Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Преобразования метрик, сохраняющие геометрические характеристики конечных метрических пространств

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-5-138-160

Полный текст:

Аннотация

Задан класс $F$ псевдометрических пространств и семейство преобразований $T$ псевдометрики. Нужно было описать семейство преобразований $T'\subset T$, которые переводят $F$ в себя и сохраняют некоторые типы минимальных заполнений. Был рассмотрен случай,
     когда $F$ — класс всех конечных псевдометрических пространств, класс $T$ состоит из отображений $M\mapsto AM+\tau$, где матрицы $A$ и $\tau$ задают отображение матрицы псевдометрики $M$, а элементы $T'$ сохраняют типы $G$ минимальных заполнений псевдометрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени $1$ графов $G$, и доказано, что $A=\lambda E$ для некоторого $\lambda\ge 0$, а $\tau$ является матрицей псевдометрики, одно из минимальных заполнений которой — звезда;
    %\item
     когда $F$ — класс всех конечных псевдометрических пространств, класс $T$ состоит из отображений $\r\to A\r$, где $A$ — диагонализируемая матрица c двумя собственными числами $\lambda_{max}>\lambda_{min}\ge 0$, наибольшее собственное значение $\lambda_{max}$ которой имеет кратность 1, собственное пространство, соответствующее значению $\lambda_{min}$, не содержит ненулевых псевдометрик, а элементы $T'$ сохраняют типы $G$ минимальных заполнений псевдометрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени $1$ графов $G$. И доказано, что для любой матрицы отображения из $T'$ существует псевдометрика, являющаяся собственным вектором с собственным значением $\lambda_{max}$, среди минимальных заполнений для которой есть заполнение типа звезда.

Об авторе

Степан Юрьевич Липатов
Московский государственный университет
Россия


Список литературы

1. Banks W. D., Conflitti A., Shparlinski I. E. Character sums over integers with restricted 𝑔-ary

2. digits // Illinois J. Math. 2002. Vol. 46, №3. P. 819-836.

3. Иванов А.О., Тужилин А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении.

4. Матем. сб., 2012, т. 203, N 5, с. 65-118.

5. Иванов А.О., Тужилин А.А. Теория экстремальных сетей. Ижевск, ИКИ, с. 1-424.

6. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Minimal Networks. Steiner Problem and Its Generalizations. CRC

7. Press, 1994

8. Липатов С.Ю., Функции, не меняющие типы минимальных заполнений, Вестник Мос-

9. ковского университета. Серия 1: Математика. Механика, 2015, 42–45

10. S. Yu Lipatov. Metrics transformations preserving the types of one-dimensional minimal fillings.

11. Filomat, 33(4):1081–1089, 2019.

12. Рублева О.В. Критерий аддитивности конечного метрического пространства и минимальные заполнения, Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ., 2012. №2. 8-11. (Moscow Univ.

13. Math. Bull., 67:2 (2012), 52-54).

14. З.Н.Овсянников, Открытое семейство множеств, для которых минимальное заполнение не единственно, Фунд. и прикл. матем., 18: 2 (2013), 153-156.

15. И. Л. Лаут, З. Н. Овсянников Вид минимальных разветвлённых геодезических в нормированном пространстве определяет норму , Фунд. и прикл. матем., 18: 2 (2013), 67-77.

16. В. А. Мищенко Оценки отношения Штейнера–Громова римановых многообразий, Фунд.

17. и прикл. матем., 18: 2 (2013), 119-124.

18. З. Н. Овсянников Отношения Штейнера, Штейнера–Громова и суботношения Штейнера для пространства компактов в евклидовой плоскости с расстоянием Хаусдорфа, Фунд.

19. и прикл. матем., 18: 2 (2013), 157-165.

20. З. Н. Овсянников Суботношение Штейнера для пяти точек на плоскости и четырёх

21. точек в пространстве, Фунд. и прикл. матем., 18: 2 (2013), 167-179.

22. А.С.Пахомова, Критерий непрерывности отношений типа Штейнера в пространстве

23. Громова–Хаусдорфа, Матем. заметки, 96:1 (2014), 126-137 [Mathematical Notes, 96:1 (2014),

24. –139].

25. Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия минимальных сетей и одномерная проблема

26. Плато // Успехи математических наук. — 1992. — Т. 47, № 2.

27. A.Ivanov, and A.Tuzhilin, Minimal fillings of finite metric spaces: The state of the art,

28. Contemporary Mathematics, 625 (2014), 9-35.

29. Одномерные минимальные заполнения с ребрами отрицательного веса / А. Иванов, З.

30. Овсянников, Н. Стрелкова, А. Тужилин // Вестник Московского университета. Серия 1.

31. Математика и механика. — 2012. — № 5. — С. 3–8.

32. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства А. Ю.

33. Еремин Матем. сб., 2013, 204:9, 51–72

34. D. Z. Du, F. K. Hwang, A proof of Gilbert–Pollak Conjecture on the Steiner ratio, Algorithmica,

35. (1992), 121–135. Матем. сб., 2013, 204:9, 51–72

36. M. Gromov, Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom., 18:1 (1983), 1–147.

37. Д.Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов, Курс метрической геометрии, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2004, 512 с.


Рецензия

Для цитирования:


Липатов С.Ю. Преобразования метрик, сохраняющие геометрические характеристики конечных метрических пространств. Чебышевский сборник. 2021;22(5):138-160. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-5-138-160

For citation:


Lipatov S.Yu. Transformations of metrics that preserve the geometric characteristics of finite metric spaces. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(5):138-160. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-5-138-160

Просмотров: 171


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)