Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

МНОГОЦВЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-93-116

Полный текст:

Аннотация

Пусть r(i, X1) — количество точек орбиты длины i относительно вра­ щения Sα : T1 −→ T1 окружности единичной длины T1 = R/Z на угол α, попавших в X1, и пусть δ(i, X1) = r(i, X1) − i|X1| — отклонение функ­ ции распределения r(i, X1) от ее среднего значения i|X1|, где |X1| озна­ чает длину X1. В 1921 г. Э. Гекке доказал теорему: если X1 имеет длину |X1| = hα + b, где h ∈ N, b ∈ Z, то для отклонения δ(i, X1) выполняется неравенство |δ(i, X1)| � h для всех i = 0, 1, 2, . . . В 1981 г. И. Орен перенес результат Гекке на конечные объединения интервалов X1 и для таких множеств получил оценку δ(i, X1) = O(1) при i → ∞. В общем случае, если Xd принадлежит d-мерному тору Td = Rd/Zd и для него выполняется условие δ(i, Xd) = O(1) при i → ∞, то Xd называ­ ется множеством ограниченного остатка. Глобальный подход к поиску множеств ограниченного остатка предло­ жен В. Г. Журавлевым, при котором вместо отдельных множеств Xd на k торе Td рассматриваются полные разбиения торов Td = X0 d⊔X1 d⊔. . .⊔Xd c,λ s с некоторыми параметрами c, λ. Основная идея состояла в том, чтобы определить подъем тора Td в накрывающее пространство Rd так, что­ бы повороту тора Sα отвечало перекладывание Sv некоторых множеств X′ ′ ′ ′ 0, X1, . . . , X из Rd. Если число таких множеств X окажется s+1 � d+1, s k ′ то каждый из образов Xd = π(X ) на торе Td будет BR-множеством, а k k ′ ′ ′ соответствующее объединение Td = X ⊔ X ⊔ . . . ⊔ X из Rd — тори­ c,λ 0 1 s ческой разверткой для Td. Такие развертки Td были сконструированы с помощью перекладывающихся параллелоэдров — многогранников, транс­ ляционно разбивающих пространство Rd. Указанные параллелоэдры по­ лучаются сложением по Минковскому d-мерного единичного куба Cd и отрезков. В 2012 г. В. Г. Журавлевым по указанной схеме были построены про­ стейшие многомерные множества ограниченного остатка Xd = Pd, являю­ щиеся d-мерными многогранниками: параллелепипедами или выпуклыми параллелоэдрами с числом вершин ♯V (Pd) = 2d+1 − 2. Для размерностей d = 1 и 2 это будут соответственно множества, содержащие отрезки Гекке и шестиугольники с попарно параллельными равными сторонами, а для d = 3, 4 — параллелоэдры Вороного, среди которых содержится, напри­ мер, ромбический додекаэдр Федорова. В настоящей работе с помощью разбиений многомерных торов стро­ ятся множества ограниченного остатка, представляющие собою конечные объединения выпуклых многогранников. Для отклонений распределения точек орбит относительно сдвигов тора по указанным множествам дока­ зывается многомерный вариант теоремы Гекке о распределении дробных долей на окружности.

 

Об авторе

В. Г. Журавлев
Владимирский государственного университета им. братьев Столетовых.
Россия


Список литературы

1. Hecke E. Uber analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod. eins // ¨ Math. Sem. Hamburg. Univ. 1921. Bd. 1. S. 54–76.

2. Oren I. Admissible functionswithmultiple discontinuities // Univ. Nac. Aut´onoma M´exico, Mexico City. 1981. Vol. V. I. P. 217—230.

3. Журавлев В. Г. Многомерная теорема Гекке о распределении дробных долей // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 1. C. 95–130.

4. Журавлев В. Г. Перекладывающиеся торические развертки и множества ограниченного остатка // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2011. Т. 392. C. 95—145.

5. Журавлев В. Г. Многогранники ограниченного остатка. Математика и информатика, 1 — К 75-летию со дня рождения Анатолия Алексеевича Карацубы. — Совр. пробл. матем. Москва: МИАН, 2012. 128 c.

6. Вороной Г. Ф. Собрание сочинений. т. 2. Киев: Из-во АН Украинской ССР, 1952. 420 c.

7. Федоров Е. С. Начала учения о фигурах. Москва: Из-во АН СССР, 1953. 418 c. ¨

8. Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313–352.

9. Журавлев В. Г. Модули торических разбиений на множества ограниченного остатка и сбалансированные слова // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 4. C. 97–136.

10. Шутов А. В. Проблема Гекке – Кестена для нескольких интервалов // Чебышевский сб. 2011. Т. 12, вып. 1. С. 172—177.


Для цитирования:


Журавлев В.Г. МНОГОЦВЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА. Чебышевский сборник. 2015;16(2):93-116. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-93-116

For citation:


Zuravlev V.G. MULTI-COLOUR BOUNDED REMAINDER SETS. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(2):93-116. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-2-93-116

Просмотров: 58


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)