О КОАТОМАХ И ДОПОЛНЕНИЯХ В РЕШЕТКАХ КОНГРУЭНЦИЙ УНАРОВ С МАЛЬЦЕВСКОЙ ОПЕРАЦИЕЙ

Одной из важных задач универсальной алгебры является изучение ре- шеток, естественным образом связанных с алгебрами. В работе рассматриваются алгебры ⟨A, p, f⟩, сигнатура которых состоит из тернарной мальцевской операции p и унарной операции f, являющейся эндоморфизмом относительно первой операции. Изучаются свойства решеток конгруэнций алгебр ⟨A, p, f⟩ с мальцевской операцией p, определенной В.К. Карташовым. Эта алгебра определятся следующим образом. Пусть ⟨A, f⟩ — произвольный унар и x, y ∈ A. Для любого элемента x унара ⟨A, f⟩ через f n (x) обозначается результат n-кратного применения операции f к элементу x; при этом f 0 (x) = x. Положим Mx,y = {n ∈ N ∪ {0} | f n (x) = f n (y)}, и k(x, y) = min Mx,y, если Mx,y ̸= ∅ и k(x, y) = ∞, если Mx,y = ∅. Положим далее p(x, y, z) def = { z, если k(x, y) 6 k(y, z) x, если k(x, y) > k(y, z). В работе описано строение коатомов в решетках конгруэнций алгебр ⟨A, p, f⟩ этого класса. Доказано, что решетка конгруэнций алгебры ⟨A, p, f⟩ не имеет коатомов тогда и только тогда, когда унар ⟨A, f⟩ связен, содержит одноэлементный подунар и имеет бесконечную глубину. Уста- новлено, что в других случаях решетка конгруэнций алгебры ⟨A, p, f⟩ имеет единственный коатом. Показано, что для любых неединичных конгруэнций θ и φ алгебры ⟨A, p, f⟩ выполняется неравенство θ ∨ φ < ▽, где ▽ — наибольшая кон- груэнция алгебры. Получены необходимые и достаточные условия, при которых решетка конгруэнций алгебр данного класса является решеткой с дополнениями, с единственными дополнениями, с относительными дополнениями, буле- выми, обобщенными булевыми либо геометрическими. Установлено, что любая нетривиальная конгруэнция алгебры ⟨A, p, f⟩ из рассматриваемого класса не имеет дополнения. Доказано, что решетка конгруэнций любой алгебры ⟨A, p, f⟩ данного класса является решеткой с копсевдодополнениями.

решетка конгруэнций, решетка с дополнениями, решетка с копсевдодополнениями, коатом, алгебра с операторами, унар с мальцевской операцией

1. Карташов В. К. Об унарах с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: тез. сообщ. участ. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. Моск. гос. ун-та Л.А. Скорнякова. Волгоград: Перемена, 1999. С. 31–32.

2. Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. М.: Наука, 1974. 160 с.

3. Johnsson B. A survey of Boolean algebras with operators // Algebras and Orders, NATO ASI Series. 1993. Vol. 389. P. 239–286

4. Hyndman J., Nation J. B., Nishida J. Congruence lattices of semilattices with operators, 2015, preprint. Источник: www.math.hawaii.edu/∼jb/conslo_ submit.pdf (дата обращения июнь 2015).

5. Bonsangue M. M., Kurz A., Rewitzky I. M. Coalgebraic representations of distributive lattices with operators //Topology and its Applications. 2007. Vol. 154. No. 4. Pp. 778-791.

6. Adaricheva K. V., Nation J.B. Lattices of quasi-equational theories as congruence lattices of semilattices with operators: part I, part II // International Journal of Algebra and Computation. 2012. Vol. 22. Issue 07, part I: 27 p., part II: 16 p.

7. Nurakunov A. M. Equational theories as congruences of enriched monoids // Algebra Universalis. 2008. Vol. 58. No. 3. Pp. 357-372.

8. Berman J. On the congruence lattices of unary algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 36. No. 1. Pp. 34–38.

9. Егорова Д. П., Скорняков Л. А. О структуре конгруэнций унарной алгебры // Упорядоченные множества и решетки: межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1977. Вып. 4. С. 28–40.

10. Бощенко А. П. Псевдодополнения в решетке конгруэнций унаров // Алгебраические системы: межвуз. сб. научн. работ. Волгоград: ВГПИ, 1989. С. 23– 26.

11. Бощенко А. П. О копсевдодополнениях в решетках конгруэнций унаров // Универсальная алгебра и ее приложения: тр. участ. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. Моск. гос. ун-та Л.А. Скорнякова. Волгоград, 6–11 сент. 1999 г. Волгоград: Перемена, 1999. С. 39–44.

12. Pixley A. F. Distributivity and permutability of congruence relations in equational classes of algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 14. No. 1. Pp. 105–109.

13. Усольцев В. Л. Простые и псевдопростые алгебры с операторами // Фундам. и приклад. математика. 2008. Т. 14, вып. 7. С. 189–207.

14. Усольцев В. Л. О подпрямо неразложимых унарах с мальцевской опера- цией // Известия Волг. гос. пед. ун-та, сер. "Естественные и физико- математические науки". 2005. N 4(13). С. 17–24.

15. Усольцев В. Л. Строение атомов в решетках конгруэнций алгебр одного класса унаров с мальцевской операцией // Современные проблемы гуманит. и ест. наук: материалы XVIII Межд. науч.-практ. конф. М.: Спецкнига, 2014. С. 39–44.

16. Усольцев В. Л. О строго простых тернарных алгебрах с операторами // Чебышевский сб. 2013. Т. 14. Вып. 4(48). С. 196–204.

17. Лата А. Н. Конгруэнц-однородные унары со стандартной мальцевской операцией // Вестник СНО. Вып. 28. Волгоград: Перемена, 2012. С. 227–231.

18. Лата А. Н. Конгруэнц-регулярные унары со стандартной мальцевской операцией // Вестник СНО. Вып. 29. Волгоград: Перемена, 2013. С. 317–321.

19. Лата А. Н. Слабо регулярные унары со стандартной мальцевской операцией // Чебышевский сб. 2013. Т. 14, вып. 4(48). С. 146–153.

20. Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями. М: Наука, 1984. 128 с.

21. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. 456 с.

22. Артамонов В. А. [и др.] Общая алгебра. Т.2. / под общей ред. Л. А. Скорнякова. М.: Наука, 1991. 480 с.

23. Смирнов Д. М. Многообразия алгебр. Новосибирск: ВО "Наука". Сибирская изд. фирма, 1992. 205 с.

24. Wenzel G. H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras ⟨A; f⟩ // Arch. Math. (Basel). 1970. Vol. 21. Pp. 256–264.