–1310.

13. Чубариков В. Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах// Мат. заметки. 1978. Т.20, № 1. С. 61–68.

14. Чубариков В. Н. О показателе сходимости особого интеграла одной многомерной аддитивной проблемы// Докл. АН СССР. 2015. Т.463, № 5. С. 530.

15. Чубариков В. Н. Арифметические суммы и гауссова теорема умножения// Чебышевский сборник. 2015. Т.16, вып. 2(54). С. 231–253.

16. Чубариков В. Н. Элементарный вывод оценки полной рациональной арифметической суммы от многочлена// Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 3(55). С. 452–461.

17. Чубариков В. Н. Полные рациональные арифметические суммы// Вестник Моск. ун-та. Сер. мат., мех. 2016. Вып. 1. С. 60–61.

18. Чубариков В. Н. Арифметические суммы от значений многочленов// Докл. РАН. 2016. Вып. 466, № 2. С. 1–2.

19. Шихсадилов М. Ш. Об одном классе осцилирующих интегралов, Вестник Моск. ун-та. Сер. мат., мех. 2015. Вып. 5. С. 61–63.