О средних значениях функций Чебышёва и их приложениях

Аннотация

В предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для средних значений функций Чебышёва по всем характерам модуля 𝑞 имеет место оценка

$$𝑡(𝑥; 𝑞) =Σ︁𝜒mod𝑞max𝑦≤𝑥|𝜓(𝑦, 𝜒)| ≪ 𝑥 + 𝑥1/2𝑞L2, L = ln 𝑥𝑞$$.
При решении ряда задач теории простых чисел достаточно, чтобы для 𝑡(𝑥; 𝑞) имелась оценка, близкая к этой оценке. Лучшие оценки для 𝑡(𝑥; 𝑞) ранее принадлежали Г. Монтгомери, Р. Вону и З. Х. Рахмонову. В работе получена новая оценка вида
$$𝑡(𝑥; 𝑞) = Σ︁ 𝜒mod𝑞 max 𝑦≤𝑥 |𝜓(𝑦, 𝜒)| ≪ 𝑥L^28 + 𝑥^(4/5) 𝑞^(1/2)L^31 + 𝑥^(1/2)𝑞L^32$$,
с помощью которой для линейной тригонометрической суммы с простыми числами при $$|𝑎-a/q|<1/q^2,   (a,q)=1$$, 
найдена более точная оценка
$$𝑆(𝛼, 𝑥) ≪ 𝑥𝑞^(−1/2)L^33 + 𝑥^(4/5)L^32 + 𝑥^(1/2)𝑞^(1/2)L^33$$,
а также изучено распределение чисел Харди-Литтлвуда вида 𝑝 + 𝑛2 в коротких арифметических прогрессиях в случае, когда разность прогрессии является степенью простого
числа.