УНИВЕРСАЛЬНОЕ ОБОБЩЕНИЕ АЛГОРИТМА ЦЕПНОЙ ДРОБИ
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-35-65
Аннотация
1. Простое обобщение. Пусть в трехмерном вещественном пространстве заданы три вещественные однородные линейные формы. Их модули дают отображение этого пространства в другое. В нем рассматривается выпуклая оболочка образов всех целочисленных точек первого простран ства, кроме его начала координат. Замыкание этой выпуклой оболочки названо модульным многогранником. Наилучшие целочисленные прибли жения к корневым подпространствам заданных форм дают точки, образы которых лежат на границе модульного многогранника. Граница модульно го многогранника вычисляется любой стандартной программой вычисле ния выпуклых оболочек. Алгоритм дает также периодичность для кубических иррациональностей с положительным дискриминантом. Обобщить цепную дробь пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гур виц, Клейн, Минковский, Вороной и многие другие. 2. Универсальное обобщение. Пусть в n-мерном вещественном прос транстве Rn заданы l линейных и k квадратичных форм (n = l + 2k). Модули этих форм задают отображение пространства Rn в положитель ный ортант S = m-мерного вещественного пространства Rm R , m = l+k. m + При этом целочисленная решётка Zn в Rn отображается в некоторое мно жество Z в S. Замыкание выпуклой оболочки H множества Z\0 является многогранным множеством. Целочисленные точки из Rn, отображающи еся на границу ∂H многогранника H, дают наилучшие диофантовы при ближения к совокупности корневых подпространств m заданных форм. В алгебраическом случае, когда заданные формы определённым образом связаны с корнями многочлена степени n, доказывается, что многогран ник H имеет m−1 независимый период. Это обобщение теоремы Лагранжа о периодичности цепной дроби квадратичной иррациональности. По теореме Дирихле соответствующее поле алгебраических чисел имеет ровно m − 1 фундаментальных единиц. Граница ∂H многогранника H вычисля ется стандартной программой вычисления выпуклых оболочек.
Список литературы
1. Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
2. Хинчин А. Я. Цепные дроби. 3-е изд. М.: Физматгиз, 1961.
3. Wallis J. A. Arithmetica infinitorum, 1655.
4. Euler L. De fractinibus continuis // Comm. Acad. Sci. Imper. Petropol. 1737. V. 9.
5. Lagrange J. L. Complement chez Elements d’algebre etc. par M. L. Euler. T. III. 1774.
6. Euler L. De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda // Petersburger Akademie Notiz. Exhib. August 14, 1775 // Commentationes arithmeticae collectae. V. II. St. Petersburg. 1849. P. 99–104.
7. Jacobi C. G. J. Allgemeine Theorie der Kettenbruch¨anlichen Algorithmen, in welchen jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird // J. Reine Angew. Math. 1868. V. 69. P. 29–64. // Gesammelte Werke, Bd. IV. Berlin: Reimer, 1891. P. 385–426.
8. Jacobi C. G. J. Ueber die Aufl¨osung der Gleichung a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = fn // J. Reine Angew. Math. 1868. V. 69. P. 21–28.
9. Poincare H. Sur une generalization des fraction´es continues // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1. 1884. V. 99. P. 1014–1016.
10. Brun V. En generalisation av Kjedebroken // Skrifter utgit av Videnskapsselskapeti Kristiania. I. Matematisk-Naturvidenskabelig Klasse 1919. 1920. № 6.
11. Perron O. Grundlagen f¨ur eine Theorie des Jacobischen Ketten-bruchalgorithmus // Math. Ann. 1907. V. 64. P. 1–76.
12. Bernstein L. The Jacobi-Perron algorithm — its theory and application. LNM 207. Berlin/Heidelberg/New York: Springer Verlag, 1971.
13. Пустыльников Л. Д. Обобщенные цепные дроби и эргодическая теория // УМН. 2003. Т. 58. № 1. С. 113–164.
14. Schweiger F. Multidimensional Continued Fractions. Oxford Univ. Press: New York, 2000.
15. Hermite Ch. Correspondance d’Hermite et de Stieltjes. T. II, lettres 232, 238, 408. Gauthier-Villars, Paris, 1905.
16. Брюно А. Д., Парусников В. И. Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта // Матем. заметки. 1994. Т. 56. № 4. С. 9–27.
17. Брюно А. Д., Парусников В. И. Сравнение разных обобщений цепных дробей // Матем. заметки. 1997. Т. 61. № 3. С. 339–348.
18. Parusnikov V. I. Klein polyhedra for complete decomposable forms // Number theory. Dvophantine, Computational and Algebraic Aspects. Editors: K. Gy˝ory, A. Peth˝o and V. T. S´os. De Gruyter. Berlin, New York. 1998. P. 453–463.
19. Парусников В. И. Многогранники Клейна для четвертой экстремальной кубической формы // Матем. заметки. 2000. Т. 67. № 1. С. 110–128.
20. Парусников В. И. Многогранники Клейна с большими гранями // Препринт № 93. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1997.
21. Парусников В. И. Многогранники Клейна для пятой экстремальной кубической формы // Препринт № 69. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1998.
22. Парусников В. И. Многогранники Клейна для шестой экстремальной кубической формы // Препринт № 69. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1999. 31 с.
23. Парусников В. И. Многогранники Клейна для седьмой экстремальной кубической формы // Препринт № 79. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1999. 32 с.
24. Lejeune Dirichlet G. P. Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbr¨uchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen // S.- В. Press. Akad. Wiss. 1842. S. 93–95 // Werke. Bd. I. Berlin: Reimer, 1889. P. 635–638.
25. Hermite Ch. Lettres de M. Ch. Hermite ˆa M. Jacobi sur differents objets de la theorie des nombres //J. Reine Angew. Math. 1850. Bd. 40. P. 261- 315 // Oeuvres, T. I, Paris: Gauther-Villares. 1905. P. 100–163 // Opuscule Mathematica de Jacobi. V. II. ¨
26. Klein F. Uber eine geometrische Auffassung der gew¨ohnlichen Kettenbruchentwicklung // Nadir. Ges. Wiss. G¨ottingen Math.-Phys. Kl. 1895. № 3. P. 357–359.
27. Minkowski H. Generalisation de le theorie des fractions continues / Ann. Sci. Ec. Norm. Super, ser III, 1896, t. 13, p. 41–60. Also in: Gesamm. Abh. I. P. 278- 292.
28. Вороной Г. Ф. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. Варшава: Из-во Варш. Ун-та, 1896. Также: Собр. соч. в 3-х томах. Киев: Из-во АН УССР, 1952. Т. 1. С. 197–391.
29. Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимых кубических форм от трех переменных // Записки научных семинаров Ленинградского отделения математич. ин-та им. Стеклова (ЛОМИ). 1988. Т. 168. С. 125–139.
30. Арнольд В. И. Цепные дроби. М.: МЦНМО, 2001.
31. Lachaud G. Poly´edre d’Arnol’d et voile d’un cˆone simplicial: analogues du th´eor`eme de Lagrange // C.R. Acad. Sei. Ser. 1. 1993. V. 317. P. 711–716.
32. Lachaud G. Poly´edre d’Arnol’d et voile d’un cˆone simplicial, analogues du th´eor`eme de Lagrange pour les irrationnels de degr´e quelconque. Pr´etirage N 93–17. Marseille: Laboratoire de Math´ematiques Discretes du C.N.R.S., 1993.
33. Brentjes A. J. Multi-dimensional Continued Fraction Algorithms. Mathematical Centre Tracts 145, Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1981.
34. Buchmann J. On the period length of the generalized Lagrange algorithm // J. Number Theory. 1987. V. 26. P. 8–37.
35. Быковский B. A. Теорема Валена для двумерных подходящих дробей // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 30–37.
36. Hurwitz A. Ueber die angen¨aherte Darstellung der Zahlen durch rationale Br¨uche // Math. Ann. 1894. Bd. 44. P. 417–436.
37. Брюно А. Д. Разложения алгебраических чисел в цепные дроби // Журнал вы¬ числительной матем. и матем. физики. 1964. Т. 4. № 2. С. 211–221.
38. Lang S., Trotter Н. Continued fractions of some algebraic numbers // J. Reine Angew. Math. 1972. Bd. 252. P. 112–134.
39. Старк X. M. Объяснение некоторых экзотических непрерывных дробей, найденных Бриллхартом // Вычисления в алгебре и теории чисел (ред. Б.Б. Венков и Д.К. Фаддеев). М.: Мир, 1976. С. 155–171.
40. Minkowski Н. Uber die Annelierung an eine reele Grosse durch rationale Zahlen // Math. Annalen. 1901. B. 54. P. 91–124. Also in: Gesamm. Abh. I. P. 320–352.
41. Pipping N. Zur Theorie der Diagonalkettenbr¨uche // Acta Acad. Aboens., 1924. B. 3. 22 S.
42. Нечаев В. И. Диагональная цепная дробь // Математ. Энциклоп. М.: Советская Энциклоп. 1979. Т. 2. С. 123.
43. Брюно А. Д. Правильное обобщение цепной дроби // Препринт № 86. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2003. 17 с.
44. Брюно А. Д., Парусников В. И. Многогранники модулей троек линейных форм // Препринт N 93. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2003. 20 с.
45. Брюно А. Д. К обобщениям цепной дроби // Препринт N 10. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2004. 31 с.
46. Брюно А. Д. Алгоритм обобщенной цепной дроби // Препринт N 45. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2004. 32 с.
47. Брюно А. Д., Парусников В. И. Дальнейшее обобщение цепной дроби // Препринт N 40. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2005. 19 с.
48. Bruno A.D. and Parusnikov V. I. New generalizations of the continued fraction // Preprint no. 52 of the Keldysh Inst, of Applied Math.: Moscow, 2005. 20 p.
49. Брюно А. Д. Структура наилучших диофантовых приближений // ДАН. 2005. Т. 402. № 4. С. 439–444.
50. Брюно А. Д. Алгоритм обобщенной цепной дроби // ДАН. 2000. Т. 402. № 6. С. 732–736.
51. Parusnikov V. I. Comparison of several generalizations of the continued fraction // Чебышевский сборник (Тула). 2005. T. 5. № 4. P. 180–188.
52. Брюно А. Д. Свойства модульного многогранника // Препринт № 72. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2005. 31 с.
53. Klein F. Sur une representation geometrique du d´eveloppement, en fraction continue ordinare // Nouv. Ann. Math. (3), 1896, Bd. 15. P. 327–331.
54. Klein F. Ausgew¨ahlte Kapitel der Zahlentheorie. Bd. I, Einleitung. G¨ottingen. 1896. P. 16–50.
55. Koksma J. F. Diophantische Approximationen. Berlin: Julius Springer, 1936.
56. Perron O. Die Lehre von den Kettenbr¨uchen. Teubner, Leipzig, 1913; Stuttgart, 1954, 1977.
57. Hurwitz A. Ueber eine besondere Art der Kettenbruch-Entwiklung relier Gr¨ossen // Acta math. 1889. В. 12. P. 367–405.
58. Коркина E. Двумерные цепные дроби. Самые простые примеры. // Труды Мат. ин-та им. Стеклова. 1995. Т. 203. С. 143–166.
59. Kontsevich M. L., Suhov Yu. M. Statistics of Klein polyhedra and multidimensional continued fractions // Amer. Math. Soc. Transi. (2). 1999. V. 197. P. 9–27.
60. Briggs K. Klein polyhedra (2013), Доступно по адресу: http://keithbriggs.info/kleinpolyhedra.html.
61. Парусников В. И. Многогранники Клейна для трех экстремальных форм // Матем. заметки. 2005. Т. 77. Na 4. С. 566–583.
62. Swinnerton-Dyer H. P. F. On the product of three homogeneous linear forms // Acta Arithmetica. 1971. V. 18. P. 371–385.
63. Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К. Теория иррациональностей третьей степени. Труды МИ АН. Т. 11. М.–Л.: АН СССР, 1947.
64. Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М.-Л.: АН СССР, 1947.
65. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: Изд- во иностр. лит., пер. с англ., 1961.
66. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. Второе изд. М.: Наука, 1972.
67. G¨uting R. Zur Verallgemeinerung des Kettenbruchalgorithmus. I // J. Reine Angew. Math., 278/279 (1975).
68. Fukuda K. Exact algorithms and software in optimization and polyhedral computation // Proceed. ISSAC’08 of XXI International Symposium on Symbolic and algebraic computations, ACM NY, USA, 2008, 333–334.
69. Брюно А. Д. Обобщения цепной дроби // Чебышевский сборник, 7:3 (2006) 4–71.
70. Брюно А. Д. Структура многомерных диофантовых приближений // ДАН 433:5 (2010) 587–589.
71. Брюно А. Д., Парусников В. И. Двустороннее обобщение непрерывных дробей // ДАН 429:6 (2009) 727–730.
72. Брюно А. Д. Структура наилучших диофантовых приближений и многогмерное обобщение цепной дроби // Чебышевский сборник (Тула) 11:1 (2010) 68–73.
73. Maple 2015.0 // http://www.maplesoft.com/products/Maple.
74. Bruno A. D. On geometric methods in works by V. I. Arnold and V. V. Kozlov. Preprint of arXiv, No 1401.6320.
75. Bruno A. D. New generalization of continued fraction, I // Functiones et Approximatio. 2010. vol. 43, no. 1. P. 55–104.
Рецензия
Для цитирования:
Брюно А.Д. УНИВЕРСАЛЬНОЕ ОБОБЩЕНИЕ АЛГОРИТМА ЦЕПНОЙ ДРОБИ. Чебышевский сборник. 2015;16(2):35-65. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-35-65
For citation:
Bruno A.D. UNIVERSAL GENERALIZATION OF THE CONTINUED FRACTION ALGORITHM. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(2):35-65. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-35-65
Просмотров:
526
Послать статью по эл. почте 