О НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЯХ СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫХ МНОГОГРАННИКОВ
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-222-230
Аннотация
Рассматриваются связанные с симметрией свойства замкнутых выпук лых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве. Тематика работы частично относится к задаче обобщения класса правильных (пла тоновых) многогранников. Исторически первым таким обобщением были равноугольно-полуправильные (архимедовы) многогранники. Направле ние обобщения правильных многогранников, рассматриваемое автором в данной работе связано с осями симметрии выпуклого многогранника. Выпуклый многогранник называется симметричным, если он имеет хо тя бы одну нетривиальную ось симметрии. Все оси симметрии многогранника пересекаются в одной точке, которая называется центром многогран ника. Все рассматриваемые в работе многогранники являются многогран никами с центром. Ранее были перечислены все многогранники, сильно симметричные относительно вращения граней, а также метрически двойственные им многогранники, сильно симметричные относительно вращения многогран ных углов [9] – [15]. Интересно отметить, что среди сильно симметрич ных многогранников есть ровно восемь таких, которые не являются даже комбинаторно эквивалентными архимедовым, или равноугольно полупра вильным многогранникам. По определению, свойство сильной симметричности многогранника требует глобальной симметричности многогранника относительно каждой оси симметрии, перпендикулярной грани многогранника. Поэтому пред ставляет интерес нахождение более слабых условий симметрии на элемен ты многогранника. Дано новое доказательство локального критерия сильной симметрич ности многогранника, которое основано на свойствах осей двух последо вательных вращений. Рассмотрены также два класса многогранников, обобщающих поня тие сильно симметричного относительно вращения граней многогранника: класс многогранников с изолированными несимметричными гранями и класс многогранников с изолированными несимметричными поясами. Доказано, что каждый многогранник с изолированными несимметрич ными гранями может быть получен путём отсечения вершин или рёбер некоторого многогранника, сильно симметричного относительно враще ния граней; а каждый многогранник с изолированными несимметричными поясами-путём надстраивания осесимметричных усечённых пирамид на некоторых гранях одного из сильно симметричных относительно враще ния граней многогранника. При этом в каждом из этих классов существует многогранник с наибольшим числом граней, не считая двух бесконечных серий: усечённых призм; усечённых по двум вершинам и удлинённых би пирамид.
Список литературы
1. Коши О. Исследование о многогранниках // УМН. 1944. Т. 10. C. 5–17.
2. Coxeter H. S. М. Regular polytopes, London-NY., 1963. 648p.
3. Ефремович В. А. Трёхмерные правильные многогранники // УМН. 1947. Т. 2, вып. 5. C. 197.
4. Грек А. С. Правильные многогранники на замкнутой поверхности с эйлеровой характеристикой, равной -3 // Известия высших учебных заведений, сер. Математика. 1966. № 6. С. 50–53.
5. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1967. № 2. 220 с.
6. Стрингхем В. И. Правильные фигуры в n-мерном пространстве // УМН. 1944. № 10. C. 22-–33.
7. Долбилин Н. П. Критерий кристалла и локально антиподальные множества Де¬ лоне // Труды Международной конференции “Квантовая топология”, Вестник Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2014. № 17. C. 5—16.
8. Тимофеенко А. В. О выпуклых многогранниках с равноугольными и паркетными гранями // Чебышевский сб.. 2011. Т. 12 №2, С. 118-–126.
9. Субботин В. И. О вполне симметричных многогранниках // Материалы Международной конференции по дискретной геометрии и её приложениям, посвящ. 70-летию проф. С. С.Рышкова. М.: МГУ. 2001. С. 88–89.
10. Субботин В. И. Перечисление многогранников, сильно симметричных относи¬ тельно вращения // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Ростов-на-Дону. 2002. C. 77–78.
11. Субботин В. И. О двух классах симметричных многогранников // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. №3. С. 17–19.
12. Subbotin V. I. Characterization of polyhedral partitioning a space // Voronoy conference on analytic number theory and spatial tessellations. Kiev, September, 22-28, 2003. p. 46.
13. Субботин В. И. О многогранниках, сильно симметричных относительно вращения // Чебышевский сборник. 2006. Т. VII, № 2(18). С. 168–171.
14. Субботин В. И. Многогранники с максимальным числом несимметричных граней // Метрическая геометрия поверхностей и многогранников. Материалы Меж¬ дународной конф., посвящ. 100-летию Н. В. Ефимова. М.: Макс-Пресс. 2010. С. 60–61.
15. Субботин В. И. О симметричных многогранниках с несимметричными гранями // Материалы Международного семинара «Дискретная математика и её приложения», посвящ. 80-летию акад. О. Б. Лупанова. М.: МГУ, 2012. С. 398–400.
Рецензия
Для цитирования:
Субботин В.И. О НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЯХ СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫХ МНОГОГРАННИКОВ. Чебышевский сборник. 2015;16(2):222-230. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-222-230
For citation:
Subbotin V.I. О НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЯХ СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫХ МНОГОГРАННИКОВ. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(2):222-230. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-222-230