Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Об одной экстремальной задаче для положительно определённых функций

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-5-161-171

Полный текст:

Аннотация

В данной работе рассматривается экстремальная задача, связанная с множеством непрерывных положительно определённых функций на R, носитель которых содержит-
ся в отрезке [−𝜎, 𝜎], 𝜎 > 0, а значение в нуле фиксировано (класс F𝜎).
Мы рассматриваем следующую задачу. Пусть 𝜇 – линейный локально ограниченный функционал на множестве финитных непрерывных функций 𝐶𝑐(R), принимающий вещественные значения на множествах F𝜎, 𝜎 > 0. При фиксированном 𝜎 > 0 требуется найти следующие величины:
𝑀(𝜇, 𝜎) := sup {𝜇(𝜙) : 𝜙 ∈ F𝜎} , 𝑚(𝜇, 𝜎) := inf {𝜇(𝜙) : 𝜙 ∈ F𝜎} .
Нами получено общее решение данной задачи для линейных функционалов следующего вида 𝜇(𝜙) = ∫︀ R 𝜙(𝑥)𝜌(𝑥)𝑑𝑥, 𝜙 ∈ 𝐶𝑐(R), где 𝜌 ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐(R) и 𝜌(𝑥) = 𝜌(−𝑥) для п. в. 𝑥 ∈ R. Если
𝜌(𝑥) ≡ 1, то величина 𝑀(𝜇, 𝜎) была найдена Зигелем в 1935 году и независимо Боасом и Кацом в 1945 году. В данной работе найдены явные решения рассматриваемой задачи в
следующих случаях: 𝜌(𝑥) = 𝑖𝑥, 𝜌(𝑥) = 𝑥2 и 𝜌(𝑥) = 𝑖 sign 𝑥, 𝑥 ∈ R.
Кроме того, в данной работе изучается связь между рассматриваемой задачей и точечными неравенствами для производных целых функций экспоненциального типа 6 𝜎,
сужения на R которых принадлежат 𝐿1(R). В частности, получены точные неравенства для первой и второй производных таких функций.

Об авторе

Анатолий Дмитриевич Манов
Донецкий национальный университет
Украина

кандидат физико-математических наук



Список литературы

1. Siegel C. L. ¨Uber Gitterpunkte in konvexen K¨orpern und damit zusammenh¨angendes Extremal problem // Acta Math. 1935. Vol. 65, № 1. P. 307–323.

2. Boas R.P. Jr., Kac M. Inequalities for Fourier transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12, № 1. P. 189–206.

3. Горбачев Д. В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, № 3. C. 346–352.

4. Sz´asz O. ¨Uber harmonische Funktionen und L-Formen // Math. Zeitschr. 1918. Band. 1. S. 149– 162.

5. Sasv´ari Z. Positive Definite and Definitizable Functions. Berlin: Akad. Verl., 1994. 208 p.

6. Sasv´ari Z. Multivariate Characteristic and Correlation Functions. Berlin, Boston: De Gruyter, 2013. 366 p.

7. Trigub R. M., Belinsky E. S. Fourier Analysis and Approximation of Functions. Boston, Dordrecht, London: Kluwer-Springer, 2004. 585 p.

8. Иосида К. Функциональный анализ. Москва: Мир, 1967. 624 с.

9. Горбачев Д. В. Константы Никольского-Бернштейна для неотрицательных целых функций экспоненциального типа на оси // Тр. ИММ УрО РАН. 2018. Т. 24, № 4. C. 93–103.

10. Ибрагимов И. И. Экстремальные задачи в классе целых функций конечной степени // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23, № 2. С. 243–256.

11. Korevaar J. An inequality for entire functions of exponential type // Nieuw Arch. Wiskunde. 1949. V. 23., № 2. P. 55–62.

12. Arestov V., Berdysheva E., Berens H. On pointwise Turan’s problem for positive definite functions // East J. Approx. 2003. V. 9, № 1. P. 31–42.

13. Kolountzakis M., R´ev´esz S. G. On Pointwise Estimates of Positive Definite Functions With Given Support // Canad. J. Math. 2006. V. 58, № 2. P. 401–418.


Рецензия

Для цитирования:


Манов А.Д. Об одной экстремальной задаче для положительно определённых функций. Чебышевский сборник. 2021;22(5):161-171. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-5-161-171

For citation:


Manov A.D. On an extremal problem for positive definite functions. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(5):161-171. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-5-161-171

Просмотров: 125


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)