О НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЯХ СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

Рассматриваются связанные с симметрией свойства замкнутых выпук­ лых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве. Тематика работы частично относится к задаче обобщения класса правильных (пла­ тоновых) многогранников. Исторически первым таким обобщением были равноугольно-полуправильные (архимедовы) многогранники. Направле­ ние обобщения правильных многогранников, рассматриваемое автором в данной работе связано с осями симметрии выпуклого многогранника. Выпуклый многогранник называется симметричным, если он имеет хо­ тя бы одну нетривиальную ось симметрии. Все оси симметрии многогранника пересекаются в одной точке, которая называется центром многогран­ ника. Все рассматриваемые в работе многогранники являются многогран­ никами с центром. Ранее были перечислены все многогранники, сильно симметричные относительно вращения граней, а также метрически двойственные им­ многогранники, сильно симметричные относительно вращения многогран­ ных углов [9] – [15]. Интересно отметить, что среди сильно симметрич­ ных многогранников есть ровно восемь таких, которые не являются даже комбинаторно эквивалентными архимедовым, или равноугольно полупра­ вильным многогранникам. По определению, свойство сильной симметричности многогранника требует глобальной симметричности многогранника относительно каждой оси симметрии, перпендикулярной грани многогранника. Поэтому пред­ ставляет интерес нахождение более слабых условий симметрии на элемен­ ты многогранника. Дано новое доказательство локального критерия сильной симметрич­ ности многогранника, которое основано на свойствах осей двух последо­ вательных вращений. Рассмотрены также два класса многогранников, обобщающих поня­ тие сильно симметричного относительно вращения граней многогранника: класс многогранников с изолированными несимметричными гранями и класс многогранников с изолированными несимметричными поясами. Доказано, что каждый многогранник с изолированными несимметрич­ ными гранями может быть получен путём отсечения вершин или рёбер некоторого многогранника, сильно симметричного относительно враще­ ния граней; а каждый многогранник с изолированными несимметричными поясами-путём надстраивания осесимметричных усечённых пирамид на некоторых гранях одного из сильно симметричных относительно враще­ ния граней многогранника. При этом в каждом из этих классов существует многогранник с наибольшим числом граней, не считая двух бесконечных серий: усечённых призм; усечённых по двум вершинам и удлинённых би­ пирамид.

1. Коши О. Исследование о многогранниках // УМН. 1944. Т. 10. C. 5–17.

2. Coxeter H. S. М. Regular polytopes, London-NY., 1963. 648p.

3. Ефремович В. А. Трёхмерные правильные многогранники // УМН. 1947. Т. 2, вып. 5. C. 197.

4. Грек А. С. Правильные многогранники на замкнутой поверхности с эйлеровой характеристикой, равной -3 // Известия высших учебных заведений, сер. Математика. 1966. № 6. С. 50–53.

5. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1967. № 2. 220 с.

6. Стрингхем В. И. Правильные фигуры в n-мерном пространстве // УМН. 1944. № 10. C. 22-–33.

7. Долбилин Н. П. Критерий кристалла и локально антиподальные множества Де¬ лоне // Труды Международной конференции “Квантовая топология”, Вестник Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2014. № 17. C. 5—16.

8. Тимофеенко А. В. О выпуклых многогранниках с равноугольными и паркетными гранями // Чебышевский сб.. 2011. Т. 12 №2, С. 118-–126.

9. Субботин В. И. О вполне симметричных многогранниках // Материалы Международной конференции по дискретной геометрии и её приложениям, посвящ. 70-летию проф. С. С.Рышкова. М.: МГУ. 2001. С. 88–89.

10. Субботин В. И. Перечисление многогранников, сильно симметричных относи¬ тельно вращения // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Ростов-на-Дону. 2002. C. 77–78.

11. Субботин В. И. О двух классах симметричных многогранников // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. №3. С. 17–19.

12. Subbotin V. I. Characterization of polyhedral partitioning a space // Voronoy conference on analytic number theory and spatial tessellations. Kiev, September, 22-28, 2003. p. 46.

13. Субботин В. И. О многогранниках, сильно симметричных относительно вращения // Чебышевский сборник. 2006. Т. VII, № 2(18). С. 168–171.

14. Субботин В. И. Многогранники с максимальным числом несимметричных граней // Метрическая геометрия поверхностей и многогранников. Материалы Меж¬ дународной конф., посвящ. 100-летию Н. В. Ефимова. М.: Макс-Пресс. 2010. С. 60–61.

15. Субботин В. И. О симметричных многогранниках с несимметричными гранями // Материалы Международного семинара «Дискретная математика и её приложения», посвящ. 80-летию акад. О. Б. Лупанова. М.: МГУ, 2012. С. 398–400.