МНОГОЦВЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА

Пусть r(i, X1) — количество точек орбиты длины i относительно вра­ щения Sα : T1 −→ T1 окружности единичной длины T1 = R/Z на угол α, попавших в X1, и пусть δ(i, X1) = r(i, X1) − i|X1| — отклонение функ­ ции распределения r(i, X1) от ее среднего значения i|X1|, где |X1| озна­ чает длину X1. В 1921 г. Э. Гекке доказал теорему: если X1 имеет длину |X1| = hα + b, где h ∈ N, b ∈ Z, то для отклонения δ(i, X1) выполняется неравенство |δ(i, X1)| � h для всех i = 0, 1, 2, . . . В 1981 г. И. Орен перенес результат Гекке на конечные объединения интервалов X1 и для таких множеств получил оценку δ(i, X1) = O(1) при i → ∞. В общем случае, если Xd принадлежит d-мерному тору Td = Rd/Zd и для него выполняется условие δ(i, Xd) = O(1) при i → ∞, то Xd называ­ ется множеством ограниченного остатка. Глобальный подход к поиску множеств ограниченного остатка предло­ жен В. Г. Журавлевым, при котором вместо отдельных множеств Xd на k торе Td рассматриваются полные разбиения торов Td = X0 d⊔X1 d⊔. . .⊔Xd c,λ s с некоторыми параметрами c, λ. Основная идея состояла в том, чтобы определить подъем тора Td в накрывающее пространство Rd так, что­ бы повороту тора Sα отвечало перекладывание Sv некоторых множеств X′ ′ ′ ′ 0, X1, . . . , X из Rd. Если число таких множеств X окажется s+1 � d+1, s k ′ то каждый из образов Xd = π(X ) на торе Td будет BR-множеством, а k k ′ ′ ′ соответствующее объединение Td = X ⊔ X ⊔ . . . ⊔ X из Rd — тори­ c,λ 0 1 s ческой разверткой для Td. Такие развертки Td были сконструированы с помощью перекладывающихся параллелоэдров — многогранников, транс­ ляционно разбивающих пространство Rd. Указанные параллелоэдры по­ лучаются сложением по Минковскому d-мерного единичного куба Cd и отрезков. В 2012 г. В. Г. Журавлевым по указанной схеме были построены про­ стейшие многомерные множества ограниченного остатка Xd = Pd, являю­ щиеся d-мерными многогранниками: параллелепипедами или выпуклыми параллелоэдрами с числом вершин ♯V (Pd) = 2d+1 − 2. Для размерностей d = 1 и 2 это будут соответственно множества, содержащие отрезки Гекке и шестиугольники с попарно параллельными равными сторонами, а для d = 3, 4 — параллелоэдры Вороного, среди которых содержится, напри­ мер, ромбический додекаэдр Федорова. В настоящей работе с помощью разбиений многомерных торов стро­ ятся множества ограниченного остатка, представляющие собою конечные объединения выпуклых многогранников. Для отклонений распределения точек орбит относительно сдвигов тора по указанным множествам дока­ зывается многомерный вариант теоремы Гекке о распределении дробных долей на окружности.

1. Hecke E. Uber analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod. eins // ¨ Math. Sem. Hamburg. Univ. 1921. Bd. 1. S. 54–76.

2. Oren I. Admissible functionswithmultiple discontinuities // Univ. Nac. Aut´onoma M´exico, Mexico City. 1981. Vol. V. I. P. 217—230.

3. Журавлев В. Г. Многомерная теорема Гекке о распределении дробных долей // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 1. C. 95–130.

4. Журавлев В. Г. Перекладывающиеся торические развертки и множества ограниченного остатка // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2011. Т. 392. C. 95—145.

5. Журавлев В. Г. Многогранники ограниченного остатка. Математика и информатика, 1 — К 75-летию со дня рождения Анатолия Алексеевича Карацубы. — Совр. пробл. матем. Москва: МИАН, 2012. 128 c.

6. Вороной Г. Ф. Собрание сочинений. т. 2. Киев: Из-во АН Украинской ССР, 1952. 420 c.

7. Федоров Е. С. Начала учения о фигурах. Москва: Из-во АН СССР, 1953. 418 c. ¨

8. Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313–352.

9. Журавлев В. Г. Модули торических разбиений на множества ограниченного остатка и сбалансированные слова // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 4. C. 97–136.

10. Шутов А. В. Проблема Гекке – Кестена для нескольких интервалов // Чебышевский сб. 2011. Т. 12, вып. 1. С. 172—177.