Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск
Том 22, № 5 (2021)
Скачать выпуск PDF
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-5

Статьи 

16-24 136
Аннотация

В данной работе дано применение метода тригонометрических сумм к исследованию решений уравнений в частных производных. В начале понижается размерность задачи с
помощью метода разделения переменных. При этом задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, что позволяет использовать анализ Фурье.

25-43 125
Аннотация

Рассмотренный в данной работе метод псевдослучайного поиска достаточно универсален и позволяет решать сложные эконометрические задачи дискретным методом наименьших квадратов. В работе рассмотрена задача нахождения параметров линейной комбинации функции Кобба – Дугласа – Тинбергена и третьей производственной функции, которая
является её обобщением. Если выбор параметров функции Кобба – Дугласа – Тинбергена, или третьей производственной функции после логарифмирования и применения метода
наименьших квадратов сводится к линейной задаче, которая решается в конечном виде, то линейная комбинация этих двух моделей требует решения оптимизационной задачи от
10 или 11 переменных с трансцендентной функцией, что делает задачу трудно решаемой.
В литературе хорошо известны, по крайней мере, 10 различных типов классических теоретико-числовых сеток. С точки зрения организации псевдослучайного пояска наиболее хорошо изучены сетки и ЛП-последовательности, предложенные И. М. Соболем. Ранее
применялись параллелепипедальные сетки Коробова при решении задач текстурного анализа в геофизике. В этих работах использовались 6-мерные сетки.
В нашей работе приходится работать с 10-мерными и 11-мерными сетками с гораздо большим количеством точек, чтобы преодолеть известное "проклятие размерности".
Частично удается понизить размерность до 9-ой за счет использования свойств рассматриваемых моделей, которые подробно изучены в данной работе.
В результате исследования обнаружилось, что три параметра нельзя определить однозначно из первоначальной математической модели. Возникает дополнительная оптимизационная задача на метод наименьших квадратов, если постулировать близость технологических коэффициентов. Последнее предположение требует дополнительной экономической интерпретации и будет предметом дальнейших уже экономических исследований.
Интересно было бы сравнить результаты расчётов для разных регионов страны и для страны в целом. Проблема связана с доступностью данных, но предполагаем в последующих работах рассмотреть данную постановку задачи.

44-57 113
Аннотация

Рассмотрены системы движения частицы в поле центрального потенциала Гука по биллиардной книжке, склеенной из плоских круговых биллиардов. Важный класс невырожденных фокусных особенностей ранга 0 интегрируемых систем с 2 степенями свободы полностью реализован таким классом биллиардов. А именно, для каждой полулокальной фокусной особенности была построена биллиардная система с особенностью, послойно гомеоморфной данной.

58-110 175
Аннотация

Классические неравенства Бернштейна — Никольского вида ‖𝐷𝑓‖𝑞 6 𝒞𝑝𝑞‖𝑓‖𝑝 для 𝑓 ∈ 𝑌 , дают оценки 𝑝𝑞-норм дифференциальных операторов 𝐷 на классах 𝑌 полиномов
и целых функций экспоненциального типа. Данные неравенства играют важную роль в гармоническом анализе, теории приближений и находят приложения в теории чисел, метрической геометрии. Изучаются как порядковые неравенства, так и неравенства с точными константами. Последний случай особенно интересен тем, что экстремальные функции зависят от геометрии многообразия и этот факт помогает при решении геометрических проблем.
Исторически неравенства Бернштейна относят к случаю 𝑝 = 𝑞, а неравенства Никольского — к оценке тождественного оператора при 𝑝 < 𝑞. Впервые оценка производной
тригонометрического полинома при 𝑝 = ∞ была дана С.Н. Бернштейном (1912), хотя ранее А.А. Марков (1889) привел ее алгебраический вариант. Неравенство Бернштейна
уточнялось Э. Ландау, М. Риссом, а А. Зигмунд (1933) доказал его для всех 𝑝 > 1. При 𝑝 < 1 порядковое неравенство Бернштейна нашли В.И. Иванов (1975), Э.А. Стороженко,
В.Г. Кротов и П. Освальд (1975), а точное неравенство — В.В. Арестов (1981). Для целых функций экспоненциального типа точное неравенство Бернштейна доказали Н.И. Ахиезер,
Б.Я. Левин (𝑝 > 1, 1957), Q.I. Rahman и G. Schmeisser (𝑝 < 1, 1990).
Первые одномерные неравенства Никольского при 𝑞 = ∞ установлены Д. Джексон (1933) для тригонометрических полиномов и J. Korevaar (1949) для целых функций экспоненциального типа. Во всей общности для 𝑞 6 ∞ и 𝑑-мерного пространства это было сделано С.М. Никольским (1951). Оценки констант Никольского уточнялись И.И. Ибра-
гимовым (1959), D. Amir и Z. Ziegler (1976), R.J. Nessel и G. Wilmes (1978) и многими другими. Порядковые неравенства Бернштейна — Никольского для разных интервалов
изучала Н.К. Бари (1954). Варианты неравенств для общих мультипликаторных дифференциальных операторов и весовых многообразий можно найти в работах П.И. Лизоркина (1965), А.И. Камзолова (1984), А.Г. Бабенко (1992), А.И. Козко (1998), К.В. Руновского и H.-J. Schmeisser (2001), F. Dai и Y. Xu (2013), В.В. Арестова и П.Ю. Глазыриной (2014) и
других авторов.
Долгое время теория неравенств Бернштейна — Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа развивалась параллельно пока E. Levin и D. Lubinsky
(2015) не установили, что при всех 𝑝 > 0 константа Никольского для функций является пределом тригонометрических констант. Для констант Бернштейна — Никольского этот факт доказан М.И. Ганзбургом и С.Ю. Тихоновым (2017) и уточнен автором совместно
с И.А. Мартьяновым (2018, 2019). Многомерные результаты типа Левина — Любинского доказаны автором совместно с F. Dai и С.Ю. Тихоновым (сфера, 2020), М.И. Ганзбургом
(тор, 2019 и куб, 2021).

До сих пор точные константы Никольского известны только при (𝑝, 𝑞) = (2,∞). Интригующим является случай константы Никольского для 𝑝 = 1. Продвижение в данной
проблематике получено Я.Л. Геронимусом (1938), С.Б. Стечкиным (1961), Л.В. Тайковым (1965), L. H¨ormander и B. Bernhardsson (1993), Н.Н. Андреевым, С.В. Конягиным и
А.Ю. Поповым (1996), автором (2005), автором и И.А. Мартьяновым (2018), И.Е. Симоновым и П.Ю. Глазыриной (2015). E. Carneiro, M.B. Milinovich и K. Soundararajan (2019)
указали приложения в теории дзета-функции Римана. В.В. Арестов, М.В. Дейкалова и их соавторы (2016, 2018) охарактеризовали экстремальные полиномы для общих весовых констант Никольского, применяя двойственность. Здесь у истоков стояли С.Н. Бернштейн, Л.В. Тайков (1965, 1993) и другие.
Новым направлением является доказательство точных неравенств Никольского на классах функций с ограничениями. Здесь обнаруживается связь с экстремальными задачами гармонического анализа Турана, Дельсарта, принципа неопределенности J. Bourgain,
L. Clozel и J.-P. Kahane (2010) и другими. Например, автором с соавторами (2020) показано, что точная константа Никольского для неотрицательных сферических полиномов
дает оценку сферических дизайнов P. Delsarte, J.M. Goethals и J.J. Seidel (1977). Варианты задач для функций приводят к знаменитым оценкам плотности сферической упаковки,
а порядковые результаты тесно связаны с неравенствами Фурье.
Данные результаты излагаются в рамках общей теории неравенств Бернштейна — Никольского, приводятся приложения в теории приближений, теории чисел, метрической геометрии, предлагаются открытые проблемы.

111-128 203
Аннотация

В статье рассмотрены вопросы перечисления остовных дереьвев некоторых графов специального вида. Именно, доказан ряд новых результатов о числе остовных деревьев графов, играющих важную роль в прикладных задачах теории информации. Во-первых, рассмотрены свойства остовных сходящихся деревьев ориентированных графов, участвующих в построении  квазиметрики среднего времени первого прохода -- обобщенной метрической структуры,   тесно связанной с эргодическими однородными цепями Маркова. Во-вторых, изучены характеристики остовных корневых деревьев и остовных сходящихся дереьвев неориентированных и ориентированных графов, необходимых для построения матрицы относительной лесной доступности -- одной из мер близости вершин графовых структур, играющей важную роль при  решении прикладных задач.  Рассуждения проведены   на базе графов-гусениц и их ориентированных аналогов. Аналогичные результаты для простого пути и простого цикла (как в ориентированном, так и в неориентированном случаях) были получены ранее.

В первом разделе (введении) представлена история вопроса, дан обзор основных идей и результатов работы.
Рассмотрена роль графовых моделей
в представлении и исследовании эргодических однородных цепей Маркова.
Дано определение и раскрыта роль матрицы относительной лесной доступности неориентированных и ориентированных графов для решения прикладных задач теории информации.

Во втором разделе собраны базовые определения теории графов, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов работы. Дано определение графа и ориентированного графа, остовного подграфа, остовного корневого леса (для неориентированных графов) и остовного сходящегося леса (для ориентированных графов). Приведены примеры (простой путь, простой цикл, граф-гусеница и их ориентированные аналоги).
В этом же разделе сформулирован ряд свойств чисел Фибоначчи, необходимых для получения основных результатов статьи в случае неориентированных графов-гусениц.

В третьем разделе доказаны две теоремы о перечислении графов, связанных с построением  матрицы среднего времени первого прохода  для однородной эргодической цепи Маркова. Именно, найдено количество остовных сходящихся деревьев для ориентированного графа-гусеницы и остовных корневых деревьев для неориентированного графа-гусеницы; произведен подсчет остовных лесов, состоящих из двух деревьев, для тех же графовых структур. Результаты, связанные с ориентированным случем, сформулированы в терминах величин $2^k$, $k\geq 0$; результаты для неориентированного случая сформулированы в терминах чисел Фибоначчи $u_k$, $k\geq 1$. Доказательства проведены на базе элементарных методов перечислительной комбинаторики.

В четвертом разделе представлены результаты, связанные с перечислением остовных лесов, необходимых для построения матрицы относительной лесной доступности неориентированного графа-гусеницы и его ориентированного аналога. Найдено общее количество остовных сходящихся лесов  для ориентированного графа-гусеницы и остовных корневых лесов для неориентированного графа-гусеницы; произведен подсчет остовных сходящихся лесов, в которых вершина $i$ принадлежит дереву, сходящемуся к $j$ в ориентированном пути и цикле, и остовных корневых лесов, в которых вершина $i$ принадлежит дереву с корнем $j$ в неориентированном пути и цикле.  Как и ранее, результаты, связанные с ориентированным случем, сформулированы в терминах величин $2^k$, $k\geq 0$; результаты для неориентированного случая сформулированы в терминах чисел Фибоначчи $u_k$, $k\geq 1$.

В пятом разделе представлены  примеры матрицы относительной лесной доступности.

В шестом разделе  (заключении) приведены основные выводы работы, намечены результаты дальнейших исследований.

129-137 118
Аннотация

При изучении вопросов асимптотического распределения целых точек по областям на гиперболоидах, а также целочисленных матриц второго и третьего порядков возникает необходимость использования примитивных неассоциированных матриц второго и третьего порядков заданного определителя. Подсчет количества целых матриц одного и того же порядка и заданного определителя требует выделения среди них попарно неассоциированных матриц. Неассоциированные матрицы второго порядка появляются при рассмотрении предварительных эргодических теорем для потоков целых точек на гиперболоидах при применении дискретного эргодического метода к вопросу представления целых чисел тернарными квадратичными формами. Через количество неассоциированных матриц второго порядка выражается также число бинарных квадратичных форм, арифметический минимум которых делится на заданное целое число. Кроме того, формулы для числа примитивных неассоциированных матриц второго и третьего порядков позволяют определить порядки главных членов в асимптотических формулах для числа целых матриц боль-
шой нормы. В данной работе опираясь на канонический треугольный вид целых матриц третьего порядка получена формула для числа примитивных неассоциированных матриц
третьего порядка заданного определителя, представленного каноническим разложением.
Получена также формула и для числа примитивных неассоциированных матриц третьего порядка заданного определителя, делящихся на заданную матрицу. Основные результаты, связанные с вопросом о числе неассоциированных целых матриц заданного определителя
принадлежат Линнику Ю. В., Скубенко Б. Ф., Малышеву А. В. и авторам данной работы, результаты которой могут быть в дальнейшем перенесены на целочисленные матрицы
любого порядка.

138-160 115
Аннотация

Задан класс $F$ псевдометрических пространств и семейство преобразований $T$ псевдометрики. Нужно было описать семейство преобразований $T'\subset T$, которые переводят $F$ в себя и сохраняют некоторые типы минимальных заполнений. Был рассмотрен случай,
     когда $F$ — класс всех конечных псевдометрических пространств, класс $T$ состоит из отображений $M\mapsto AM+\tau$, где матрицы $A$ и $\tau$ задают отображение матрицы псевдометрики $M$, а элементы $T'$ сохраняют типы $G$ минимальных заполнений псевдометрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени $1$ графов $G$, и доказано, что $A=\lambda E$ для некоторого $\lambda\ge 0$, а $\tau$ является матрицей псевдометрики, одно из минимальных заполнений которой — звезда;
    %\item
     когда $F$ — класс всех конечных псевдометрических пространств, класс $T$ состоит из отображений $\r\to A\r$, где $A$ — диагонализируемая матрица c двумя собственными числами $\lambda_{max}>\lambda_{min}\ge 0$, наибольшее собственное значение $\lambda_{max}$ которой имеет кратность 1, собственное пространство, соответствующее значению $\lambda_{min}$, не содержит ненулевых псевдометрик, а элементы $T'$ сохраняют типы $G$ минимальных заполнений псевдометрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени $1$ графов $G$. И доказано, что для любой матрицы отображения из $T'$ существует псевдометрика, являющаяся собственным вектором с собственным значением $\lambda_{max}$, среди минимальных заполнений для которой есть заполнение типа звезда.

161-171 125
Аннотация

В данной работе рассматривается экстремальная задача, связанная с множеством непрерывных положительно определённых функций на R, носитель которых содержит-
ся в отрезке [−𝜎, 𝜎], 𝜎 > 0, а значение в нуле фиксировано (класс F𝜎).
Мы рассматриваем следующую задачу. Пусть 𝜇 – линейный локально ограниченный функционал на множестве финитных непрерывных функций 𝐶𝑐(R), принимающий вещественные значения на множествах F𝜎, 𝜎 > 0. При фиксированном 𝜎 > 0 требуется найти следующие величины:
𝑀(𝜇, 𝜎) := sup {𝜇(𝜙) : 𝜙 ∈ F𝜎} , 𝑚(𝜇, 𝜎) := inf {𝜇(𝜙) : 𝜙 ∈ F𝜎} .
Нами получено общее решение данной задачи для линейных функционалов следующего вида 𝜇(𝜙) = ∫︀ R 𝜙(𝑥)𝜌(𝑥)𝑑𝑥, 𝜙 ∈ 𝐶𝑐(R), где 𝜌 ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐(R) и 𝜌(𝑥) = 𝜌(−𝑥) для п. в. 𝑥 ∈ R. Если
𝜌(𝑥) ≡ 1, то величина 𝑀(𝜇, 𝜎) была найдена Зигелем в 1935 году и независимо Боасом и Кацом в 1945 году. В данной работе найдены явные решения рассматриваемой задачи в
следующих случаях: 𝜌(𝑥) = 𝑖𝑥, 𝜌(𝑥) = 𝑥2 и 𝜌(𝑥) = 𝑖 sign 𝑥, 𝑥 ∈ R.
Кроме того, в данной работе изучается связь между рассматриваемой задачей и точечными неравенствами для производных целых функций экспоненциального типа 6 𝜎,
сужения на R которых принадлежат 𝐿1(R). В частности, получены точные неравенства для первой и второй производных таких функций.

172-184 115
Аннотация

Развивается теория операционного исчисления Лапласа на основе дифференциального оператора с кусочно-постоянными коэффициентами. Предложена формула обобщенного преобразования Лапласа. Доказана формула обращения типа Меллина–Лапласа. Предложено понятие обобщенного оригинала и обобщенного изображения. Доказана теорема об изоморфизме пространств оригиналов и обобщенных оригиналов.При помощи операторов
преобразования установлено, что обобщенное изображение обобщенного оригинала совпадает с изображением соответствующего оригинала. Доказаны теоремы о дифференцировании и интегрировании обобщенного оригинала, теоремы об однородности, о подобии,
экспоненциальном шкалировании, запаздывания и другие. В терминах оператора преобразования установлена связь свертки обобщенных оригиналов и соответствующей им свертки оригиналов. Представлен алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами. Найдено решение уравнения теплопроводности с кусочно постоянным коэффициентом при производной по времени на действительной
оси. Решена смешанная краевая задача для уравнения теплопроводности с кусочно постоянным коэффициентом при производной по времени на действительной полуоси.

185-197 144
Аннотация

Для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы рассматривается задача описания топологии слоения Лиувилля в 3-мерной некомпактной инвариантной
окрестности особого слоя. При этом все особенности системы предполагаются невырожденными. В случае, когда все слои компактны, эта задача решена: известная теорема А.Т. Фоменко утверждает, что любая невырожденная 3-мерная особенность (3-атом) представляет собой 𝑆1-расслоение специального вида (расслоение Зейферта) над двумерной особенностью (2-атомом). Тем самым задача топологической классификации 3-атомов сводится к
существенно более простому вопросу классификации 2-атомов (т. е. особенностей слоений, задаваемых функциями Морса на двумерных поверхностях). Последний вопрос хорошо изучен в рамках теории А.Т. Фоменко топологической классификации интегрируемых систем.
В некомпактном случае запас всех 3-атомов становится существенно шире. Поэтому мы ограничиваемся рассмотрением только таких 3-атомов, которые удовлетворяют следующим условиям: полнота гамильтоновых потоков, порождаемых первыми интеграла-
ми системы, конечность числа орбит гамильтонова действия группы R2 на особом слое и существование среди них нестягиваемой орбиты. При этих условиях мы доказываем
существование на 3-атоме гамильтонова локально свободного 𝑆1-действия, сохраняющего слои слоения Лиувилля. В качестве следствия мы получаем некомпактный аналог теоремы А.Т. Фоменко и тем самым сводим задачу классификации некомпактных 3-атомов, удовлетворяющих перечисленным условиям, к аналогичной классификационной задаче для некомпактных 2-атомов, решённой нами ранее.

198-222 138
Аннотация

В предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для средних значений функций Чебышёва по всем характерам модуля 𝑞 имеет место оценка

$$𝑡(𝑥; 𝑞) =Σ︁𝜒mod𝑞max𝑦≤𝑥|𝜓(𝑦, 𝜒)| ≪ 𝑥 + 𝑥1/2𝑞L2, L = ln 𝑥𝑞$$.
При решении ряда задач теории простых чисел достаточно, чтобы для 𝑡(𝑥; 𝑞) имелась оценка, близкая к этой оценке. Лучшие оценки для 𝑡(𝑥; 𝑞) ранее принадлежали Г. Монтгомери, Р. Вону и З. Х. Рахмонову. В работе получена новая оценка вида
$$𝑡(𝑥; 𝑞) = Σ︁ 𝜒mod𝑞 max 𝑦≤𝑥 |𝜓(𝑦, 𝜒)| ≪ 𝑥L^28 + 𝑥^(4/5) 𝑞^(1/2)L^31 + 𝑥^(1/2)𝑞L^32$$,
с помощью которой для линейной тригонометрической суммы с простыми числами при $$|𝑎-a/q|<1/q^2,   (a,q)=1$$, 
найдена более точная оценка
$$𝑆(𝛼, 𝑥) ≪ 𝑥𝑞^(−1/2)L^33 + 𝑥^(4/5)L^32 + 𝑥^(1/2)𝑞^(1/2)L^33$$,
а также изучено распределение чисел Харди-Литтлвуда вида 𝑝 + 𝑛2 в коротких арифметических прогрессиях в случае, когда разность прогрессии является степенью простого
числа.

223-233 122
Аннотация

В статье рассматривается задача рассеяния плоской звуковой волны абсолютно твердым шаром с непрерывно-неоднородным анизотропным упругим покрытием в присутствии плоской поверхности. Полагается, что тело находится в идеальной жидкости, подстилающая плоскость является абсолютно жесткой или акустически мягкой, законы неоднородности материала покрытия описываются дифференцируемыми функциями радиальной координаты.
Получено приближенное аналитическое решение задачи в случае, когда материал покрытия шара является радиально-неоднородным и трансверсально-изотропным. При этом
не учитывается отражение от плоскости волн, рассеянных телом, но учитывается рассеяние шаром волны, образующейся при отражении падающей волны от плоскости. В силу линейной постановки задачи потенциал скорости полного акустического поля представляется в виде суммы потенциалов падающей плоской волны; волны, возникающей при отражении падающей плоской волны от плоскости; волны, возникающей при рассеянии шаром падающей плоской волны; волны, возникающей при рассеянии шаром отраженной от плоскости волны.
Волновые поля в содержащей среде описываются разложениями по сферическим волновым функциям, а для нахождения поля смещений в неоднородном анизотропном слое построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

234-240 119
Аннотация

Одной из актуальных задач теории дзета-функции Римана является доказательство существования её нулей на коротких промежутках критической прямой или, что то же самое, вещественных нулей функции Харди $Z(t)$. Обобщением этой задачи является исследование нулей производных $Z^{(j)}(t)$ этой функции. Пусть $T>0$. Определим величину $H_j(T)$ -- расстояние от $T$ до ближайшего вещественного нуля не меньшего $T$ $j$-ой производной функции Харди. В работе доказана верхняя оценка для величины $H_j(T)$.

243-251 114
Аннотация

Объекты, названные в этой работе полиадическими числами Лиувилля, рассматриваются относительно недавно.
Каноническое разложение полиадического числа 𝜆 имеет вид

$$𝜆 =∞Σ︁𝑛=0𝑎𝑛𝑛!, 𝑎𝑛 ∈ Z, 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑛.$$

Этот ряд сходится в любом поле 𝑝− адических чисел Q𝑝 .
Будем называть полиадическое число 𝜆 полиадическим числом Лиувилля( или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел 𝑛 и 𝑃 существует натуральное число
𝐴 такое, что для всех простых чисел 𝑝 , удовлетворяющих неравенству 𝑝 ≤ 𝑃 выполнено неравенство

$$|𝜆 − 𝐴|𝑝 < 𝐴−𝑛.$$

Обозначим, для натурального 𝑚 

$$Φ(𝑘,𝑚) = 𝑘^𝑘^(...)^𝑘$$

результат последовательного 𝑚− кратного возведения в степень. Пусть

$$𝑛𝑚 = Φ(𝑘,𝑚)$$

и пусть 

$$𝛼 =∞Σ︁𝑚=0(𝑛𝑚)!.$$

Теорема 1. Для любого натурального числа 𝑘 ≥ 2 и любого простого числа 𝑝 ряд 𝛼 сходится к трансцендентному элементу кольца Z𝑝. Иными словами, полиадическое число
𝛼 глобально трансцендентное.

История математики и приложений 

252-262 101
Аннотация

В работе представлены результаты оптимизации сплавления электроэрозионной кобальтохромовой шихты, которую проводили путем постановки полного факторного эксперимента и метода крутого восхождения Бокса и Уилсона. Определены оптимальные параметры процесса получения кобальтохромового сплава искровым плазменным спеканием частиц сплава КХМС по твердости. В качестве факторов были выбраны параметры работы установки искрового плазменного сплавления: температура, давление и время выдержки. Оптимальные параметры работы установки определяли для электроэрозионного материала КХМС, ранее полученного в спирте бутиловом. Согласно проведенной серии опытов определены предельные значения параметра оптимизации (твердость) для процесса сплавления электроэрозионной кобальтохромовой шихты, которые составили: 223,8 HB при давлении 30 МПа, температуре 560 ∘С и времени выдержки 3 минуты.

263-269 106
Аннотация

Заметка посвящена приезду в июне 1921 года большой группы московских математиков, главным образом учеников Н.Н. Лузина, в Петроград для участия в мемориальных
заседаниях по случаю 100-летия со дня рождения П. Л. Чебышева. Этот исторический визит стал первой в советской истории математической конференцией, а также первым
шагом москвичей в преодолении возникшей ещё в 1880-е годы конфликтной ситуации во взаимоотношениях математиков двух столиц.

270-306 113
Аннотация

Осенью 1938 года был организован Тульский государственный педагогический институт (впоследствии переименованный в Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого). Штат института составляли приглашенные иногородние пре-
подаватели. Это обстоятельство определяло весь учебный процесс, так как дисциплины вычитывались сжатыми блоками и в короткие сроки. Одним из трех факультетов был
физико-математический с единственной кафедрой математики и физики. Осенью 1939 года на факультет удалось пригласить молодых ученых-математиков, специалистов в области математического анализа и дифференциальных уравнений. Ими были супруги П. В. Соловьев и В. М. Гущина. Оба они – уроженцы Тульской области, получили образование и защитили кандидатские диссертации в Москве. П. В. Соловьев имел хорошие научные результаты и как ученый мог бы создать школу математического анализа на факультете, но в 1941 году началась война, и он добровольцем ушел на фронт, где погиб в 1943 году. В
1950 году из кафедры математики и физики были выделены две математические кафедры, одна из которых – кафедра математического анализа. Первым заведующим кафедрой
математического анализа стал профессор С. П. Слугинов, бывавший в Туле наездами из Москвы, а штат кафедры состоял из 8 человек. В июне 1951 года кафедру возглавил известный ученый в области теории функций, доктор физико-математических наук, профессор В. И. Левин. С его именем связано становление аспирантуры на кафедре и факультете.
Первой выпускницей аспирантуры кафедры, успешно защитившей диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, стала С. Н. Лёвина, ученица профессора В. И. Левина. Учениками профессора В. И. Левина были многие выпускники ТГПУ им. Л. Н. Толстого , впоследствии работавшие на кафедре. В 1960-х годах укре-
пилась научная и педагогическая составляющая кафедры математического анализа: на кафедру из других вузов были приняты доценты В. И. Антропова (1964), В. И. Рыбаков
(1969) и А. С. Симонов (1971). В разные годы среди преподавателей кафедры были первоклассные специалисты, оставившие заметный след в математике, но наибольших успехов кафедра добилась в 1970–80-е годы. Это было связано с обеспеченностью высококвалифицированными кадрами. В статье через историю кафедры, а также через деятельность ее заведующих и преподавателей прослеживаются пути развития математического анализа
на факультете.

307-314 111
Аннотация

В данной работе приведены результаты исследования распада фазы Fe3C при термоциклировании вблизи температуры фазового перехода II-го рода, составляющей 210 C(точка Кюри цементита). В результате проведенных исследований установлено, что распаду, прежде всего, подвержен структурно свободный цементит третичный, присутствующий в малоуглеродистых сталях. В заэвтектоидных и эвтектоидной сталях цементит как само-
стоятельная фаза может присутствовать в составе зернистого перлита. Выявлено, что в структуре стали У10 с исходным состоянием зернистого перлита максимальная объемная
доля (около 0,8).

315-327 103
Аннотация

Авторы статьи ставили перед собой задачи: кратко рассказать о двадцатилетней истории кафедры «Математика и информатика» Тульского филиала Финуниверситета и,
дать краткий анализ научной деятельности на кафедре, оказавшей влияние в Тульском регионе на развитие математики, информатики, математического и информационного образования. Преподаватели кафедры вели и ведут исследования в области экономико-
математических методов и моделей, методики математики, использования информационных технологий в математике и обучении математике.
Кафедра «Математика и информатика» обеспечивает учебный процесс для всех направлений филиала в соответствии с перечнем аккредитованных образовательных программ и является выпускающей по направлению 38.03.05 «Бизнес-информатика».
Кафедра обеспечивает эффективное решение образовательных, учебно-педагогических, организационно-методических, научно-исследовательских и информационно-аналитических задач по повышению квалификации и подготовке специалистов в области теории и практики математики, информатики и математических методов в финансах, управлении. Направления деятельности кафедры формируются на основе стратегии развития федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации».
Научно-исследовательская работа осуществляется всеми преподавателями кафедры в рамках госбюджетной тематики и реализуется в участии в научных, научно-методических
и научно-практических конференциях разных уровней от регионального до международного. Результаты отражаются во множестве публикаций, наиболее заметными из которых
являются монографии и статьи в журналах. В статье приводится список избранных публикаций, содержащих результаты, полученные преподавателями кафедры в разные периоды ее 20-летней истории, в том числе результаты исследований за последние годы.

328-339 107
Аннотация

В статье рассмотрено влияние температуры отпуска на структуру и механические свойства малоуглеродистых арматурных сталей марок Ст3 и Ст5. Установлено, что сталь
марки Ст3 в прутках ?14 мм эффективно обрабатывается способом ВТМО, упрочняясь до уровня 3-го класса. Механические свойства, зафиксированные непосредствен-
но после ВТМО, устойчиво сохраняются после отпуска электронагревом до температур 350 . . . 370∘C. Выявлено, что после отпуска при температуре 500 . . . 550∘C в стали Ст5 со-
храняется упрочнение на уровне 6-го класса прочности только при условии, если нагрев осуществляется по скоростному режиму (28 ∘C/сек). Показано, что субструктура, созданная в ходе ВТМО, разрушается при ускоренном отпуске в меньшей (мере) степени, чем после печного. Все это предопределяет более высокий уровень упрочнения стали в результате ВТМО и скоростного отпуска.

Краткие сообщения 

340-345 104
Аннотация

В статье рассматривается вопрос поведения значений 𝐶𝑛 при возрастании 𝑛, где 𝐶𝑛 – это константа наилучших совместных диофантовых приближений. Показаны различия в
этом вопросе для 𝑙2 и max нормы.

346-349 102
Аннотация

В статье рассматривается вопрос улучшение одного алгоритма поиска наилучших совместных диофантовых приближений и оценка его сложности.

350-353 127
Аннотация

В данной работе найден вариант формулы Стирлинга, полезный и удобный для приложений. Вывод формулы основан на двух известных утверждениях Эйлера: разложение гамма-функции в бесконечное произведение и формуле Эйлера–Маклорена суммирования значений гладкой функции по целым числам.

354-358 92
Аннотация

Мы продолжаем исследование точных констант Бернштейна — Никольского для сферических полиномов в пространстве 𝐿𝑝(S𝑑) с весом Данкля. Рассматривается модельный
случай группы отражений октаэдра Z𝑑+1 2 и веса
Π︀𝑑+1 𝑗=1 |𝑥𝑗 |2𝜅𝑗 , когда известен явный вид оператора сплетения Данкля. Мы показываем, что при min 𝜅 = 0 многомерная задача сводится к одномерной для веса Гегенбауэра, иначе нет.

359-364 109
Аннотация

В работе изучается гиперболическая дзета-функция двумерной решётки приближений Дирихле. Найдено функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле в случае рационального 𝛽, которое задаёт аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, кроме точки 𝛼 = 1, в которой полюс первого порядка.
Найденное функциональное уравнение позволяет ставить вопрос о непрерывности для гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле в случае рационального 𝛽.

365-373 116
Аннотация

В работе рассмотрены обобщённые неравномерные сетки Коробова.
Рассмотрены три новых конструкции: произведение неравномерных сеток по взаимно простым модулям; модифицированные неравномерные сетки; произведение неравномерной сетки и параллелепипедальной сетки по взаимнопростому модулю.
Установлен парадоксальный результат о величине математического ожидания погрешности приближенного интегрирования по модифицированным неравномерным сеткам.
Показано, что алгоритм приближенного интегрирования с помощью произведения неравномерной сетки и параллелепипедальной сетки по взаимнопростому модулю является ненасыщаемым с порядком 𝛼/2 .

374-383 92
Аннотация

В статье представлены результаты разработки методики прогнозирования процесса коррозионного растрескивания подземных трубопроводов с использованием программного
продукта COMSOL Multiphysics 5.6: Corrosion Module. С использованием разработанной методики установлено, что, что при малых значениях продольной деформации (1,75 и
2,75 мм) наблюдается равномерное распределение напряжений, коррозионного потенциала, плотности анодного и катодного тока по всей длине трещины. При возрастании степени деформации порядка 3,75 и 4 мм, распределение напряжений, коррозионного потенциала,
плотности анодного и катодного тока носит более неравномерный характер: в вершине коррозионной трещины достигаются максимальные значения указанных величин, а по ее краям характерно их более равномерное распределение. Показано, что воздействие на коррозионную трещину локальной упругой деформации, не способствует усилению механико-электрохимического взаимодействия, способствующего повышению коррозионной активности.

384-390 97
Аннотация

Рассмотрена газолазерная обработка металлических сплавов на примере газолазерной резки с различной мощностью, скоростью, давлением вспомогательного газа и фокусным
расстоянием. В результате проведенных комплексных исследований установлено, что применение газолазерной резки при изготовлении деталей из металлических сплавов системы «железо – углерод» открывает возможность совмещения в одной операции и получения и упрочнения детали без использования дополнительной термической и химико-термической обработки. Разработаны адекватные математические нелинейные регрессионные модели
протяженности зоны газолазерного термического влияния (L); ортогональности поверхности реза (a); шероховатости поверхности газолазерного реза (Rz), которые связывают показатели качества поверхности газолазерной резки с параметрами лазерной обработки, содержанием углерода в стали и толщиной стального листа.

391-399 97
Аннотация

В статье рассматривается задача обнаружения атак на компьютерные сети. Предлагается метод проактивного противодействия, основанный на использовании детекторов,
выстраиваемых в виде скрытых марковских моделей.

400-406 93
Аннотация

Абелева группа 𝐴 называется 𝜋-ограниченной для некоторого множества простых чисел 𝜋, если в любой факторгруппе 𝐴/𝐵 группы 𝐴 все 𝑝-примарные компоненты 𝑡𝑝(𝐴/𝐵), где 𝑝 ∈ 𝜋, конечны. Класс 𝜋-ограниченных абелевых групп был введен Е. В. Соколовым при изучении ℱ𝜋-отделимости и 𝜋′-изолированности подгрупп в общей теории групп. Описание периодических 𝜋-ограниченных групп тривиально. Е. В. Соколовым было показано, что описание смешанных 𝜋-ограниченных групп сводится к периодическому случаю и случаю без кручения. В статье подробно рассмотрен класс 𝜋-ограниченных абелевых групп
без кручения. Показано, что этот класс совпадает с классом 𝜋-локальных абелевых групп без кручения конечного ранга.
В заключении рассмотрены абелевы группы, удовлетворяющие условию (*), т.е. такие абелевы группы, все факторгруппы которых не содержат подгрупп вида Z𝑝∞ для всех 𝑝 ∈ 𝜋, где 𝜋 — некоторое фиксированное множество простых чисел. Понятно, что все 𝜋-ограниченные группы удовлетворяют условию (*). Нами доказано, что произвольная абелева группа 𝐴 удовлетворяет условию (*) тогда и только тогда, когда группы 𝑡(𝐴) и 𝐴/𝑡(𝐴) удовлетворяют условию (*). Также в работе приводится конструкция, дающая при каждом бесконечном множестве простых чисел 𝜋 пример нерасщепляемой смешанной
абелевой группы ранга 1, удовлетворяющей условию (*).

Памятные даты 

407-416 107
Аннотация

Данная работа посвящена двадцатилетию издания Чебышёвского сборника и выходу 80-ого выпуска журнала.
В статье освещены вопросы история создания журнала. Описаны этапы становления.
Рассказано о вкладе различных ученых в работу журнала.
Приводятся некоторые наукометрические показатели.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)