Владимирская школа теории чисел долгое время занималась иссле­ дованием квазипериодических разбиений. Постепенно отсюда появилась задача о равномерном распределении точек на торе, при этом возникала необходимость в точных оценках остаточных членов этого распределения. Область исследования работы относится к разделу теории чисел, за­ нимающемуся изучением множеств ограниченного остатка. Актуальность для теории чисел изучения множеств ограниченного остатка и их много­ мерных динамических модификаций обусловлена современной тенденцией перехода от классических арифметических числовых и функциональных структур к нелинейным арифметическим структурам. Динамические си­ стемы на множествах ограниченного остатка порождают хорошо сбалан­ сированные слова, аналогичные словам Штурма и Рози. Значимость же сбалансированных слов объясняется их многочисленными применениями в таких областях, как динамические системы, теория кодов, теория ком­ муникации и задачи оптимизации, теория языков и лингвистика, теория распознавания и статистическая физика. Целью работы является построение новых многомерных множеств ог­ раниченного остатка и нахождение точных оценок остаточного члена для этих множеств. Естественно было начать решение с двухмерного тора. В результате были построены три семейства трехпараметрических двумер­ ных множеств ограниченного остатка на основе гексагональных развер­ ток думерного тора. Теперь в распоряжении автора находятся одномер­ ные и двумерные множества ограниченного остатка. Возникает вопрос: нельзя ли на основе уже известых множеств, построить новые множества больших размерностей. Так, с использованием произведения торических разверток, строятся четыре семейства четырехпараметрических трехмер­ ных множеств ограниченного остатка, на основе гексагональных призм­ разверток трехмерного тора, полученных при умножении полуинтервалов Гекке и двумерных гексагональных разверток. Для всех построенных мно­ жеств определены точные оценки остаточного члена и доказана многомер­ ная теорема Гекке, найдены средние значения отклонений, а в двумерном случае построена оптимизация границ отклонений. В статье приведен обзор основных результатов автора по множествам ограниченного остатка.

Проблема описания структуры дискриминантного множества вещественного многочлена часто возникает при решении различных прикладных задач, например, при описании множества устойчивости положений рав­новесия многопараметрических систем, при вычислении нормальной фор­ мы системы Гамильтона в окрестности положения равновесия в случае кратных частот. В работе рассматривается структура дискриминантного множества многочлена с вещественными коэффициентами. Предлагается два подхода к его изучению. Первый подход основан на исследовании ну­ лей идеалов, образованных набором субдискриминантов исходного много­ члена. Рассмотрены различные способы вычисления субдискриминантов. Во втором подходе предлагается исследовать особые точки дискриминант­ного множества. Методами компьютерной алгебры показано, что для ма­ лых значений степени исходного полинома оба подхода эквивалентны, но первый более предпочтителен из-за меньшего размера идеалов. Предлагается конструктивный алгоритм построения полиномиальной параметризации дискриминантного множества в пространстве коэффици­ ентов многочлена. С прикладной точки зрения наибольший интерес пред­ ставляет описание компоненты коразмерности 1 дискриминантного мно­ жества. Именно эта компонента делит пространство коэффициентов на области с одинаковой структурой корней многочлена. Набор компонент различных размерностей дискриминантного множества имеет иерархиче­ скую структуру. Каждая компонента большей размерности может рас­ сматриваться как некоторая касательная развертывающая поверхность, образованная линейными многообразиями соответствующей размерности. Роль направляющей при этом выполняет компонента дискриминантного множества, имеющая размерность на единицу меньше и на которой исходный многочлен обладает единственным кратным корнем, а остальные его корни простые. Начиная с одномерного алгебраического многообразия размерности 1, на котором исходный многочлен имеет единственный ко­ рень максимальной кратности, на следующем шаге алгоритма получаем описание многообразия, на котором многочлен имеет уже 2 корня — один простой и один кратный. Повторяя последовательно шаги алгоритма, по­ лучаем в итоге параметрическое представление компоненты коразмерно­ сти 1 дискриминантного множества. Приведены примеры дискриминантных множеств кубического много­ члена и многочлена четвертой степени.

1. Простое обобщение. Пусть в трехмерном вещественном пространстве заданы три вещественные однородные линейные формы. Их модули дают отображение этого пространства в другое. В нем рассматривается выпуклая оболочка образов всех целочисленных точек первого простран­ ства, кроме его начала координат. Замыкание этой выпуклой оболочки названо модульным многогранником. Наилучшие целочисленные прибли­ жения к корневым подпространствам заданных форм дают точки, образы которых лежат на границе модульного многогранника. Граница модульно­ го многогранника вычисляется любой стандартной программой вычисле­ ния выпуклых оболочек. Алгоритм дает также периодичность для кубических иррациональностей с положительным дискриминантом. Обобщить цепную дробь пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гур­ виц, Клейн, Минковский, Вороной и многие другие. 2. Универсальное обобщение. Пусть в n-мерном вещественном прос­ транстве Rn заданы l линейных и k квадратичных форм (n = l + 2k). Модули этих форм задают отображение пространства Rn в положитель­ ный ортант S = m-мерного вещественного пространства Rm R , m = l+k. m + При этом целочисленная решётка Zn в Rn отображается в некоторое мно­ жество Z в S. Замыкание выпуклой оболочки H множества Z\0 является многогранным множеством. Целочисленные точки из Rn, отображающи­ еся на границу ∂H многогранника H, дают наилучшие диофантовы при­ ближения к совокупности корневых подпространств m заданных форм. В алгебраическом случае, когда заданные формы определённым образом связаны с корнями многочлена степени n, доказывается, что многогран­ ник H имеет m−1 независимый период. Это обобщение теоремы Лагранжа о периодичности цепной дроби квадратичной иррациональности. По тео­реме Дирихле соответствующее поле алгебраических чисел имеет ровно m − 1 фундаментальных единиц. Граница ∂H многогранника H вычисля­ ется стандартной программой вычисления выпуклых оболочек.

 

Классическая теорема М. Лазара (см. [1]) о структуре кольца коэф­ фициентов универсальной формальной группы является ключевым ре­ зультатом теории одномерных формальных групп. Открытие формальной группы геометрических кобордизмов ([2], [3]) и теорема Д. Квиллена ([4]) о том, что её можно отождествить с универсальной формальной группой, позволили ввести теорию формальных групп в аппарат алгебраической топологии, включая аппарат теории родов Хирцебруха. Широко извест­ но обязанное этому фундаментальное взаимопроникновение методов и ре­ зультатов алгебраической топологии (см. [5]), алгебраической геометрии, теории функциональных уравнений и математической физики. Важные приложения в алгебраической топологии нашли результаты теории эллиптических функций и функций Бейкера–Ахиезера, играющие фундаментальную роль в современной теории интегрируемых систем. Актуальным стало построение универсальных формальных групп за­ данного вида, экспоненты которых задаются этими функциями. Извест­ ные результаты в этом направлении используют как классические, так и полученные недавно, теоремы сложения, определяющие вид формальных групп. В настоящей работе решена давно стоявшая задача: найден вид уни­ версальной формальной группы, экспонентой которой является эллипти­ ческая функция уровня 3. Получены результаты о кольце коэффициентов этой группы, описаны её связи с известными универсальными формаль­ ными группами.

 

В данной работе рассмотрены проблемы, связанные с построением и исследованием конусов и многогранников конечных квази-метрик, кото­ рые являются несимметричными аналогами классических метрик. Во введении рассмотрена история вопроса, приведены примеры ис­ пользования метрик и квазиметрик в математике и ее приложениях, в том числе задачи, связанные с проблемой максимального разреза. В первом разделе даны определения конечных метрики и полуметри­ ки, а также их важнейших частных случаев: разреза, мультиразреза и гиперсемиметрики; построены конусы и многогранники указанных объек­ тов; исследованы их свойства. Рассмотрены связи конуса разрезов с мет­ рическими l1-пространствами. Особое внимание уделено симметриям по­ строенных конусов, которые состоят из перестановок и так называемых свичингов; именно преобразование свичинга служит основанием для вы­ бора неравенств, определяющих соответствующий многогранник. Во втором разделе рассмотрены конечные квази-метрики и квази-по­ луметрики, которые являются несимметричным аналогом конечных ме­ тик и полуметрик; даны определения ориентированного разреза и ориен­ тированного мультиразреза — важнейших частных случаев квази-полу­ метрики; введены понятия взвешиваемой квази-метрики и родственной ей частичной метрики; построены конусы и многогранники указанных объектов; исследованы их свойства. Рассмотрены связи ориентированных разрезов с кази-метрическим l1-пространством. Особое внимание уделено симметриям построенных конусов, которые состоят из перестановок и ори­ ентированных свичингов; как и в симметричном случае, преобразование ориентированного свичинга служит основанием для выбора неравенств, определяющих соответствующий многогранник. Рассмотрены резные под­ ходы к построению конуса и многогранника несимметричных гиперполу­ метрик. В последнем разделе представлены результаты вычислений, посвящен­ ных конусам и многогранникам квази-полуметрик, ориентированных раз­ резов, ориентировнных мультиразрезов, взвешиваемых квази-метрик и ча­ стичных метрик на 3, 4, 5 и 6 точках. Указаны размерность объекта, число экстремальных лучей (вершин) и их орбит, число гиперграней и их орбит, диаметры скелетона и реберного графа построенных конусов и многогран­ников.

 

Пусть r(i, X1) — количество точек орбиты длины i относительно вра­ щения Sα : T1 −→ T1 окружности единичной длины T1 = R/Z на угол α, попавших в X1, и пусть δ(i, X1) = r(i, X1) − i|X1| — отклонение функ­ ции распределения r(i, X1) от ее среднего значения i|X1|, где |X1| озна­ чает длину X1. В 1921 г. Э. Гекке доказал теорему: если X1 имеет длину |X1| = hα + b, где h ∈ N, b ∈ Z, то для отклонения δ(i, X1) выполняется неравенство |δ(i, X1)| � h для всех i = 0, 1, 2, . . . В 1981 г. И. Орен перенес результат Гекке на конечные объединения интервалов X1 и для таких множеств получил оценку δ(i, X1) = O(1) при i → ∞. В общем случае, если Xd принадлежит d-мерному тору Td = Rd/Zd и для него выполняется условие δ(i, Xd) = O(1) при i → ∞, то Xd называ­ ется множеством ограниченного остатка. Глобальный подход к поиску множеств ограниченного остатка предло­ жен В. Г. Журавлевым, при котором вместо отдельных множеств Xd на k торе Td рассматриваются полные разбиения торов Td = X0 d⊔X1 d⊔. . .⊔Xd c,λ s с некоторыми параметрами c, λ. Основная идея состояла в том, чтобы определить подъем тора Td в накрывающее пространство Rd так, что­ бы повороту тора Sα отвечало перекладывание Sv некоторых множеств X′ ′ ′ ′ 0, X1, . . . , X из Rd. Если число таких множеств X окажется s+1 � d+1, s k ′ то каждый из образов Xd = π(X ) на торе Td будет BR-множеством, а k k ′ ′ ′ соответствующее объединение Td = X ⊔ X ⊔ . . . ⊔ X из Rd — тори­ c,λ 0 1 s ческой разверткой для Td. Такие развертки Td были сконструированы с помощью перекладывающихся параллелоэдров — многогранников, транс­ ляционно разбивающих пространство Rd. Указанные параллелоэдры по­ лучаются сложением по Минковскому d-мерного единичного куба Cd и отрезков. В 2012 г. В. Г. Журавлевым по указанной схеме были построены про­ стейшие многомерные множества ограниченного остатка Xd = Pd, являю­ щиеся d-мерными многогранниками: параллелепипедами или выпуклыми параллелоэдрами с числом вершин ♯V (Pd) = 2d+1 − 2. Для размерностей d = 1 и 2 это будут соответственно множества, содержащие отрезки Гекке и шестиугольники с попарно параллельными равными сторонами, а для d = 3, 4 — параллелоэдры Вороного, среди которых содержится, напри­ мер, ромбический додекаэдр Федорова. В настоящей работе с помощью разбиений многомерных торов стро­ ятся множества ограниченного остатка, представляющие собою конечные объединения выпуклых многогранников. Для отклонений распределения точек орбит относительно сдвигов тора по указанным множествам дока­ зывается многомерный вариант теоремы Гекке о распределении дробных долей на окружности.

 

В данной статье описывается алгоритм решения полиномиальных ура­ внений в кольце D[x], где D – произвольный порядок поля Q(ω), а ω – це­ лое алгебраическое число. Предложенный алгоритм является развитием идеи Курта Гензеля, описанной им в 1904 году и впоследствии названной леммой Гензеля о подъеме решения полиномиального сравнения. Описы­ ваемый алгоритм основан на следующих теоретических результатах. Во­ первых, оцениваются коэффициенты разложения по базису порядка D решений уравнения, то есть выводится оценка на высоту решения поли­ номиального уравнения в произвольном порядке поля алгебраических чи­ сел. Во-вторых, выписывается итерационная формула, не содержащая в себе делений, позволяющая произвести квадратичный подъем решения со­ ответствующего сравнения по модулю степени простого числа в порядке. В-третьих, подбирается эффективная оценка на степень простого числа, до которой следует поднимать решение вышеуказанного сравнения для получения точного решения исходного уравнения. Следует заметить, что для корректной работы алгоритма требуется выбрать простое число p, по которому будет производиться подъем, так, чтобы выполнялись определенные условия. А именно, p не должно делить норму результанта исходного многочлена и его производной и дискрими­ нант целого алгебраического числа ω. Также вычислительная сложность алгоритма уменьшается, если удается подобрать простое число p, которое в дополнение к двум условиям, изложенным в предыдущем предложе­ нии, обладает тем свойством, что минимальный многочлен алгебраиче­ ского числа ω, все коэффициенты которого редуцированы по модулю p, неприводим в конечном поле из p элементов. В этом случае вычислитель­ 4 ная сложность алгоритма составляет O(m + m3 ln m ln(max0�i�m γi ) + m3 ln(max0�i�m γi ) ln ln(max0�i�m γi ) арифметических операций. Здесь m – степень исходного многочлена, γi, 0 � i � m – его коэффициенты, а γ – максимум модулей всех чисел, сопряженных с γ. В том же случае, когда не удается выбрать простое число p так, чтобы минимальный мно­ гочлен ω был неприводим в конечном поле из p элементов, вычислитель­ 4 ная сложность алгоритма составляет O(m + m3 ln m ln(max0�i�m γi ) + m3 ln(max0�i�m γi ) ln ln(max0�i�m γi )+md ln ln(max0�i�m γi )) арифмети­ ческих операций. Здесь d – количество неприводимых сомножителей, на которые раскладывается минимальный многочлен числа ω в Fp. Алго­ ритм, изложенный в статье, включает в себя стратегию выбора простого числа p для достижения меньшей вычислительной сложности. 

В данной работе рассматривается задача об отыскании пороговых вероятностей для реализации случайного графа геометрическим графом в пространстве Rd. В случае графов диаметров доказывается асимптоти­ ка для пороговой вероятности на плоскости, а также точное по порядку выражение для d � 3.

 

В случае L-функций Дирихле с числовыми характерами разработан алгоритм определения нетривиальных нулей таких L-функций, в осно­ ве которого лежит построение полиномов Дирихле, приближающих L­ функцию в любом прямоугольнике, расположенном в критической полосе, с показательной скоростью. Для L-функций Дирихле числовых полей последний результат не име­ ет места, так как в противном случае степенной ряд с теми же коэффи­ циентами, что и ряд Дирихле, определённый L-функцией, сходился бы к функции, голоморфной в точке 1. Но известно, что такой степенной ряд в случае числового поля, отличного от поля рациональных чисел, анали­ тически непродолжим за границу сходимости. В связи с этим требуется разработать новую вычислительную схему определения нетривиальных нулей L-функций числовых полей. Изучениюю этой задачи и посвящена данная работа. Показано, что существует последовательность полиномов Дирих­ ле, приближающих в любом прямоугольнике, расположенном в критиче­ ской полосе, L-функцию Дирихле числового поля со скоростью, превосхо­ дящей любую степенную функцию. В случае разложения L-функции Ди­ рихле числового поля в произведение классических L-функций Дирихле указана явная конструкция аппроксимирующих полиномов Дирихле, ну­ ли которых в заданном прямоугольнике совпадают с нулями L-функции. Также обсуждаются вопросы, связанные с явной конструкцией таких полиномов Дирихле в случае произвольных L-функций Дирихле.

 

В работе приводится обзор результатов (с разной степенью подробности) по трём различным направлениям. Основное центральное направление относится к рекуррентным после­ довательностям, прежде всего к их базисным (в различном понимании) множествам. Другое направление связано с новыми комбинаторными объектами – (v, k1, k2)-конфигурациями, возникающими на пути ослабления условий, определяющих известные комбинаторные объекты – (v, k, λ)-конфигура­ ции. Третье направление имеет дело с инвариантными дифференциалами высших порядков от нескольких гладких функций одной вещественной переменной. В каждой из этих тем рассматриваемые вопросы связаны с комби­ наторными конфигурациями в виде конечных плоскостей, а приводимые результаты получены благодаря однотипным представлениям точек соот­ ветствующих конфигураций точками многомерных локально евклидовых пространств. В случае инвариантных дифференциалов эти представления возникают естественно, а в случае рекуррентных последовательностей и (v, k1, k2)-конфигураций вводятся по аналогии, но уже искусственным образом.

 

При изучении разных математических структур хорошо известным и давно используемым в математике алгебраическим приемом является вы­ деление классов объектов исследования с помощью тождеств. Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксирован­ ный набор тождественных соотношений, А.И. Мальцев назвал многообра­ зием линейных алгебр над заданным полем. Существует такое понятие как рост многообразия. В математическом анализе принято различать поли­ номиальный или степенной, экспоненциальный или показательный рост. В данной работе речь пойдет о свойствах некоторых многообразий в разных классах линейных алгебр над полем нулевой характеристики, имеющих почти полиномиальный рост, то есть таких многообразий, рост которых не является полиномиальным, но рост любого собственного подмногообра­ зия полиномиален. Статья носит обзорный характер и не содержит новых результатов. Один из разделов статьи посвящен описанию основных свойств ассо­ циативных, лиевых многообразий и многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста над полем нулевой характеристики. В случае ас­ социативных алгебр таких многообразий всего два. В классе алгебр Ли четыре многообразия исчерпывают весь набор разрешимых лиевых мно­ гообразий почти полиномиального роста, а одно многообразие является неразрешимым и вопрос о его единственности до сих пор остается от­ крытым. В случае алгебр Лейбница существует девять многообразий по­ чти полиномиального роста. Пять из них это упомянутые многообразия алгебр Ли, которые также являются многообразиями алгебр Лейбница. Оставшиеся четыре это многообразия по свойствам схожие с разрешимы­ ми лиевыми многообразиями почти полиномиального роста. Следующие два раздела мы посвятим описанию давно известных, а также полученных недавно характеристик двух лиевых многообразий по­ чти полиномиального роста. В одном из разделов речь пойдет о найденной нами кодлине многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли sl2, которую образует множество всех матриц второго порядка со сле­ дом равным нулю над основным полем относительно операции комму­ тирования. Далее будет описан базис полилинейной части многообразия, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух ком­ мутантом. Здесь же мы представим явные формулы для вычисления его кодлин и коразмерностей. Последний раздел будет посвящен описанию базиса полилинейной ча­ сти многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста, определенного тождеством x1(x2x3)(x4x5) ≡ 0.

 

Работа содержит первое исследование тетраэдров гиперболического пространства H�3 положительной кривизны. Пространство H�3 реализуется на внешней относительно овальной ги­ перквадрики области проективного трехмерного пространства, т. е. на иде­ альной области пространства Лобачевского. Все прямые пространства H3 по наличию общих точек с абсолютом могут быть эллиптическими, параболическими или гиперболическими. В зависимости от положения по отношению к абсолюту все плоскости про­ странства H�3 относятся к трем типам: эллиптические, коевклидовы и ги­ перболические плоскости положительной кривизны. Углы эллиптической плоскости одного типа, плоскости коевклидовой — трех типов, а гипербо­ лической плоскости положительной кривизны — пятнадцати типов. Также к пятнадцати типам относятся все двугранные углы пространства H�3 . Всевозможные наборы типов граней определяют в пространстве H3 пятнадцать типов тетраэдров. В работе проведена классификация тетра­ эдров с негиперболическими гранями. Все такие тетраэдры относятся к пяти типам. Доказано, что каждое ребро тетраэдра с негиперболически­ ми гранями принадлежит эллиптической, замкнутой в пространстве H�3 , прямой. В дальнейшей классификации тетраэдров с негиперболическими гра­ нями используем понятие α-грани тетраэдра. С каждой точкой простран­ ства H�3 связан конус касательных к абсолютной овальной гиперквадрике, названный световым конусом точки. Световой линией грани тетраэдра на­ звана линия пересечения плоскости, содержащей данную грань, со свето­ вым конусом противоположной к данной грани вершины тетраэдра. Грань тетраэдра пространства H�3 названа α-гранью, если она содержит пол­ ностью свою световую линию. Доказана теорема о количестве α-граней: тетраэдр с негиперболическими гранями в пространстве H�3 либо не содер­ жит α-граней, либо содержит одну α-грань, либо все его грани являются α-гранями. Количество α-граней и их типы определяют классы и роды тетраэдров с негиперболическими гранями. В работе установлены типы двугранных углов в тетраэдре каждого класса (рода).

 

Рассматриваются связанные с симметрией свойства замкнутых выпук­ лых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве. Тематика работы частично относится к задаче обобщения класса правильных (пла­ тоновых) многогранников. Исторически первым таким обобщением были равноугольно-полуправильные (архимедовы) многогранники. Направле­ ние обобщения правильных многогранников, рассматриваемое автором в данной работе связано с осями симметрии выпуклого многогранника. Выпуклый многогранник называется симметричным, если он имеет хо­ тя бы одну нетривиальную ось симметрии. Все оси симметрии многогранника пересекаются в одной точке, которая называется центром многогран­ ника. Все рассматриваемые в работе многогранники являются многогран­ никами с центром. Ранее были перечислены все многогранники, сильно симметричные относительно вращения граней, а также метрически двойственные им­ многогранники, сильно симметричные относительно вращения многогран­ ных углов [9] – [15]. Интересно отметить, что среди сильно симметрич­ ных многогранников есть ровно восемь таких, которые не являются даже комбинаторно эквивалентными архимедовым, или равноугольно полупра­ вильным многогранникам. По определению, свойство сильной симметричности многогранника требует глобальной симметричности многогранника относительно каждой оси симметрии, перпендикулярной грани многогранника. Поэтому пред­ ставляет интерес нахождение более слабых условий симметрии на элемен­ ты многогранника. Дано новое доказательство локального критерия сильной симметрич­ ности многогранника, которое основано на свойствах осей двух последо­ вательных вращений. Рассмотрены также два класса многогранников, обобщающих поня­ тие сильно симметричного относительно вращения граней многогранника: класс многогранников с изолированными несимметричными гранями и класс многогранников с изолированными несимметричными поясами. Доказано, что каждый многогранник с изолированными несимметрич­ ными гранями может быть получен путём отсечения вершин или рёбер некоторого многогранника, сильно симметричного относительно враще­ ния граней; а каждый многогранник с изолированными несимметричными поясами-путём надстраивания осесимметричных усечённых пирамид на некоторых гранях одного из сильно симметричных относительно враще­ ния граней многогранника. При этом в каждом из этих классов существует многогранник с наибольшим числом граней, не считая двух бесконечных серий: усечённых призм; усечённых по двум вершинам и удлинённых би­ пирамид.

 

В работе изложены основы теории арифметических сумм и осцилля­ торных интегралов от многочленов Бернулли, аргумент в которых являет­ ся вещественной функцией с определенными дифференциальными свой­ ствами. Проводится аналогия с методом тригонометрических сумм И. М. Ви­ ноградова. Во введении приведены задачи теории чисел и математического анали­ за, которые имеют дело с изучением указанных выше сумм и интегралов. Исследование арифметических сумм существенно использует функци­ ональное уравнение типа теоремы Гаусса умножения для гамма-функции Эйлера. Получены оценки индивидуальных арифметических сумм, найдены показатели сходимости их средних значений. В частности, решаются ана­ логи проблем Хуа Ло-кена для одномерных сумм и интегралов.

 

В этой работе мы приводим аналоги наших многочисленных результа­ тов о следах и дистанциях в аналитических функциональных простран­ ствах в Cn, полученных ранее, в терминах интегралов и ядер Мартинелли – Бохнера. Это первые результаты такого типа в терминах этих интегра­ лов и ядер. Также нами будут обсуждаться некоторые новые утверждения для интегралов типа Мартинелли – Бохнера, связанные с классами типа Гельдера и точками Лебега. В последние годы в большом цикле работ первого автора был получен ряд новых точных результатов, связанных со следами и расстояниями в различных функциональных пространствах. Во всех этих работах важ­ ную роль играют свойства ядер типа Бергмана и интегральные представ­ ления типа Бергмана. В этой статье мы получим некоторые аналоги этих результатов в терминах более общих интегральных представлений и бо­ лее общих ядер в аналитических функциональных пространствах большей размерности. Это так называемое интегральное представление Мартинел­ ли – Бохнера и ядра Мартинелли – Бохнера в Cn. Наша работа состоит из трех частей. В первой части мы обобщаем полученные ранее результаты по следам. Во второй части мы получа­ ем оценки функции расстояния в терминах ядер Мартинелли – Бохнера и интегралов Мартинелли – Бохнера. В третьей части представлены ре­ зультаты для интегралов Мартинелли – Бохнера, связанные с классами Гельдера и точками Лебега. Эти вопросы естественно возникают из недав­ ней серии работ первого автора о многофункциональных аналитических пространствах и связанными с ними вопросами. Наши доказательтсва модифицируют методы и рассуждения извест­ ных ранее результатов и теорем для случая интегралов и ядер типа Мартинелли – Бохнера.

 

Исследуются рациональные и иррациональные вращения для множе­ ства рациональных направлений в плоской точечной решетке. Доказано, что в случае рациональных вращений порядок некристаллографического поворота может быть равен только 8 или 12. Множество рациональных направлений в прямоугольной точечной решетке с метрической квадра­ тичной формой x2 + λ2 y2 и в произвольной ее центрировке обладает ир­ рациональным вращением, если и только если число λ2 рационально.

 

При решении геометрических задач, написании пособий и книг по гео­метрии для средней школы и вуза приходится заниматься техническим рисованием. И даже если чертеж представляется совсем ясно и четко, для многих людей перенос его из "головы" на бумагу является довольно непростым делом. Помочь в этом могут разнообразные графические ре­ дакторы, например, GeoGebra — свободно распространяемая графическая и вычислительная система для изучения и преподавания математики в школах. Но существует и иной подход. Геометрические чертежи можно со­ здавать, используя систему TikZ [2], являющуюся пакетом расши­ рений TEX/LATEX. С помощью TikZ, не выходя из LATEX, и не прибегая к сторонним графическим редакторам, легко пишется код для вывода как простых, так и весьма сложных схем, диаграмм, графиков и геометриче­ ских чертежей. В предлагаемой статье обсуждаются характерные особенности написа­ ния фрагментов кода TikZ для вывода чертежей при решении типовых задач планиметрии, связанных с замечательными точками в треугольни­ ке. А именно, при создании геометрических чертежей часто по тем или иным данным приходится вычислять и выводить замечательные точки треугольников, к которым относятся: "центроид (центр масс, центр тя­ жести)" — точка пересечения медиан, "ортоцентр" — точка пересечения высот, "центр описанной окружности" — точка пересечения "середин­ ных" перпендикуляров (перпендикуляров к серединам сторон треуголь­ ника), "инцентр" — центр вписанной окружности, являющийся точкой пе­ ресечения биссектрис. Ниже показывается, как вычисляются и выводятся эти точки с помощью tikz-кода. Рассмотрены также коды для решения ряда вспомогательных задач таких, как проведение: биссектриссы угла; прямой, проходящей через заданную точку параллельно другой прямой; окружности с центром в конкретной точке, касающейся заданной прямой и т. п. 

 

В настоящей работе устанавливается соответствие между простран­ ственной и временн´oй инверсией и переходом от одной инерциальной си­ стемы отсчета (ИСО) к другой в рамках специальной теории относитель­ ности. Выясняется, что если происходят два события, то при переходе от одной ИСО к другой возможен как вариант, когда их последовательность во времени одинакова в обеих ИСО, так и вариант, когда их последо­ вательность взаимно противоположна в этих ИСО. В последнем случае мы говорим о временн´oй инверсии. Получены условия, при которых вре­ менн´aя инверсия имеет место. Анализируются результаты, вытекающие из введенных представлений. Основной результат заключается в том, что во Вселенной в целом нет еди­ ного направления времени, в ней царит временн´oй хаос. А потому теряют свой смысл такие понятия, как возраст Вселенной и ряд других. Разумеется, при нерелятивистских скоростях и относительно малых расстояниях мы возвращаемся к обычному представлению об однонаправ­ ленном течении времени. Выкладки и расчеты, приведенные в настоящей работе, основаны на специальной теории относительности, и потому представляются несомнен­ ными. Тем не менее, было бы интересно провести эксперимент для про­ верки временн´oй инверсии. Схема такого эксперимента представляется следующей. Одна ИСО связывается с Землей, другая ИСО – с двумя спутниками, имеющими одинаковую скорость и находящимися на расстоянии друг от друга. Со спутников посылаются сигналы на Землю – сначала с одного, затем с другого. На Земле эти сигналы принимаются в обратной последо­ вательности. Рассчитаны параметры такого эксперимента и показано, что он реализуем на сегодняшний момент. В конце работы даны краткие выводы и рассмотрены возможные на­ правления продолжения данной работы. Одним из таких направлений яв­ ляется анализ изменений, которые должны быть внесены в предлагаемые представления с учетом неинерциальности реальных объектов Вселенной и гравитационных эффектов.