СТРУКТУРА ДИСКРИМИНАНТНОГО МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННОГО МНОГОЧЛЕНА

Проблема описания структуры дискриминантного множества вещественного многочлена часто возникает при решении различных прикладных задач, например, при описании множества устойчивости положений рав­новесия многопараметрических систем, при вычислении нормальной фор­ мы системы Гамильтона в окрестности положения равновесия в случае кратных частот. В работе рассматривается структура дискриминантного множества многочлена с вещественными коэффициентами. Предлагается два подхода к его изучению. Первый подход основан на исследовании ну­ лей идеалов, образованных набором субдискриминантов исходного много­ члена. Рассмотрены различные способы вычисления субдискриминантов. Во втором подходе предлагается исследовать особые точки дискриминант­ного множества. Методами компьютерной алгебры показано, что для ма­ лых значений степени исходного полинома оба подхода эквивалентны, но первый более предпочтителен из-за меньшего размера идеалов. Предлагается конструктивный алгоритм построения полиномиальной параметризации дискриминантного множества в пространстве коэффици­ ентов многочлена. С прикладной точки зрения наибольший интерес пред­ ставляет описание компоненты коразмерности 1 дискриминантного мно­ жества. Именно эта компонента делит пространство коэффициентов на области с одинаковой структурой корней многочлена. Набор компонент различных размерностей дискриминантного множества имеет иерархиче­ скую структуру. Каждая компонента большей размерности может рас­ сматриваться как некоторая касательная развертывающая поверхность, образованная линейными многообразиями соответствующей размерности. Роль направляющей при этом выполняет компонента дискриминантного множества, имеющая размерность на единицу меньше и на которой исходный многочлен обладает единственным кратным корнем, а остальные его корни простые. Начиная с одномерного алгебраического многообразия размерности 1, на котором исходный многочлен имеет единственный ко­ рень максимальной кратности, на следующем шаге алгоритма получаем описание многообразия, на котором многочлен имеет уже 2 корня — один простой и один кратный. Повторяя последовательно шаги алгоритма, по­ лучаем в итоге параметрическое представление компоненты коразмерно­ сти 1 дискриминантного множества. Приведены примеры дискриминантных множеств кубического много­ члена и многочлена четвертой степени.

дискриминантное множество, особая точка, рациональная параметризация

1. Батхин, А. Б., Брюно А. Д., Варин В. П. Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых систем // ПММ. 2012. Т. 76, № 1. С. 80—133.

2. Батхин А. Б. Устойчивость одной многопараметрической системы Гамильтона // Препринт № 69. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша. 2011. 28 с.

3. Грязина Е. Н., Поляк Б. Т., Тремба А. А. Современное состояние метода D-разбиения // Автоматика и Телемеханика. 2008. № 12. С. 3—40.

4. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука. 1978.

5. Нейман Н. Н. Некоторые задачи распределения нулей многочленов // УМН. 1949. Т. 4, № 6(34). С. 154—188.

6. Basu S., Pollack R., Roy M.-F. Algorithms in Real Algebraic Geometry. 2006. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York.

7. Калинина Е. А., Утешев А. Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. Спб.: Изд-во НИИ химии СПбГУ. 2002. 72 с.

8. Sylvester J. J. On a theory of syzygetic relations of two rational integral functions, comprising an application to the theory of Sturm’s function // Trans. Roy. Soc. London (1853).

9. B´ezout ´ eorie g´ erale des ´ E. Th´ en´ Equations Alg´ebrique. P.-D. Pierre. Paris. 1779.

10. Habicht W. Eine Verallgemeinerung des Sturmschen Wurzelz¨ahlverfahrens // Comm. Math. Helvetici. 1948. Vol. 21, pp. 99–116.

11. Uteshev A. Yu., Cherkasov T. M. The search for the maximum of a polynomial // J. Symbolic Computation. 1998. Vol. 25. no 5. pp. 587–618.

12. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука. 1979. 304 с.

13. Oprea J. Differential Geometry and its Applications. The Mathematical Assosiation of America. 2007.

14. Фиников С. П. Теория поверхностей. М.: ГТТИ. 1934. 203 с.

15. Кокс Д., Литтл Д., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир. 2000. 687 с.