Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

УНИВЕРСАЛЬНОЕ ОБОБЩЕНИЕ АЛГОРИТМА ЦЕПНОЙ ДРОБИ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-35-65

Полный текст:

Аннотация

1. Простое обобщение. Пусть в трехмерном вещественном пространстве заданы три вещественные однородные линейные формы. Их модули дают отображение этого пространства в другое. В нем рассматривается выпуклая оболочка образов всех целочисленных точек первого простран­ ства, кроме его начала координат. Замыкание этой выпуклой оболочки названо модульным многогранником. Наилучшие целочисленные прибли­ жения к корневым подпространствам заданных форм дают точки, образы которых лежат на границе модульного многогранника. Граница модульно­ го многогранника вычисляется любой стандартной программой вычисле­ ния выпуклых оболочек. Алгоритм дает также периодичность для кубических иррациональностей с положительным дискриминантом. Обобщить цепную дробь пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гур­ виц, Клейн, Минковский, Вороной и многие другие. 2. Универсальное обобщение. Пусть в n-мерном вещественном прос­ транстве Rn заданы l линейных и k квадратичных форм (n = l + 2k). Модули этих форм задают отображение пространства Rn в положитель­ ный ортант S = m-мерного вещественного пространства Rm R , m = l+k. m + При этом целочисленная решётка Zn в Rn отображается в некоторое мно­ жество Z в S. Замыкание выпуклой оболочки H множества Z\0 является многогранным множеством. Целочисленные точки из Rn, отображающи­ еся на границу ∂H многогранника H, дают наилучшие диофантовы при­ ближения к совокупности корневых подпространств m заданных форм. В алгебраическом случае, когда заданные формы определённым образом связаны с корнями многочлена степени n, доказывается, что многогран­ ник H имеет m−1 независимый период. Это обобщение теоремы Лагранжа о периодичности цепной дроби квадратичной иррациональности. По тео­реме Дирихле соответствующее поле алгебраических чисел имеет ровно m − 1 фундаментальных единиц. Граница ∂H многогранника H вычисля­ ется стандартной программой вычисления выпуклых оболочек.

 

Об авторе

А. Д. Брюно

Россия


Список литературы

1. Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М.-Л.: ОНТИ, 1937.

2. Хинчин А. Я. Цепные дроби. 3-е изд. М.: Физматгиз, 1961.

3. Wallis J. A. Arithmetica infinitorum, 1655.

4. Euler L. De fractinibus continuis // Comm. Acad. Sci. Imper. Petropol. 1737. V. 9.

5. Lagrange J. L. Complement chez Elements d’algebre etc. par M. L. Euler. T. III. 1774.

6. Euler L. De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda // Petersburger Akademie Notiz. Exhib. August 14, 1775 // Commentationes arithmeticae collectae. V. II. St. Petersburg. 1849. P. 99–104.

7. Jacobi C. G. J. Allgemeine Theorie der Kettenbruch¨anlichen Algorithmen, in welchen jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird // J. Reine Angew. Math. 1868. V. 69. P. 29–64. // Gesammelte Werke, Bd. IV. Berlin: Reimer, 1891. P. 385–426.

8. Jacobi C. G. J. Ueber die Aufl¨osung der Gleichung a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = fn // J. Reine Angew. Math. 1868. V. 69. P. 21–28.

9. Poincare H. Sur une generalization des fraction´es continues // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1. 1884. V. 99. P. 1014–1016.

10. Brun V. En generalisation av Kjedebroken // Skrifter utgit av Videnskapsselskapeti Kristiania. I. Matematisk-Naturvidenskabelig Klasse 1919. 1920. № 6.

11. Perron O. Grundlagen f¨ur eine Theorie des Jacobischen Ketten-bruchalgorithmus // Math. Ann. 1907. V. 64. P. 1–76.

12. Bernstein L. The Jacobi-Perron algorithm — its theory and application. LNM 207. Berlin/Heidelberg/New York: Springer Verlag, 1971.

13. Пустыльников Л. Д. Обобщенные цепные дроби и эргодическая теория // УМН. 2003. Т. 58. № 1. С. 113–164.

14. Schweiger F. Multidimensional Continued Fractions. Oxford Univ. Press: New York, 2000.

15. Hermite Ch. Correspondance d’Hermite et de Stieltjes. T. II, lettres 232, 238, 408. Gauthier-Villars, Paris, 1905.

16. Брюно А. Д., Парусников В. И. Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта // Матем. заметки. 1994. Т. 56. № 4. С. 9–27.

17. Брюно А. Д., Парусников В. И. Сравнение разных обобщений цепных дробей // Матем. заметки. 1997. Т. 61. № 3. С. 339–348.

18. Parusnikov V. I. Klein polyhedra for complete decomposable forms // Number theory. Dvophantine, Computational and Algebraic Aspects. Editors: K. Gy˝ory, A. Peth˝o and V. T. S´os. De Gruyter. Berlin, New York. 1998. P. 453–463.

19. Парусников В. И. Многогранники Клейна для четвертой экстремальной кубической формы // Матем. заметки. 2000. Т. 67. № 1. С. 110–128.

20. Парусников В. И. Многогранники Клейна с большими гранями // Препринт № 93. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1997.

21. Парусников В. И. Многогранники Клейна для пятой экстремальной кубической формы // Препринт № 69. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1998.

22. Парусников В. И. Многогранники Клейна для шестой экстремальной кубической формы // Препринт № 69. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1999. 31 с.

23. Парусников В. И. Многогранники Клейна для седьмой экстремальной кубической формы // Препринт № 79. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1999. 32 с.

24. Lejeune Dirichlet G. P. Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbr¨uchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen // S.- В. Press. Akad. Wiss. 1842. S. 93–95 // Werke. Bd. I. Berlin: Reimer, 1889. P. 635–638.

25. Hermite Ch. Lettres de M. Ch. Hermite ˆa M. Jacobi sur differents objets de la theorie des nombres //J. Reine Angew. Math. 1850. Bd. 40. P. 261- 315 // Oeuvres, T. I, Paris: Gauther-Villares. 1905. P. 100–163 // Opuscule Mathematica de Jacobi. V. II. ¨

26. Klein F. Uber eine geometrische Auffassung der gew¨ohnlichen Kettenbruchentwicklung // Nadir. Ges. Wiss. G¨ottingen Math.-Phys. Kl. 1895. № 3. P. 357–359.

27. Minkowski H. Generalisation de le theorie des fractions continues / Ann. Sci. Ec. Norm. Super, ser III, 1896, t. 13, p. 41–60. Also in: Gesamm. Abh. I. P. 278- 292.

28. Вороной Г. Ф. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. Варшава: Из-во Варш. Ун-та, 1896. Также: Собр. соч. в 3-х томах. Киев: Из-во АН УССР, 1952. Т. 1. С. 197–391.

29. Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимых кубических форм от трех переменных // Записки научных семинаров Ленинградского отделения математич. ин-та им. Стеклова (ЛОМИ). 1988. Т. 168. С. 125–139.

30. Арнольд В. И. Цепные дроби. М.: МЦНМО, 2001.

31. Lachaud G. Poly´edre d’Arnol’d et voile d’un cˆone simplicial: analogues du th´eor`eme de Lagrange // C.R. Acad. Sei. Ser. 1. 1993. V. 317. P. 711–716.

32. Lachaud G. Poly´edre d’Arnol’d et voile d’un cˆone simplicial, analogues du th´eor`eme de Lagrange pour les irrationnels de degr´e quelconque. Pr´etirage N 93–17. Marseille: Laboratoire de Math´ematiques Discretes du C.N.R.S., 1993.

33. Brentjes A. J. Multi-dimensional Continued Fraction Algorithms. Mathematical Centre Tracts 145, Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1981.

34. Buchmann J. On the period length of the generalized Lagrange algorithm // J. Number Theory. 1987. V. 26. P. 8–37.

35. Быковский B. A. Теорема Валена для двумерных подходящих дробей // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 30–37.

36. Hurwitz A. Ueber die angen¨aherte Darstellung der Zahlen durch rationale Br¨uche // Math. Ann. 1894. Bd. 44. P. 417–436.

37. Брюно А. Д. Разложения алгебраических чисел в цепные дроби // Журнал вы¬ числительной матем. и матем. физики. 1964. Т. 4. № 2. С. 211–221.

38. Lang S., Trotter Н. Continued fractions of some algebraic numbers // J. Reine Angew. Math. 1972. Bd. 252. P. 112–134.

39. Старк X. M. Объяснение некоторых экзотических непрерывных дробей, найденных Бриллхартом // Вычисления в алгебре и теории чисел (ред. Б.Б. Венков и Д.К. Фаддеев). М.: Мир, 1976. С. 155–171.

40. Minkowski Н. Uber die Annelierung an eine reele Grosse durch rationale Zahlen // Math. Annalen. 1901. B. 54. P. 91–124. Also in: Gesamm. Abh. I. P. 320–352.

41. Pipping N. Zur Theorie der Diagonalkettenbr¨uche // Acta Acad. Aboens., 1924. B. 3. 22 S.

42. Нечаев В. И. Диагональная цепная дробь // Математ. Энциклоп. М.: Советская Энциклоп. 1979. Т. 2. С. 123.

43. Брюно А. Д. Правильное обобщение цепной дроби // Препринт № 86. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2003. 17 с.

44. Брюно А. Д., Парусников В. И. Многогранники модулей троек линейных форм // Препринт N 93. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2003. 20 с.

45. Брюно А. Д. К обобщениям цепной дроби // Препринт N 10. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2004. 31 с.

46. Брюно А. Д. Алгоритм обобщенной цепной дроби // Препринт N 45. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2004. 32 с.

47. Брюно А. Д., Парусников В. И. Дальнейшее обобщение цепной дроби // Препринт N 40. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2005. 19 с.

48. Bruno A.D. and Parusnikov V. I. New generalizations of the continued fraction // Preprint no. 52 of the Keldysh Inst, of Applied Math.: Moscow, 2005. 20 p.

49. Брюно А. Д. Структура наилучших диофантовых приближений // ДАН. 2005. Т. 402. № 4. С. 439–444.

50. Брюно А. Д. Алгоритм обобщенной цепной дроби // ДАН. 2000. Т. 402. № 6. С. 732–736.

51. Parusnikov V. I. Comparison of several generalizations of the continued fraction // Чебышевский сборник (Тула). 2005. T. 5. № 4. P. 180–188.

52. Брюно А. Д. Свойства модульного многогранника // Препринт № 72. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2005. 31 с.

53. Klein F. Sur une representation geometrique du d´eveloppement, en fraction continue ordinare // Nouv. Ann. Math. (3), 1896, Bd. 15. P. 327–331.

54. Klein F. Ausgew¨ahlte Kapitel der Zahlentheorie. Bd. I, Einleitung. G¨ottingen. 1896. P. 16–50.

55. Koksma J. F. Diophantische Approximationen. Berlin: Julius Springer, 1936.

56. Perron O. Die Lehre von den Kettenbr¨uchen. Teubner, Leipzig, 1913; Stuttgart, 1954, 1977.

57. Hurwitz A. Ueber eine besondere Art der Kettenbruch-Entwiklung relier Gr¨ossen // Acta math. 1889. В. 12. P. 367–405.

58. Коркина E. Двумерные цепные дроби. Самые простые примеры. // Труды Мат. ин-та им. Стеклова. 1995. Т. 203. С. 143–166.

59. Kontsevich M. L., Suhov Yu. M. Statistics of Klein polyhedra and multidimensional continued fractions // Amer. Math. Soc. Transi. (2). 1999. V. 197. P. 9–27.

60. Briggs K. Klein polyhedra (2013), Доступно по адресу: http://keithbriggs.info/kleinpolyhedra.html.

61. Парусников В. И. Многогранники Клейна для трех экстремальных форм // Матем. заметки. 2005. Т. 77. Na 4. С. 566–583.

62. Swinnerton-Dyer H. P. F. On the product of three homogeneous linear forms // Acta Arithmetica. 1971. V. 18. P. 371–385.

63. Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К. Теория иррациональностей третьей степени. Труды МИ АН. Т. 11. М.–Л.: АН СССР, 1947.

64. Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М.-Л.: АН СССР, 1947.

65. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: Изд- во иностр. лит., пер. с англ., 1961.

66. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. Второе изд. М.: Наука, 1972.

67. G¨uting R. Zur Verallgemeinerung des Kettenbruchalgorithmus. I // J. Reine Angew. Math., 278/279 (1975).

68. Fukuda K. Exact algorithms and software in optimization and polyhedral computation // Proceed. ISSAC’08 of XXI International Symposium on Symbolic and algebraic computations, ACM NY, USA, 2008, 333–334.

69. Брюно А. Д. Обобщения цепной дроби // Чебышевский сборник, 7:3 (2006) 4–71.

70. Брюно А. Д. Структура многомерных диофантовых приближений // ДАН 433:5 (2010) 587–589.

71. Брюно А. Д., Парусников В. И. Двустороннее обобщение непрерывных дробей // ДАН 429:6 (2009) 727–730.

72. Брюно А. Д. Структура наилучших диофантовых приближений и многогмерное обобщение цепной дроби // Чебышевский сборник (Тула) 11:1 (2010) 68–73.

73. Maple 2015.0 // http://www.maplesoft.com/products/Maple.

74. Bruno A. D. On geometric methods in works by V. I. Arnold and V. V. Kozlov. Preprint of arXiv, No 1401.6320.

75. Bruno A. D. New generalization of continued fraction, I // Functiones et Approximatio. 2010. vol. 43, no. 1. P. 55–104.


Для цитирования:


Брюно А.Д. УНИВЕРСАЛЬНОЕ ОБОБЩЕНИЕ АЛГОРИТМА ЦЕПНОЙ ДРОБИ. Чебышевский сборник. 2015;16(2):35-65. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-35-65

For citation:


Bruno A.D. UNIVERSAL GENERALIZATION OF THE CONTINUED FRACTION ALGORITHM. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(2):35-65. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-35-65

Просмотров: 93


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)