СТАТИСТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ПОРОЖДАЕМЫЕ РАНДОМИЗИРОВАННЫМИ ПЛОТНОСТЯМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Методы дифференциальной геометрии находят применения в исследовании информационных массивов (семейств вероятностных распределений пространств квантовых состояний, нейронных сетей и т.п.). Исследования по информационной геометрии восходят к С. Рао, который на основе фишеровской информационной матрицы определил риманову метрику на многообразии распределений вероятностей. Дальнейшие исследования привели к понятию статистического многообразия. Статистическое многообразие это гладкое конечномерное многообразие, на котором задана метрически-аффинная структура, т.е. риманова метрика и линейная связность без кручения, совместимая с заданной метрикой; при этом вы- полняется условие Кодацци. Геометрическое многообразие в том числе и статистическое многообразие задается структурным тензором. В предлагаемом исследовании рассматриваются статистические структуры, порождаемые рандомизированными плотностями нормального распределения и распределения Коши. В основу исследования положено утверждение о том, что рандомизированную плотность вероятности нормального распределения можно рассматривать как решение задачи Коши для уравнения теплопроводности, а рандомизированную плотность веро- ятности распределения Коши можно рассматривать как решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Обратно, решение задачи Коши для уравнения теплопроводности можно рассматривать как рандомизирован- ную плотность вероятности нормального распределения, а решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа как рандомизированную плотность вероятности распределения Коши. Основная задача работы состояла в том, чтобы для каждого из этих двух случаев найти компоненты информационной матрицы Фишера и структурного тензора. Для преодоления вычислительных трудностей, нами обнаружены нелинейные дифференциальные уравнения первого, второго и третьего порядков для плотности нормального распределения и плотности Коши. Компоненты метрического тензора (информационной матрицы Фишера) и компоненты тензора деформации вычисляются по формулам, в которых присутствует функция правдоподобия, т.е. логарифм от плотности распределения. Из положительной определенности информационной матрицы Фишера получаются неравенства, которым заведомо удовлетворяют решения задачи Коши с неотрицательными начальными условиями в случае уравнения Лапласа и уравнения теплопроводности.

1. Рао С. Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968. 548 с.

2. Prokopenko, M., Lizier, Joseph T., Lizier, J. T., Obst, O., Wang, X. R. Relating Fisher information to order parameters // Physical Review E. American Physical Society. 2011. 84 (4), С. 1–11.

3. Норден А. П. Пространства аффинной связности. 2-е изд. М.: Наука, 1976. 432 с.

4. Lang S. Introduction to differentiable manifolds. 2nd.ed. Springer-Verlag New York, Inc., 2002. 250 p.

5. Dodson, C. T. J.; Poston, T. Tensor geometry, Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Berlin, New York. Springer-Verlag. 1991. 447 p.

6. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. 760 c.

7. Hazewinkel, Michiel. Levi-Civita connection, Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001.

8. Sternberg, S. Lectures on differential geometry. New York: Chelsea. 1983. 137 p.

9. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. 3-е изд. М.: На- ука, 1967. 664 с.

10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2 т. Т. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1984, 528 с.

11. Evans, L. C. Partial Differential Equations, American Mathematical Society. 1998. 749 p.

12. Тихонов А. Н, Самарский А. А. Уравнения математической физики. 5-е изд. М.: Наука, 1977. 735 c.

13. N. L. Johnson, S. Kotz, and N. Balakrishnan. Continuous Univariate Distributions, Volume 1. New York, Wiley. 1994. 784 p.

14. Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов. М.: Наука. 1996. 400 с.

15. Carslaw, H. S.; Jaeger, J. C. Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press. 1959. 510 p.

16. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2004. 686 c.

17. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М.: Физматлит, 2002. 576 c.

18. Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука. 1985. 640 с.

19. Ченцов Н. Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. М.: Наука. 1972. 520 с.

20. Amari S. I. Differential-Geometrical Methods in Statistics. Lecture Notes in Statistics,Springer-Verlag. 1985. vol. 28. 127 p.

21. McCullagh P. "Tensor Methods in Statistics" , Chapman Hall/CRC Monographs on Statistics Applied Probability. 1987. 280 p.

22. Степанов С. Е., Шандра И. Г., Степанова Е. С. Сопряженные связности на статистических многообразиях // Известия вузов. Математика. 2007. №11. С. 90–98

23. Pratt, J. W. Edgeworth F. , Fisher R. on the Efficiency of Maximum Likelihood Estimation, The Annals of Statistics. 1976. 4(3): pp. 501–514.