ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ В ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПОЛЯХ РОДА 2 И ПРОБЛЕМА КРУЧЕНИЯ В ЯКОБИАНАХ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ

В 2010 г. В. П. Платоновым был предложен принципиально новый подход к проблеме кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел. Этот новый подход базируется на вычислении фундаментальных единиц в гиперэллиптических полях. С по- мощью указанного подхода было доказано существование точек кручения новых порядков. Полное изложение нового метода и полученных на его основе результатов содержится в [2]. В. П. Платонов высказал гипотезу, что если рассмотреть S, состоящее из конечного и бесконечного нормирования, и изменить соответствующим образом определение степени S-единицы, то порядки Q-точек кручения, как правило, будут определяться степенями фундаментальных S-единиц. Основным результатом настоящего сообщения является построение фундаментальных S-единиц больших степеней методами, основанными на подходе В. П. Платонова. Вычисление базируется на методах непрерывных дробей и матричной линеаризации. В настоящей статье получили развитие эффективные алгоритмы вы- числения S-единиц методом непрерывных дробей. Улучшенные алгоритмы позволили построить упомянутые выше фундаментальные S-единицы больших степеней. В качестве следствия получено альтернативное доказательство существования Q-точек кручения некоторых больших порядков в соответствующих якобианах гиперэллиптических кривых. 

1. Платонов В. П. Арифметика квадратичных полей и кручение в якобианах // Доклады РАН. 2010. Т. 430, №3. С. 318–320.

2. Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69, вып.1 (415). С. 3–38.

3. Платонов В. П., Петрунин М.М. Новые порядки точек кручения в якобианах кривых рода 2 над полем рациональных чисел // Доклады РАН. 2012. Т. 443, №6. С. 664–667.

4. Платонов В. П., Петрунин М. М. О проблеме кручения в якобианах кривых рода 2 над полем рациональных чисел // Доклады РАН. 2012. Т. 446. №3. С. 263-264.

5. Платонов В. П., Петрунин М. М. Фундаментальные S-единицы в гиперэллиптических полях и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых // Доклады РАН. 2015. Т. 465, №1. С. 23–25.

6. Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Математический сборник. 2009. Т. 200, №11. С. 15–44.

7. Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: Мир, 1970.

8. Flynn E. V. Large rational torsion on abelian varieties // J. Number Theory. 1990. P. 257–265.

9. Leprevost F. Famille de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels dordre 13 // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1991. Vol. 313, №7. P. 451–454.

10. Leprevost F. Familles de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels d’ordre // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1991. Vol. 313, №11. P. 771–774.

11. Leprevost F. Points rationnels de torsion de jacobiennes de certaines courbes de genre 2 // C.R. Acad. Sci. Paris. 1993. Vol. 316, №8. P. 819–821.

12. Ogawa H. Curves of genus 2 with a rational torsion divisor of order 23 // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 1994. Vol. 70, №9. P. 295–298.

13. Leprevost F. Jacobiennes de certaines courbes de genre 2: torsion et simplicite // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux. 1995. Vol. 7, №1. P. 283–306.

14. W. S. Cassels E. V. F. Prolegomena to a middlebrow arithmetic of curves of genus 2. Cambridge Univ. Press, 1996.

15. E. W. Howe F. L., Poonen B. Large torsion subgroups of split Jacobians of curves of genus two or three // Forum Mathematicum. 2000. Vol. 12. P. 315–364.

16. Nicolas B., Leprevost F., Pohst M. Jacobians of genus-2 curves with a rational point of order 11 // Experiment. Math. 2009. Vol. 18, №1. P. 65–70.

17. Elkies N. D. Curves of genus 2 over Q whose Jacobians are absolutely simple abelian surfaces with torsion points of high order // preprint, Harvard University. 2010.

18. Howe E. W. Genus-2 Jacobians with torsion points of large order // Bulletin of the London Mathematical Society. 2015. Vol. 47, №1. P. 127–135.

19. Hart W., Van Hoeij M., Novocin A. Practical polynomial factoring in polynomial time //Proceedings of the 36th international symposium on Symbolic and algebraic computation. – ACM, 2011. P. 163-170.