НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЯХ ДВУКРАТНОГО И ТРЁХКРАТНОГО КОРНЯ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ

В статье рассматриваются две начально-краевые задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения ε 2 (ut − ∆u) = f(u, x, y, t, ε), (x, y, t) ∈ g × (0 < t ≤ T), где ε — малый параметр, ∆ — оператор Лапласа, в случаях когда вырож- денное уравнение f(u, x, y, t, 0) = 0 имеет корень u = φ(x, y, t), кратность которого равна двум или трём. Установлены условия, при которых каж- дая задача имеет решение погранслойного типа, построены и обоснованы асимптотики этих решений при ε −→ 0, состоящие из регулярного ряда и нескольких погранслойных рядов. В отличие от хорошо известного случая, когда вырожденное уравнение имеет простой (однократный) корень, асимптотическое разложение погранслойного решения в случае кратного корня ведётся не по целым, а по дробным степеням малого параметра, причём эти дробные степени и также масштабы погранслойных переменных зависят от кратности корня вырожденного уравнения. Ещё одно существенное отличие состоит в том, что пограничный слой в окрестности начального момента времени оказывается трёхзонным с различным характером убывания пограничных функций и различными масштабами погранслойной переменной в разных зонах. Сам алгоритм построения пограничных функций, известный для случая простого корня, становится непригодным и требует существенной модификации. Это относится к пограничным функциям, описывающим погранслойное поведение решения в окрестности начального момента времени, а также к угловым пограничным функциям, играющим важную роль в окрестности кривой ∂g×(t = 0). Предложенный модифицированный алгоритм позволяет построить единые пограничные функции, описывающие поведение решения во всех трёх зонах пограничного слоя. В этом состо- ит преимущество предложенного алгоритма перед методом сращивания асимптотических разложений, когда в каждой зоне асимптотика строится раздельно, а затем производится сращивание (согласование) разложений, построенных в разных зонах. Обоснование асимптотики (т. е. доказательство теоремы о существовании решения с построенной асимптотикой) проводится с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, суть которого состоит в том, что подходящие нижнее и верхнее решения задачи строятся с помощью формальной асимптотики.

1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк. 1990.

2. Бутузов В. Ф., Нестеров А. В. Об одном сингулярно возмущённом уравнении параболического типа // Вестник Моск. ун-та. Сер. вычисл. математики и киберн. 1973. №2. С. 49–56.

3. Vasil’eva, A. B., Butuzov, V. F. Singularly perturbed differential equations of parabolic type // Lecture Notes in Mathematics 985, Asymptotic Analysis II. 1983. Springer-Verlag. pp. 38–75.

4. Бутузов В. Ф., Бычков А. И. Асимптотика решения начально-краевой за- дачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения в случае двукратного корня вырожденного уравнения // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, №10. С. 1295–1307.

5. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

6. Нефедов Н. Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных// Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №4, С. 719–722.

7. Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York: Plenum Press. 1992.

8. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, №3. С. 15–86.

9. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения уравнения µ 2∆u−k 2 (x, y)u = f(x, y) в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, №9. С. 1654– 1660.

10. Бутузов В. Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущённых задачах с частными производными // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №10. С. 1848–1862.

11. Денисов И. В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущённых эллиптических задачах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008. Т. 48. №1. С. 62–79.

12. Бутузов В. Ф. О периодических решениях сингулярно возмущённых параболических задач в случае кратных корней вырожденного уравнения // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51. №1. С. 44–55.

13. Бутузов В. Ф. Об особенностях пограничного слоя в сингулярно возмущённых задачах с кратным корнем вырожденного уравнения // Мат. замет-ки. 2013. Т. 94, вып. 1. С. 68–80.

14. Butuzov V. F., Nefedov N. N., Recke L., Schnieder K. R. On a singularly perturbed initial value problem in the case of a double root of the degenerate equation // Nonlinear Analysis. 83. (2013). pp. 1–11.

15. Белошапко В. А., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенная эллиптическая задача в случае кратного корня вырожденного уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2013. Т. 53, №8. С. 65–75.

16. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения системы сингулярно возмущенных уравнений в случае кратного корня вырожденного уравнения // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, №2. С. 175–186.

17. Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенная краевая задача с многозначным внутренним переходным слоем // Моделирование и анализ информ. систем. 2015. Т. 22, №1. С. 5–22.