Об одной экстремальной задаче для положительно определённых функций

Аннотация

В данной работе рассматривается экстремальная задача, связанная с множеством непрерывных положительно определённых функций на R, носитель которых содержит-
ся в отрезке [−𝜎, 𝜎], 𝜎 > 0, а значение в нуле фиксировано (класс F𝜎).
Мы рассматриваем следующую задачу. Пусть 𝜇 – линейный локально ограниченный функционал на множестве финитных непрерывных функций 𝐶𝑐(R), принимающий вещественные значения на множествах F𝜎, 𝜎 > 0. При фиксированном 𝜎 > 0 требуется найти следующие величины:
𝑀(𝜇, 𝜎) := sup {𝜇(𝜙) : 𝜙 ∈ F𝜎} , 𝑚(𝜇, 𝜎) := inf {𝜇(𝜙) : 𝜙 ∈ F𝜎} .
Нами получено общее решение данной задачи для линейных функционалов следующего вида 𝜇(𝜙) = ∫︀ R 𝜙(𝑥)𝜌(𝑥)𝑑𝑥, 𝜙 ∈ 𝐶𝑐(R), где 𝜌 ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐(R) и 𝜌(𝑥) = 𝜌(−𝑥) для п. в. 𝑥 ∈ R. Если
𝜌(𝑥) ≡ 1, то величина 𝑀(𝜇, 𝜎) была найдена Зигелем в 1935 году и независимо Боасом и Кацом в 1945 году. В данной работе найдены явные решения рассматриваемой задачи в
следующих случаях: 𝜌(𝑥) = 𝑖𝑥, 𝜌(𝑥) = 𝑥2 и 𝜌(𝑥) = 𝑖 sign 𝑥, 𝑥 ∈ R.
Кроме того, в данной работе изучается связь между рассматриваемой задачей и точечными неравенствами для производных целых функций экспоненциального типа 6 𝜎,
сужения на R которых принадлежат 𝐿1(R). В частности, получены точные неравенства для первой и второй производных таких функций.