Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-4-77-89

Полный текст:

Аннотация

Целью статьи является обзор некоторых важных результатов в теории квадратичных форм и алгебраических групп, которые оказали и оказывают влияние на развитие теории чисел. Статья ориентирована на избран- ные задачи и не является исчерпывающей. Представлены математические структуры, методы и результаты, в том числе и новые, связанные в той или иной степени с исследованиями В. П. Платонова. Содержание статьи следующее. Во введении обращено внимание на классические исследования Коркина, Золотарева и Вороного по теории экстремальных форм и напоминаются соответствующие определения. В разделе "Квадратичные формы и решетки" представлены необходимые определения, результаты о решетках и квадратичных формах над полем вещественных чисел и над кольцом целых рациональных чисел. Раздел 3 "Алгебраические группы" содержит представление классов решеток в ве- щественных пространствах как факторов алгебраических групп, а также вариант критерия Малера компактности таких факторов. Приведен результат о компактности факторов ортогональных групп квадратичных форм, не представляющих рационально нуля, а также определения и понятия, связанные с кватернионными алгебрами над рациональными числами. Приведенные результаты явно или неявно используются в работах В. П. Платонова, а также в разделах 4 и 5. Раздел 4 "Точки Хигнера и их обобщения" содержит краткий обзор новых исследований в направлении нахождения точек Хигнера и их обобщений. В разделе 5 кратко представлены некоторые новые исследования и результаты по принципу Хассе для алгебраических групп. Для чтения статьи может быть полезным знакомство со статьей автора, опубликованной в 3-м выпуске "Чебышевского сборника" за 2015 год. Я глубоко признателен Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

 

Об авторе

Н. М. Глазунов
National Aviation University
Украина


Список литературы

1. Korkin A., Zolotarev G. Sur les formes quadratiques positives quaternaires // Math. Ann. 1872. Vol. 5. P. 581–583.

2. Korkin A., Zolotarev G. Sur les formes quadratiques // Math. Ann. 1873. vol. 6. P. 366–389.

3. Korkin A., Zolotarev G. Sur les formes quadratiques positives // Math. Ann. 1877. Vol. 11. P. 242–292.

4. Voronoi G. Sur quelques proprietes des formes quadratiques positives parfaites // J. Reine Angew. Math. 1907. Vol. 133. P. 97–178.

5. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. МИАН СССР. 1962. Т. 65. С. 3–212.

6. Рышков С. С., Барановский Е. П. Классические методы теории решетчатых упаковок // УМН. 1979. Т. 34, вып. 4. 208. С. 3–63.

7. Касселс Дж. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. 422 с.

8. Blichfeldt H. F. The minimum values of quadratic forms, and the closest packing of spheres // Math. Ann. Vol. 39.1935. P. 1–15.

9. Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982. 436 с.

10. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 1. Т. 2. М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1988. 352 с. 304 с.

11. Платонов В. П. Арифметические свойства функциональных квадратичных полей и кручение в якобианах // Чебышевский сборник. 2010. Т.11, вып. 1. С. 234–238.

12. Платонов В. П. Арифметическая теория линейных алгебраических групп и теория чисел // Труды МИАН. 1973. Т. 132. С.162–168.

13. Платонов В. П. Проблема Таннака–Артина и приведенная K-теория // Изв. АН СССР, сер. мат. 1976. Т. 40, №2. С. 227–261.

14. Платонов В. П. 1976, Замечания к моей работе “Проблема Таннака–Артина и приведенная K-теория"// Изв. АН СССР, сер. мат. 1976. Т. 40, №5. С. 1198.

15. Боревич З. И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985. 510 с.

16. Манин Ю. И. Кубические формы. М.: Наука, 1972. 304 с.

17. Hasse principle. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org

18. Birch B. Heegner points: the beginnings // MSRI Publications. 2004. Vol. 40. P. 1–10.

19. Darmon H. Integration on Hp×H and arithmetic applications // Ann. of Math. 2001. 154. No. 3. 589 – 639.

20. Guitart X., Masdeu M. Overconvergent cohomology and quaternionic Darmon points // J. Lond. Math. Soc. II. 2014. Ser. 90. No. 2. P.393–403.

21. Greenberg M. Stark-Heegner points and the cohomology of quaternionic Shimura varieties // Duke Math. J. 2009. 147. No. 3. P. 541–575.

22. Pollack D., Pollack R. A construction of rigid analitic cohomology classes for congruence subgroups of SL3(Z) // Canad. J. Math. 2009. 61. No. 3. P. 674–690.

23. Yong H. Hasse principle for simply connected group over function fields of surfaces // J. Ramanujan Math. 2014. 29. No. 2. P. 155–199.

24. Colliot-Th`el`ene J.-I., Parimala R., Suresh V. Patching and local-global principles for homogeneous spaces over function fields of p-adic curves // Commut. Math. Helv. 2012. 87. P. 1011–1033.

25. Preeti R. Classification theorems for hermitien forms, the Rost kernel and Hasse principle over fields with cd2(k) 6 3, // J. Algebra. 2013. 385. P. 294–313.

26. Bayer-Fluckiger E., Parimala R. Galois cohomology of the classical groups over fields of cohomological dimension 6 2 // Invent. Math. 1995. 122. P. 195–229.

27. Merkurjev A. Norm principle for algebraic groups // St. Petersburg J. Math. 1996. 7. P. 243–264.

28. Glazunov N. M. Minkowski’s Conjecture on Critical Lattices and the Quantifier Elimination // Algoritmic algebra and logic. Proc. of the A3L Int. Conf. Passau. Germany. 2005. P. 111–114.

29. Glazunov N. M. Critical lattices, elliptic curves and their possible dynamics // Proceedings of the Third Int. Voronoj Conf. Part 3, Kiev. 2005. P. 146–152.

30. Glazunov N. M. Modular curves, Hecke operators, periods and formal groups // X International Conference dedicated to the 70th anniversary of Yu. A. Drozd. Odessa: I.I. Mechnikov Odessa National University, 2015. C. 42.

31. Glazunov N. M. Extremal forms and rigidity in arithmetic geometry and in dynamics // Чебышевский сборник. 2015. Т.16, вып. 3. С. 124–146.


Для цитирования:


Глазунов Н.М. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. Чебышевский сборник. 2015;16(4):77-89. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-4-77-89

For citation:


Glazunov N.M. QUADRATIC FORMS, ALGEBRAIC GROUPS AND NUMBER THEORY. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(4):77-89. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-4-77-89

Просмотров: 104


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)