Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

СТРУКТУРА ДИСКРИМИНАНТНОГО МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННОГО МНОГОЧЛЕНА

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-23-34

Полный текст:

Аннотация

Проблема описания структуры дискриминантного множества вещественного многочлена часто возникает при решении различных прикладных задач, например, при описании множества устойчивости положений рав­новесия многопараметрических систем, при вычислении нормальной фор­ мы системы Гамильтона в окрестности положения равновесия в случае кратных частот. В работе рассматривается структура дискриминантного множества многочлена с вещественными коэффициентами. Предлагается два подхода к его изучению. Первый подход основан на исследовании ну­ лей идеалов, образованных набором субдискриминантов исходного много­ члена. Рассмотрены различные способы вычисления субдискриминантов. Во втором подходе предлагается исследовать особые точки дискриминант­ного множества. Методами компьютерной алгебры показано, что для ма­ лых значений степени исходного полинома оба подхода эквивалентны, но первый более предпочтителен из-за меньшего размера идеалов. Предлагается конструктивный алгоритм построения полиномиальной параметризации дискриминантного множества в пространстве коэффици­ ентов многочлена. С прикладной точки зрения наибольший интерес пред­ ставляет описание компоненты коразмерности 1 дискриминантного мно­ жества. Именно эта компонента делит пространство коэффициентов на области с одинаковой структурой корней многочлена. Набор компонент различных размерностей дискриминантного множества имеет иерархиче­ скую структуру. Каждая компонента большей размерности может рас­ сматриваться как некоторая касательная развертывающая поверхность, образованная линейными многообразиями соответствующей размерности. Роль направляющей при этом выполняет компонента дискриминантного множества, имеющая размерность на единицу меньше и на которой исходный многочлен обладает единственным кратным корнем, а остальные его корни простые. Начиная с одномерного алгебраического многообразия размерности 1, на котором исходный многочлен имеет единственный ко­ рень максимальной кратности, на следующем шаге алгоритма получаем описание многообразия, на котором многочлен имеет уже 2 корня — один простой и один кратный. Повторяя последовательно шаги алгоритма, по­ лучаем в итоге параметрическое представление компоненты коразмерно­ сти 1 дискриминантного множества. Приведены примеры дискриминантных множеств кубического много­ члена и многочлена четвертой степени.

Об авторе

А. Б. Батхин
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша.
Россия


Список литературы

1. Батхин, А. Б., Брюно А. Д., Варин В. П. Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых систем // ПММ. 2012. Т. 76, № 1. С. 80—133.

2. Батхин А. Б. Устойчивость одной многопараметрической системы Гамильтона // Препринт № 69. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша. 2011. 28 с.

3. Грязина Е. Н., Поляк Б. Т., Тремба А. А. Современное состояние метода D-разбиения // Автоматика и Телемеханика. 2008. № 12. С. 3—40.

4. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука. 1978.

5. Нейман Н. Н. Некоторые задачи распределения нулей многочленов // УМН. 1949. Т. 4, № 6(34). С. 154—188.

6. Basu S., Pollack R., Roy M.-F. Algorithms in Real Algebraic Geometry. 2006. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York.

7. Калинина Е. А., Утешев А. Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. Спб.: Изд-во НИИ химии СПбГУ. 2002. 72 с.

8. Sylvester J. J. On a theory of syzygetic relations of two rational integral functions, comprising an application to the theory of Sturm’s function // Trans. Roy. Soc. London (1853).

9. B´ezout ´ eorie g´ erale des ´ E. Th´ en´ Equations Alg´ebrique. P.-D. Pierre. Paris. 1779.

10. Habicht W. Eine Verallgemeinerung des Sturmschen Wurzelz¨ahlverfahrens // Comm. Math. Helvetici. 1948. Vol. 21, pp. 99–116.

11. Uteshev A. Yu., Cherkasov T. M. The search for the maximum of a polynomial // J. Symbolic Computation. 1998. Vol. 25. no 5. pp. 587–618.

12. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука. 1979. 304 с.

13. Oprea J. Differential Geometry and its Applications. The Mathematical Assosiation of America. 2007.

14. Фиников С. П. Теория поверхностей. М.: ГТТИ. 1934. 203 с.

15. Кокс Д., Литтл Д., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир. 2000. 687 с.


Для цитирования:


Батхин А.Б. СТРУКТУРА ДИСКРИМИНАНТНОГО МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННОГО МНОГОЧЛЕНА. Чебышевский сборник. 2015;16(2):23-34. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-23-34

For citation:


Batkhin A.B. STRUCTURE OF DISCRIMINANT SET OF REAL POLYNOMIAL. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(2):23-34. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-23-34

Просмотров: 205


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)