КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕТРАЭДРОВ С НЕГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ГРАНЯМИ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

Работа содержит первое исследование тетраэдров гиперболического пространства H�3 положительной кривизны. Пространство H�3 реализуется на внешней относительно овальной ги­ перквадрики области проективного трехмерного пространства, т. е. на иде­ альной области пространства Лобачевского. Все прямые пространства H3 по наличию общих точек с абсолютом могут быть эллиптическими, параболическими или гиперболическими. В зависимости от положения по отношению к абсолюту все плоскости про­ странства H�3 относятся к трем типам: эллиптические, коевклидовы и ги­ перболические плоскости положительной кривизны. Углы эллиптической плоскости одного типа, плоскости коевклидовой — трех типов, а гипербо­ лической плоскости положительной кривизны — пятнадцати типов. Также к пятнадцати типам относятся все двугранные углы пространства H�3 . Всевозможные наборы типов граней определяют в пространстве H3 пятнадцать типов тетраэдров. В работе проведена классификация тетра­ эдров с негиперболическими гранями. Все такие тетраэдры относятся к пяти типам. Доказано, что каждое ребро тетраэдра с негиперболически­ ми гранями принадлежит эллиптической, замкнутой в пространстве H�3 , прямой. В дальнейшей классификации тетраэдров с негиперболическими гра­ нями используем понятие α-грани тетраэдра. С каждой точкой простран­ ства H�3 связан конус касательных к абсолютной овальной гиперквадрике, названный световым конусом точки. Световой линией грани тетраэдра на­ звана линия пересечения плоскости, содержащей данную грань, со свето­ вым конусом противоположной к данной грани вершины тетраэдра. Грань тетраэдра пространства H�3 названа α-гранью, если она содержит пол­ ностью свою световую линию. Доказана теорема о количестве α-граней: тетраэдр с негиперболическими гранями в пространстве H�3 либо не содер­ жит α-граней, либо содержит одну α-грань, либо все его грани являются α-гранями. Количество α-граней и их типы определяют классы и роды тетраэдров с негиперболическими гранями. В работе установлены типы двугранных углов в тетраэдре каждого класса (рода).

1. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М. ; Л: ОНТИ, 1936. 356 с.

2. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971. 576 с.

3. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.

4. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии. М.: ГИТТЛ, 1955. 744 с.

5. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. 548 с.

6. Розенфельд Б. А., Замаховский М. П. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства. М.: МЦНМО, 2003. 560 с.

7. Понарин Я. П. Геометрии с аффинной базой. Киров: Изд-во Кировского гос. пед. ун-та, 1991. 121 с.

8. Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. 2-е изд., стер. М.: Едиториал УРСС, 2004. 303 с.

9. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны: в 4-х частях. Часть 1: Тригонометрия. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 2013. 244 c.

10. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны: в 4-х частях. Часть 2: Преобразования и простые разбиения. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 2013. 274 c.

11. Ромакина Л. Н. Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Саратов: Изд-во «Научная книга», 2008. 279 c.

12. Ромакина Л. Н. Аналоги формулы Лобачевского для угла параллельности на гиперболической плоскости положительной кривизны // Сиб. электрон. матем. изв. 2013. Т 10. C. 393–407.

13. Ромакина Л. Н. О параболических многогранниках копсевдоевклидового пространства // Вестник КГПУ им. В. П. Астафьева. 2013. № 1. C. 201–206.

14. Александров А. Д. Выпуклые многогранники. М. ; Л.: ГТТЛ, 1950. 429 c.

15. Ашкинузе В. Г. Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. М.: Физматгиз, 1963. Т. IV: Геометрия.