О НОВЫХ СВОЙСТВАХ НЕКОТОРЫХ МНОГООБРАЗИЙ ПОЧТИ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА

При изучении разных математических структур хорошо известным и давно используемым в математике алгебраическим приемом является вы­ деление классов объектов исследования с помощью тождеств. Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксирован­ ный набор тождественных соотношений, А.И. Мальцев назвал многообра­ зием линейных алгебр над заданным полем. Существует такое понятие как рост многообразия. В математическом анализе принято различать поли­ номиальный или степенной, экспоненциальный или показательный рост. В данной работе речь пойдет о свойствах некоторых многообразий в разных классах линейных алгебр над полем нулевой характеристики, имеющих почти полиномиальный рост, то есть таких многообразий, рост которых не является полиномиальным, но рост любого собственного подмногообра­ зия полиномиален. Статья носит обзорный характер и не содержит новых результатов. Один из разделов статьи посвящен описанию основных свойств ассо­ циативных, лиевых многообразий и многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста над полем нулевой характеристики. В случае ас­ социативных алгебр таких многообразий всего два. В классе алгебр Ли четыре многообразия исчерпывают весь набор разрешимых лиевых мно­ гообразий почти полиномиального роста, а одно многообразие является неразрешимым и вопрос о его единственности до сих пор остается от­ крытым. В случае алгебр Лейбница существует девять многообразий по­ чти полиномиального роста. Пять из них это упомянутые многообразия алгебр Ли, которые также являются многообразиями алгебр Лейбница. Оставшиеся четыре это многообразия по свойствам схожие с разрешимы­ ми лиевыми многообразиями почти полиномиального роста. Следующие два раздела мы посвятим описанию давно известных, а также полученных недавно характеристик двух лиевых многообразий по­ чти полиномиального роста. В одном из разделов речь пойдет о найденной нами кодлине многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли sl2, которую образует множество всех матриц второго порядка со сле­ дом равным нулю над основным полем относительно операции комму­ тирования. Далее будет описан базис полилинейной части многообразия, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух ком­ мутантом. Здесь же мы представим явные формулы для вычисления его кодлин и коразмерностей. Последний раздел будет посвящен описанию базиса полилинейной ча­ сти многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста, определенного тождеством x1(x2x3)(x4x5) ≡ 0.

1. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. 1985. 448 с.

2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence, RI. Vol. 122. 2005. 352 p.

3. Мальцев А. И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Математический сборник. 1950. Т. 26(68), № 1. С. 19–33.

4. Пестова Ю. Р. Кодлина многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли sl2 // Вестник Моск. Унив-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2015. № 3. С. 58–61.

5. Мищенко С. П., Фятхутдинова Ю. Р. Новые свойства многообразия алгебр Ли N2A // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17, № 7. С. 165– 173.

6. Мищенко С.П., Пестова Ю. Р. Базис полилинейной части многообразия алгебр Лейбница V� 1 // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2014. № 3 (114). С. 72–78.

7. Berele A. Codimensions of products and of intersections of verbally prime T−ideals // Izrael J.Math. 1998. № 103. P. 17–28.

8. Mishchenko S. A Leibniz variety with almost polynomial growth // J. Pure Appl. Algebra. 2005. V. 202. P. 82–101.

9. Krakowsky A. The polynomial identities of the Grassmann algebra // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. V. 181. P. 429–438.

10. Мищенко С. П. Рост многообразий алгебр Ли // Успехи мат. наук. 1990. Т. 45, № 6. C. 25–45.

11. Мищенко С. П. О многообразиях разрешимых алгебр Ли // ДАН СССР. 1990. Т. 313, № 6. C. 1345–1348.

12. Мищенко С. П. Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпотентным коммутантом // Весцi АН БССР: Сер. фiз. матем. наук. 1987. № 6. С. 39–43.

13. Воличенко И. Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами // Весцi АН БССР: Сер. фiз. матем. наук. 1980. № 1. C. 23–30.

14. Абанина Л. Е. Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница [Текст] : дис. ... канд. физ-мат наук : 01.01.06. Ульяновск: УлГУ, 2003. 65 с.

15. Рацеев С. М. Структура и тождества некоторых алгебрлиевского типа : дис. ... канд. физ-мат наук : 01.01.06. Ульяновск: УлГУ, 2006. 101 с.

16. Абанина Л. Е. Некоторые многообразия алгебр Лейбница // Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. М.: Союз, 2002. С. 95–99.

17. Размыслов Ю. П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. 1973. Т. 12, № 1. С. 83–113.

18. Размыслов Ю. П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр // Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 6. С. 685–693.

19. Дренски В. С. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр // Матем. сб. 1980. Т. 115, № 1. С. 98–115.