Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЯХ ДВУКРАТНОГО И ТРЁХКРАТНОГО КОРНЯ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-4-41-76

Полный текст:

Аннотация

В статье рассматриваются две начально-краевые задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения ε 2 (ut − ∆u) = f(u, x, y, t, ε), (x, y, t) ∈ g × (0 < t ≤ T), где ε — малый параметр, ∆ — оператор Лапласа, в случаях когда вырож- денное уравнение f(u, x, y, t, 0) = 0 имеет корень u = φ(x, y, t), кратность которого равна двум или трём. Установлены условия, при которых каж- дая задача имеет решение погранслойного типа, построены и обоснованы асимптотики этих решений при ε −→ 0, состоящие из регулярного ряда и нескольких погранслойных рядов. В отличие от хорошо известного случая, когда вырожденное уравнение имеет простой (однократный) корень, асимптотическое разложение погранслойного решения в случае кратного корня ведётся не по целым, а по дробным степеням малого параметра, причём эти дробные степени и также масштабы погранслойных переменных зависят от кратности корня вырожденного уравнения. Ещё одно существенное отличие состоит в том, что пограничный слой в окрестности начального момента времени оказывается трёхзонным с различным характером убывания пограничных функций и различными масштабами погранслойной переменной в разных зонах. Сам алгоритм построения пограничных функций, известный для случая простого корня, становится непригодным и требует существенной модификации. Это относится к пограничным функциям, описывающим погранслойное поведение решения в окрестности начального момента времени, а также к угловым пограничным функциям, играющим важную роль в окрестности кривой ∂g×(t = 0). Предложенный модифицированный алгоритм позволяет построить единые пограничные функции, описывающие поведение решения во всех трёх зонах пограничного слоя. В этом состо- ит преимущество предложенного алгоритма перед методом сращивания асимптотических разложений, когда в каждой зоне асимптотика строится раздельно, а затем производится сращивание (согласование) разложений, построенных в разных зонах. Обоснование асимптотики (т. е. доказательство теоремы о существовании решения с построенной асимптотикой) проводится с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, суть которого состоит в том, что подходящие нижнее и верхнее решения задачи строятся с помощью формальной асимптотики.

 

Об авторах

В. Ф. Бутузов
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.
Россия


А. И. Бычков
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.
Россия


Список литературы

1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк. 1990.

2. Бутузов В. Ф., Нестеров А. В. Об одном сингулярно возмущённом уравнении параболического типа // Вестник Моск. ун-та. Сер. вычисл. математики и киберн. 1973. №2. С. 49–56.

3. Vasil’eva, A. B., Butuzov, V. F. Singularly perturbed differential equations of parabolic type // Lecture Notes in Mathematics 985, Asymptotic Analysis II. 1983. Springer-Verlag. pp. 38–75.

4. Бутузов В. Ф., Бычков А. И. Асимптотика решения начально-краевой за- дачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения в случае двукратного корня вырожденного уравнения // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, №10. С. 1295–1307.

5. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

6. Нефедов Н. Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных// Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №4, С. 719–722.

7. Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York: Plenum Press. 1992.

8. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, №3. С. 15–86.

9. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения уравнения µ 2∆u−k 2 (x, y)u = f(x, y) в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, №9. С. 1654– 1660.

10. Бутузов В. Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущённых задачах с частными производными // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №10. С. 1848–1862.

11. Денисов И. В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущённых эллиптических задачах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008. Т. 48. №1. С. 62–79.

12. Бутузов В. Ф. О периодических решениях сингулярно возмущённых параболических задач в случае кратных корней вырожденного уравнения // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51. №1. С. 44–55.

13. Бутузов В. Ф. Об особенностях пограничного слоя в сингулярно возмущённых задачах с кратным корнем вырожденного уравнения // Мат. замет-ки. 2013. Т. 94, вып. 1. С. 68–80.

14. Butuzov V. F., Nefedov N. N., Recke L., Schnieder K. R. On a singularly perturbed initial value problem in the case of a double root of the degenerate equation // Nonlinear Analysis. 83. (2013). pp. 1–11.

15. Белошапко В. А., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенная эллиптическая задача в случае кратного корня вырожденного уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2013. Т. 53, №8. С. 65–75.

16. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения системы сингулярно возмущенных уравнений в случае кратного корня вырожденного уравнения // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, №2. С. 175–186.

17. Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенная краевая задача с многозначным внутренним переходным слоем // Моделирование и анализ информ. систем. 2015. Т. 22, №1. С. 5–22.


Для цитирования:


Бутузов В.Ф., Бычков А.И. НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЯХ ДВУКРАТНОГО И ТРЁХКРАТНОГО КОРНЯ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ. Чебышевский сборник. 2015;16(4):41-76. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-4-41-76

For citation:


Butuzov V.F., Bychkov A.I. THE INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SINGULARLY PERTURBED PARABOLIC EQUATION IN THE CASE OF DOUBLE AND TRIPLE ROOT OF THE DEGENERATE EQUATION. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(4):41-76. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-4-41-76

Просмотров: 133


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)